correction du devoir commun de Mathématiques du 12 janvier 2011.

Devoir commun : janvier 2011
CORRECTION
Exercice 1
N°
1
Réponses exactes entourées
2x− 4
14− 4x
− 2− 4x
Quelle est l'expression qui est égale à 10
si x= 4
x x 1
4× 5= 20
x 1 x– 2
5× 2= 10
x 12
5²= 25
3× 10 –6× 15× 102 3× 3× 5× 10− 4
9
3 2
–7 =
6
−7 =
−1
25× 10 × 10
5× 5× 10 × 10
5× 10 × 10 4
9
5000
1,8× 10 – 2
9,5× 10 – 3
2x – 8 3x 2
2× 2 − 8 3× 2 = 4− 14= − 10 2
Si
x= − 10
− 20 22= 2
− 12
2 est une
36 %
de filles
48 %
de filles
50 %
de filles
2 500 cm
0,25 km
2,5 km
4
30×
5
6
15 min
Éléments de réponse à la question
6− 4 x− 2 = 6− 4× x− 4× − 2 = 6− 4x 8= 14− 4x
2
3
/6
40
60
20×
= 12 12= 24 filles sur 20+30=50
100
100
24 48
=
50 100 filles (48 sur 100)
1
1× 10 cm
10 cm
10 cm 10 cm
=
=
=
=
25 000 25 000× 10 cm 250 000 cm 2500 m 2,5 km
Exercice 2
/6
solution
15 min
Programme A
réponse 2.
– Choisir un nombre
-2
– Multiplier ce nombre par 3 -2x3 = -6
– Ajouter 7
-6+7 = 1
résultat :
1
Programme B
– Choisir
un nombre
x
– Multiplier
ce nombre par 5
3x
–3x+7
Retrancher 4
–3x+7
Multiplier par 2
résultat :
réponse 1.
3
3x5=15
15- 4=11
11x2=22
22
x
5x
5x-4
2(5x-4)
=10x-8
3. a. Si le nombre de départ est x, le résultat du programme A est 3x+7.D'où : 3x+7= -2 après résolution x = -3
4
b. Si le nombre de départ est x, le résultat du programme B est 2(5x-4). D'où : 2(5x-4)= 0 après résolution x= 5
4. même résultat avec les deux programmes donc résultat du programme A = résultat du programme B
3x+7
=
2(5x-4)
3x+7
=
10x-8
3x-10x
=
-8-7
-7x
=
-15
15
Le nombre que l'on doit choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes est x = 7
Partie géométrie
Exercice 1
/4
10 min
Dans le triangle ABC rectangle en B,
tan BAC =
tan 30 ° =
BC
AB
Devoir commun : janvier 2011
CORRECTION (suite)
BC
5
BC = 5× tan 30°
BC ≈ 2,886
L'arrondi de la longueur BC est de 2,9 cm.
Exercice 2
/8
20
min
AC 3 1
AD 5 1
1) D'une part : AO = 9 = 3 D'autre part : AB = 15 = 3
AC AD
=
AO AB
Donc
A
Comme les points A, C, O et les points A, D, B sont alignés et
dans le même ordre, alors selon la réciproque du théorème de
Thalès, les droites (CD) et (OB) sont parallèles et
D
C
B
AC AD CD 1
=
=
=
AO AB OB 3
2)
O
1
CD 1
12
= d'où CD= × OB donc CD= = 4
3
OB 3
3
2
3) Dans le triangle AOB, le plus grand côté est AB AB = 15²= 225
AO 2 OB2= 9 2 122= 81 144= 225 donc AB² = AO² + OB²
D'autre part
Donc, selon le théorème de Pythagore, le triangle AOB est rectangle en O.
1ère méthode : (OB) et (CD) étant parallèles, comme (OB) est perpendiculaire à (AO),
alors (CD) est perpendiculaire à (AO), donc le triangle ADC est rectangle en C.
2ème méthode : Les droites (CD) et (OB) étant parallèles, le triangle ADC est une réduction du triangle AOB,
donc le triangle ADC est rectangle en C.
4) L'aire du triangle AOB N'est PAS égale à trois fois l'aire du triangle ACD.
AO× OB 9× 12 108
=
=
= 54 cm²
Ces deux triangles étant rectangles : AireAOB=
2
2
2
AC× CD 3× 4 12
=
= = 6 cm² et 3× 6= 18≠ 54
AireACD=
2
2
2
1
autre méthode : le triangle ACD est une réduction du triangle AOB, le coefficient de réduction est 3
1
1 2
Donc AireACD = 3 x AireAOB = 9 × 54= 6 cm²
Problème
PARTIE A
25 min
/ 12
2) a) EFG est un triangle isocèle en E qui accepte donc un axe de symétrie
passant par E et perpendiculaire à la base [FG],
[EK] est donc perpendiculaire à [FG] donc le triangle EKG est rectangle en K.
b) F étant le symétrique du point G par rapport à l'axe (EK) , on a FK = KG,
donc K est le milieu de [FG].
c) Dans le triangle rectangle EKG rectangle en K,selon le théorème de Pythagore,
EG² = EK² +KG²
KG = FG : 2 = 5 : 2 = 2,5 cm
KG=
OU
EK 2 = 36−
EK² = 36 – 6,25 = 29,75
EK =
EK =
29,75
valeur approchée à 1 mm près
5
2
62 = EK 2
6² = EK² + 2,5²
valeur exacte
1
5
FG=
2
2
2
25 119
=
4
4
119
119
=
4
2
EK≈ 5,454≈ 5,5 cm
Devoir commun : janvier 2011CORRECTION (suite et fin)
KG
2,5
2,5
≈ 24,62°≈ 24,6 °
6
L'angle FEK est le symétrique de l'angle KEG par rapport à l'axe (EK), donc par conservation FEK = KEG
3) Dans le triangle EKG rectangle en K, on a sin KEG = EG = 6 donc KEG= arcsin
Comme FEG = FEK +
PARTIE B
KEG≈ 24,6 ° 24,6 °≈ 49,2 °≈ 49 °
25 min
1) Le triangle EPR est isocèle en E (axe de symétrie (EK) OU
réduction dut triangle EFG car (RP) // (FG) )
2) Les droites (PG) et (RF) se coupent en E, les droites (RP) et (FG) sont parallèles
donc selon le théorème de Thalès :
EP ER PR
=
=
EG EF FG
x
ER
PR
donc 6 = EF = 5
d'où
x
PR
× 5=
×5
6
5
PR=
5
x
6
3) Exprimer en fonction de x le périmètre du triangle EPR.
Le triangle EPR étant isocèle en E, EP = ER donc périmètre de EPR = 2× EP
= 2x
5
x
6
12
= 6 x
7
4) Démontrer que le périmètre du trapèze RPGF est égal à − 6 x
PR
5
x
6
17 .
Le triangle EFG étant isocèle en E, PG = RF donc périmètre de RPGF = PR
17
périmètre de EPR = 6 x
FG 2× PG
5
= 6x
5
= 6x
5 2× 6− x
5 12− 2 x
5
12
= 6 x− 6 x
7
périmètre de RPGF = − 6 x
5) Le triangle et le trapèze ont le même périmètre :
17
17
périmètre de EPR = périmètre de RPGF
17
7
x= − x 17
6
6
17
7
x
x= 17
6
6
24
x= 17
6
4 x= 17
x=
17
= 4,25 cm
4
Le triangle et le trapèze ont le même périmètre si le point P est sur [EG] et tel que EP = 4,25 cm.
car
PG= EG− EP= 6− x