Une percée dans les nombres premiers jumeaux

Les nombres premiers jumeaux
Une percée dans les nombres
premiers jumeaux
Les Grecs savaient que les nombres premiers
sont en quantité infinie. Ils savaient
également que tout entier naturel s’écrit de
manière unique (à isomorphisme près)
comme produit de nombres premiers.
Par exemple :
2137 ou 20 225
Ce dernier résultat porte le nom de
Théorème Fondamental de l’Arithmétique.
L’existence est facile à démontrer ; l’unicité
est un peu plus compliquée.
Théorème Fondamental de
l’Arithmétique.
Tout entier naturel s’écrit de manière
unique comme produit de nombres
premiers à isomorphisme près.
Les Grecs ne savaient pas par contre, que la
somme des inverses des nombres premiers
est infinie. Il faut attendre L. Euler ( 18e
siècle) pour obtenir ce résultat. La
démonstration est assez astucieuse. Elle
nécessite une bonne concentration et
plusieurs relectures.
Il est extrêmement rare que l’on comprenne
une démonstration à la première lecture,
contrairement à ce qui se passe en classe à
l’écoute d’un maître passionné et……!
La divergence est toutefois très lente. Si on
additionne l’inverse de tous les nombres
premiers compris entre 2 et 1'000, on obtient
2,19808. Compris entre 2 et 10'000, on
obtient 2,48305 et 2,70527221 pour la
sommes des inverses des nombres premiers
compris entre 2 et 100'000.
On montre en fait la formule suivante :
ln(ln( n)) 1
21 31 5....... 1 pnln(ln( n))1
Deux mathématiciens (l’un français et
l’autre belge) ont montré de manière
indépendante le théorème de raréfaction des
nombres premiers.
……plus on avance, moins il y en a……
J. Hadamard 1865-1963 et C. de La Vallée-
Poussin (1866-1962)
Dit de manière un peu plus précise :
Le nombre de nombres premiers inférieurs
ou égaux à m, noté
(m)
, tend vers l’infini
de même manière que la fonction
m/ln( m)
Ou encore :
lim
m
(m)
m/ ln(m)1

Les nombres premiers jumeaux
Deux nombres premiers sont dits jumeaux si
leur différence est 2. Par exemple : 3 et 5, 11
et 13, 17 et 19 etc…
La conjecture des nombres premiers
jumeaux affirme qu’il y a une infinité de
jumeaux.
Bien que le problème soit connu depuis
longtemps, son origine reste mystérieuse et
sa solution une énigme……..ou presque.
Deux nombres premiers sont dits
jumeaux si leur différence est 2
Quelques résultats :
Le mathématicien Viggo Brun a montré au
début du XXe siècle que la somme des
inverses de nombres premiers jumeaux était
finie.
i.e.
(1
31 5)(1 51 7)(1 11 1 13)......... 
sans savoir si leur nombre était fini.
En 1960 Chen Jingrun a montré qu’il y avait
une infinité de nombres premiers p tels que p
+ 2 soit premier ou produit de deux nombres
premiers.
On peut attaquer la conjecture des nombres
premiers jumeaux d’une autre manière, en
considérant l’espace entre deux nombres
premiers successifs.
Notons les nombres premiers par :
p1 , p2 , p3 , ............
Question : existe-t-il une infinité de nombres
premiers tels que :
pn1pn
soit inférieur à
10.
Si vous arrivez à résoudre ce problème, vous
pourrez alors tenter votre chance avec une
différence inférieure à 9, 8 et ainsi de suite.
Si le raisonnement peut se perpétuer et si
vous arrivez au chiffre 2, la conjecture sera
démontrée.
LA VALLÉE-POUSSIN CHARLES JOSEPH DE
(1866-1962)
Mathématicien belge, né à Louvain et mort à
Bruxelles. Charles J. de La Vallée-Poussin enseigna à
l’université de Louvain de 1891 jusqu’à sa retraite. Il
fut membre de l’Académie belge (1909), membre
associé étranger de l’Académie des sciences (1945),
membre honoraire de la London Mathematical
Society (1952), président honoraire de l’Union
mathématique internationale.
La Vallée-Poussin est surtout connu pour avoir, en
1896, en même temps que Jacques Hadamard mais
indépendamment de lui, trouvé la première
démonstration du théorème des nombres premiers,
objet de recherches depuis près d’un siècle (Sur la
fonction E (s) de Riemann et le nombre de nombres
premiers inférieurs à une limite donnée, 1896).

Les nombres premiers jumeaux
En utilisant le théorème de raréfaction, on peut
écrire :
Dlim
n inf pn1pn
 /log( pn)
D’après le théorème de la Vallée Poussin-
Hadamard, D est au plus 1
En 1926 Hardy et Littlewood ( deux
mathématiciens anglais) ont montré que D
était inférieur à 2/3 pour autant que la
célèbre conjecture de Riemann soit vraie (
conjecture qui n’est toujours pas démontrée !
)
Avec la même condition, Rankin a établi que
D < 3/5
En 1966 Bombieri (italien) et Davenport (
américain) sont arrivés, sans utiliser la
conjecture de Riemann à : D < 1/2
Le dernier résultat en date est celui de
Maier : D < 0.2486.
Dernier résultat………. sauf que en 2003
Dan Goldston de san Jose State University
California et Cem Yalcin Yillrin de Bogaziri
university Istambul ont montré que D était
égal à zéro ( ce qui prouve la conjecture des
nombres premiers jumeaux ).
Un examen attentif de la démonstration a
révélé des erreurs. Apparemment, elles sont
réparables sans trop de modifications par
rapport raisonnement élaboré. On peut donc
penser que la preuve de cette conjecture est
sous toit.
BOMBIERI ENRICO (1940- )
Mathématicien italien, lauréat de la médaille Fields
en 1974 pour ses travaux en théorie des nombres. Né
le 26 novembre 1940 à Milan (Italie), Enrico
Bombieri soutient, en 1963, sa thèse de doctorat à
l’université de Milan. Professeur à l’université de
Pise de 1966 à 1973, il enseigne à partir de 1974 à
l’École normale supérieure de Pise et occupe la chaire
I.B.M.-von Neumann à l’Institute for Advanced
Study de Princeton (New Jersey). Spécialiste de la
théorie des nombres, Bombieri a démontré, en 1965,
un important théorème sur la densité des nombres
entiers dans les progressions arithmétiques en
utilisant des résultats sur la densité des zéros des
fonctions L de Dirichlet. Ce théorème permet un
nouveau type d’approche de problèmes classiques tels
que la décomposition d’un nombre impair
suffisamment grand en la somme de trois nombres
premiers. En 1967, Bombieri prouve que la
conjecture, énoncée en 1916 par Ludwig Bieberbach
sur les fonctions holomorphes univalentes sur le
disque unité, est localement vraie. En 1970, il
démontre un résultat fondamental de la théorie des
fonctions de plusieurs variables complexes. En 1987,
il améliore avec John Friedlander et Henryk Iwaniec
le résultat de Viggo Brun sur la quantité de nombre
premiers jumeaux inférieurs à un nombre donné.
Bombieri a également apporté une contribution
remarquable dans des domaines aussi variés que les
équations aux dérivées partielles, l’analyse
combinatoire, les pavages quasi cristallins, les
surfaces minimales ou la théorie de la complexité.
RIEMANN (Bernhard) 1826-1866

Les nombres premiers jumeaux
Né dans un village du royaume de Hanovre, Riemann
fit ses études supérieures et sa courte carrière
universitaire à Göttingen. Il passa en Italie la plus
grande partie de ses quatre dernières années : à
l’époque, c’était le seul soulagement à la maladie
pulmonaire qui le minait ; c’est ainsi qu’il repose
dans un petit cimetière proche du lac Majeur.
Après sa mort, son œuvre fut publiée en un seul
volume, y compris les fragments posthumes, et cette
brièveté ne tient pas seulement à la fin précoce du
mathématicien : d’une part, ses démonstrations sont
très intuitives, souvent incomplètes, sinon absentes ;
d’autre part, il publiait, à de longs intervalles, des
mémoires patiemment mûris. La nouveauté des
notions et des méthodes qu’on y trouvait et l’intuition
géniale qui les animait donnèrent aux mathématiques
un élan encore perceptible aujourd’hui.
Riemann, comme la plupart des mathématiciens de
son époque, s’intéressait aussi, et de façon suivie, à la
physique, et publia des mémoires sur de nombreux
sujets : lois de répartition de l’électricité statique,
contribution à l’électrodynamique, propagation
d’ondes atmosphériques planes, mécanique de
l’oreille, etc.
Bonus
Voici le graphe de la fonction
(n)
de
Euler. Cette fonction compte pour un n
donné, le nombre d’entiers inférieurs à n et
premiers avec n.
Voici une manière de représenter les
nombres premiers :
Bonus et dessins tirés de : Merveilleux nombres
premiers J.-P. Delahaye ISBN 2-84245-017-5
Source : Major Advance on the Twin Primes
Conjecture, Keith Delvin. MAA