correction du devoir commun de Mathématiques du 12 janvier 2011.

/6 15 min
N°
Éléments de réponse à la question
Réponses exactes entourées
1
6−4x−2=6−4×x−4×−2=6−4x 8=14−4x
2x−4
14−4x
−2−4x
2
Quelle est l'expression qui est égale à 10
si
x=4
x x 1
4×5=20
x1x–2
5×2=10
x12
5²=25
3
3×10–6×15×102
25×103 2×10–7=3×3×5×10−4 5×5×106×10−7=9 5×10−1×104
9
5000
1,8×10–2
9,5×10–3
4
2x–8 3x2
2×2−8 3×2=4−14=−10 2
Si
x=−10
−20 22=2
−12
2
est une
solution
5
30×40
100 20×60 100=12 12=24
filles sur 20+30=50
24
50=48 100
filles (48 sur 100)
36 %
de filles
48 %
de filles
50 %
de filles
6
1
25000=1×10cm 25000×10 cm=10cm 250000cm=10cm 2500m=10 cm 2,5km
2 500 cm
0,25 km
2,5 km
/6 15 min
3. a. Si le nombre de départ est x, le résultat du programme A est 3x+7.D'où : 3x+7= -2 après résolution x = -3
b. Si le nombre de départ est x, le résultat du programme B est 2(5x-4). D'où : 2(5x-4)= 0 après résolution
x=4
5
4. même résultat avec les deux programmes donc résultat du programme A = résultat du programme B
3x+7 = 2(5x-4)
3x+7 = 10x-8
3x-10x = -8-7
-7x = -15
Le nombre que l'on doit choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes est x =
15
7
/4 10 min
/8
20
min
Exercice 1
Partie géométrie
Exercice 2
Exercice 1
Exercice 2
Programme A réponse 2.
– Choisir un nombre -2 x
– Multiplier ce nombre par 3 -2x3 = -6 3x
– Ajouter 7 -6+7 = 1 3x+7
résultat : 1 3x+7
Programme B réponse 1.
– Choisir un nombre 3 x
– Multiplier ce nombre par 5 3x5=15 5x
– Retrancher 4 15- 4=11 5x-4
– Multiplier par 2 11x2=22 2(5x-4)
résultat : 22 =10x-8
Devoir commun : janvier 2011
CORRECTION
Dans le triangle ABC rectangle en B,
tan BAC =BC
AB
tan 30°=BC
5
BC =5×tan 30°
BC ≈2,886
L'arrondi de la longueur BC est de 2,9 cm.
Devoir commun : janvier 2011 CORRECTION (suite)

3) Dans le triangle AOB, le plus grand côté est AB
AB2=15²=225
D'autre part
AO2OB2=92122=81 144=225
donc AB² = AO² + OB²
Donc, selon le théorème de Pythagore, le triangle AOB est rectangle en O.
1ère méthode : (OB) et (CD) étant parallèles, comme (OB) est perpendiculaire à (AO),
alors (CD) est perpendiculaire à (AO), donc le triangle ADC est rectangle en C.
2ème méthode : Les droites (CD) et (OB) étant parallèles, le triangle ADC est une réduction du triangle AOB,
donc le triangle ADC est rectangle en C.
4) L'aire du triangle AOB N'est PAS égale à trois fois l'aire du triangle ACD.
Ces deux triangles étant rectangles : AireAOB=
AO×OB
2=9×12 2=108 2=54
cm²
AireACD=
AC×CD
2=3×4 2=12 2=6
cm² et
3×6=18≠54
autre méthode : le triangle ACD est une réduction du triangle AOB, le coefficient de réduction est
1
3
Donc AireACD =
1
3
2
x AireAOB =
1
9×54=6
cm²
/ 12
PARTIE A 25 min
A
C
O
B
D
1) D'une part :
AC
AO=3 9=1 3
D'autre part :
AD
AB =5 15=1 3
Donc
AC
AO=AD AB
Comme les points A, C, O et les points A, D, B sont alignés et
dans le même ordre, alors selon la réciproque du théorème de
Thalès, les droites (CD) et (OB) sont parallèles et
2)
AC
AO=AD AB =CD OB=1 3
CD
OB=1 3
d'où
CD=1
3×OB
donc
CD=12
3=4
Problème

3) Dans le triangle EKG rectangle en K, on a
sin KEG =KG
EG=2,5 6
donc
KEG=arcsin 2,5
6≈24,62°≈24,6°
L'angle
FEK
est le symétrique de l'angle
KEG
par rapport à l'axe (EK), donc par conservation
FEK
=
KEG
Comme
FEG
=
FEK
+
KEG≈24,6°24,6°≈49,2°≈49°
3) Exprimer en fonction de x le périmètre du triangle EPR.
Le triangle EPR étant isocèle en E, EP = ER donc périmètre de EPR =
2×EP PR
=
2x5
6x
=
12
6x5 6x
périmètre de EPR =
17
6x
4) Démontrer que le périmètre du trapèze RPGF est égal à
−7
6x17
.
Le triangle EFG étant isocèle en E, PG = RF donc périmètre de RPGF =
PR FG 2×PG
2) a) EFG est un triangle isocèle en E qui accepte donc un axe de symétrie
passant par E et perpendiculaire à la base [FG],
[EK] est donc perpendiculaire à [FG] donc le triangle EKG est rectangle en K.
b) F étant le symétrique du point G par rapport à l'axe (EK) , on a FK = KG,
donc K est le milieu de [FG].
c) Dans le triangle rectangle EKG rectangle en K,selon le théorème de Pythagore,
EG² = EK² +KG²
KG = FG : 2 = 5 : 2 = 2,5 cm OU
KG=1
2FG=5 2
6² = EK² + 2,5²
62=EK25
2
2
EK² = 36 – 6,25 = 29,75
EK2=36−25
4=119 4
valeur exacte EK =
29,75
EK=119
4=119 2
valeur approchée à 1 mm près
EK≈5,454≈5,5
cm
PARTIE B 25 min
1) Le triangle EPR est isocèle en E (axe de symétrie (EK) OU
réduction dut triangle EFG car (RP) // (FG) )
2) Les droites (PG) et (RF) se coupent en E, les droites (RP) et (FG) sont parallèles
donc selon le théorème de Thalès :
EP
EG=ER EF =PR FG
donc
x
6=ER EF =PR 5
d'où
x
6×5=PR 5×5
PR=5
6x
Devoir commun : janvier 2011CORRECTION (suite et fin)

=
5
6x5 2×6−x
car
PG=EG−EP=6−x
=
5
6x512−2x
=
5
6x−12 6x17
périmètre de RPGF =
−7
6x17
5) Le triangle et le trapèze ont le même périmètre : périmètre de EPR = périmètre de RPGF
17
6x=−7 6x17
17
6x7 6x=17
24
6x=17
4x=17
x=17
4=4,25cm
Le triangle et le trapèze ont le même périmètre si le point P est sur [EG] et tel que EP = 4,25 cm.