DE BASE

ELEMENTS
DE BASE
Document pour les PE1
Préparation au concours
Formules
Comment démontrer ?
Principaux théorèmes de géométrie plane
Christian Leduc
Centre IUFM de Valenciennes

Formulaire
Périmètres et aires des surfaces usuelles
SURFACE
PÉRIMÈTRE
AIRE
REPRÉSENTATION
CARRE
4 x c
c x c = c²
c
RECTANGLE
2 x (L + l)
L x l
l
L
PARALLÉLOGRAMME
2 x (L + l)
L x h
h
L
TRAPEZE
(B + b) x h/2
b
h
B
LOSANGE
4 x c
D + d
2
d
D
TRIANGLE
a + b + c
B x h
2
h
B
CERCLE
DISQUE
2 x  x R =  x D
 x R x R
ou  x R²
D
ELLIPSE
 x A x B
4
B
A

Formulaire
Aires et Volumes des solides usuels
Solides
Aire externe
Volume
CUBE
6 x c x c = 6 x c²
c x c x c c
ou c3
PARALLÉLÉPIPÈDE
RECTANGLE
2 x (Lxl + Lxh + lxh)
L x l x h h
l
L
PARALLÉLÉPIPÈDE
« PENCHE »
L x l x h h
CYLINDRE
2R² + 2Rh
ou 2R x (R + h)
S x h
ou R²h h
PRISME
S x h h
PYRAMIDE
S x h h
3
CÔNE DROIT
R² + R x A
A apothème
S x h A
3 h
R²h
3
TRONC DE CÔNE DROIT
(R² + RA + r² +rA)
h(R² + r² + Rr)
3
A
SPHÈRE
4R²
4R3
3

Une partie de ce chapitre provient des travaux de M. Loiseau (centre IUFM de Valenciennes)
Principaux théorèmes de géométrie plane utilisés
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle
On a : a² + b² = c² (« le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres
côtés » au risque d’alourdir l’énoncé, on devrait dire « le carré de la longueur de l’hypoténuse,
est égal . . .
Ce théorème sert surtout à déterminer algébriquement la longueur d’un des trois côtés d’un
triangle rectangle connaissant les deux autres .
Réciproque du théorème de Pythagore
Si les trois côtés a, b, c vérifient la relation a² + b² = c²
alors ce triangle est rectangle ; a et b sont les côtés de l’angle droit et c est l’hypoténuse.
remarque : si la relation est vérifiée, alors c est nécessairement strictement supérieur à a et b
Ce théorème permet de déterminer si un triangle dont on connaît les longueurs des côtés est
rectangle ou non. Ainsi, le triangle de côtés 5, 12, 13 , est rectangle car
5² + 12² = 13² (25 + 144 = 169
En revanche, le triangle de côtés 5, 6, 7 n’est pas rectangle car 5² + 6²  7²
Rappelons l’origine épistémologique de ce théorème : les égyptiens grâce à une corde à nœuds
avaient découvert le triangle 3, 4, 5 qui est bien évidemment rectangle
c
b
c

Rappelons par la même occasion la condition d’existence d’un triangle
chaque côté est compris entre la différence(en valeur absolue) et la somme des deux autres
Ainsi, si a , b et c sont les trois côtés d’un triangle, a - b  c  a + b et il existe deux
relations analogues
Propriété de Thalès
Cas général : la propriété stipule la conservation de la structure affine des droites par le
parallélisme
rappelons la caractérisation de la structure affine d’une droite
le rapport AB ne dépend pas de la graduation choisie
CD
la relation devient :
Cas particulier : si les deux droites sont sécantes en O
La relation devient :
A B C D
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
A’ B’ C’ D’ A’ B’ A B
= ou =
A B C D C’ D’ C D
O A OB AB
= =
O A’ OB’ A’ B’
O
A
B
A’
B’
d
d’