ENSIEG 1ère année

ENSIEG 1ère année Partie 2
TD d'Automatique
MODELISATION
DETERMINATION DE FONCTIONS DE TRANSFERT
DE SYSTEMES PHYSIQUES A PARTIR D'EQUATIONS
I / Système mécanique en rotation
II / Système hydraulique
III / Système mécanique en translation
IV / Système thermique
V / Réacteur chimique
VI / Système de bacs non linéaires
VII / Digestion anaérobie

I / SYSTEME MECANIQUE EN ROTATION
Pour le système mécanique suivant :
 Ecrire les équations de bilan énergétique et en déduire l'équation différentielle liant le couple
m appliqué à l'entrée et la vitesse angulaire de sortie .
 Déterminer la fonction de transfert correspondante (entrée m, sortie ).
Le réducteur a un rapport (n), ce qui signifie que si on note m la vitesse de rotation de l'arbre moteur,
alors on a :  = m / n
Jm
fm
f
J
m
Réducteur

II / SYSTEME HYDRAULIQUE
On considère les deux systèmes hydrauliques suivants :
u : débit volumique d'alimentation en liquide (m3/h),
x1, x2 : niveaux dans les réservoirs (m),
C1, C2 : sections des réservoirs (m2),
R1, R2 : vannes d'équilibrage telles que le débit à travers l'orifice Ri est ui = xi/Ri (xi = hauteur du
liquide dans le réservoir) (R en h/m2).
 Ecrire pour ces deux systèmes les équations de bilan et déterminer la fonction de transfert entre
le niveau x2 et le débit u.
III / SYSTEME MECANIQUE EN TRANSLATION
Pour le système mécanique suivant :
 Déterminer la fonction de transfert entre la vitesse V(p) de la locomotive et celle V2(p) du
deuxième wagon.
A l'instant t=0, l'ensemble locomotive – wagon 1 – wagon 2 est à l'équilibre. On note x le
déplacement de la locomotive depuis t= 0, x1 le déplacement du wagon 1 depuis t=0 et x2 le déplacement
du wagon 2 depuis t=0. On a donc v(t) = dx(t)/dt.
V
k
k
f
f
m
m
Wagon 1
Wagon 2
u
u
x1
x1
x2
x2
Système 1
Système 2
R1
R1
R2
R2

IV / SYSTEME THERMIQUE
Toutes les variables d'état définies ci-dessous représentent des variations autour d'un état
d'équilibre thermique.
Dans le corps de l'échangeur de chaleur, l'indice 1 caractérise le fluide à l'intérieur de la tubulure,
l'indice 2 le fluide à l'extérieur de la tubulure,
x1(t) et x2(t) sont les températures des liquides dans chaque partie du corps de l'échangeur de
chaleur (K),
u1(t) et u2(t) sont les températures à l'entrée de l'échangeur (K),
q1 et q2 sont les débits des liquides, supposés constants (m3.s-1),
V1 et V2 sont les volumes des liquides à l'intérieur de l'échangeur de chaleur (m3),
Cp1 et Cp2 sont les chaleurs spécifiques des liquides (J.m-3.K-1),
R est la résistance thermique des parois séparant les deux liquides (J-1.s.K), le flux d'enthalpie est
proportionnel à la différence de température entre chaque coté de la paroi. On supposera que l'on a un bon
calorifugeage avec l'extérieur et que les pertes calorifiques sont négligeables.
 En supposant les phénomènes d'échange linéaires, écrire les équations de bilan énergétique et
déterminer les fonctions de transfert X1(p)/U1(p) et X2(p)/U2(p).
V / REACTEUR CHIMIQUE
Le schéma ci-dessous décrit un réacteur chimique de volume V alimenté en continu par un produit
A de concentration cin à un débit Q. Afin de garder le niveau constant dans le réacteur, on soutire le
milieu de réaction au même débit Q. De plus, un agitateur mélange parfaitement les produits à l'intérieur
du réacteur (par exemple le produit A venant de l'alimentation, est instantanément et parfaitement réparti
dans le réacteur).
x1,V1
R
x2, V2
u2, q2
u1, q1

A l'intérieur du réacteur a lieu une réaction chimique qui transforme le produit A (concentration
cA) en un nouveau produit B (concentration cB), selon la réaction suivante :
BA k
La réaction chimique est du premier ordre, c'est à dire que la cinétique est proportionnelle à la
concentration cA, et la constante de proportionnalité (aussi appelée vitesse spécifique) est notée k.
 Ecrire les équations différentielles de bilan de masse décrivant les variations des produits A et
B à l'intérieur du réacteur. En déduire la fonction de transfert entre les concentrations cin et cB.
Unités : V m3
Q m3.s-1
cA/B kg.m-3
k s-1
Q, cin
Q, cA, cB
V
cA, cB