nombres contrairement à ce qui se passe en classe à l’écoute d’un maître passionné et……! Les Grecs savaient que les nombres premiers sont en quantité infinie. Ils savaient également que tout entier naturel s’écrit de manière unique (à isomorphisme près) comme produit de nombres premiers. La divergence est toutefois très lente. Si on additionne l’inverse de tous les nombres premiers compris entre 2 et 1'000, on obtient 2,19808. Compris entre 2 et 10'000, on obtient 2,48305 et 2,70527221 pour la sommes des inverses des nombres premiers compris entre 2 et 100'000. Une percée dans premiers jumeaux les 2 Par exemple : 21 3 7 ou 20 2 5 Ce dernier résultat porte le nom de Théorème Fondamental de l’Arithmétique. L’existence est facile à démontrer ; l’unicité est un peu plus compliquée. Théorème Fondamental de l’Arithmétique. Tout entier naturel s’écrit de manière unique comme produit de nombres premiers à isomorphisme près. Les Grecs ne savaient pas par contre, que la somme des inverses des nombres premiers est infinie. Il faut attendre L. Euler ( 18e siècle) pour obtenir ce résultat. La démonstration est assez astucieuse. Elle nécessite une bonne concentration et plusieurs relectures. On montre en fait la formule suivante : ln(ln( n)) 1 1 1 1 ....... ln(ln( n)) 1 2 3 5 pn Deux mathématiciens (l’un français et l’autre belge) ont montré de manière indépendante le théorème de raréfaction des nombres premiers. ……plus on avance, moins il y en a…… J. Hadamard 1865-1963 et C. de La ValléePoussin (1866-1962) Dit de manière un peu plus précise : Le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à m, noté (m) , tend vers l’infini de même manière que la fonction m / ln( m) Ou encore : Il est extrêmement rare que l’on comprenne une démonstration à la première lecture, Les nombres premiers jumeaux lim (m) m m/ ln( m) 1 Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur différence est 2. Par exemple : 3 et 5, 11 et 13, 17 et 19 etc… On peut attaquer la conjecture des nombres premiers jumeaux d’une autre manière, en considérant l’espace entre deux nombres premiers successifs. La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu’il y a une infinité de jumeaux. Notons les nombres premiers p1 , p2 , p3 , ............ Bien que le problème soit connu depuis longtemps, son origine reste mystérieuse et sa solution une énigme……..ou presque. Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur différence est 2 Quelques résultats : par : Question : existe-t-il une infinité de nombres premiers tels que : pn1 pn soit inférieur à 10. Si vous arrivez à résoudre ce problème, vous pourrez alors tenter votre chance avec une différence inférieure à 9, 8 et ainsi de suite. Si le raisonnement peut se perpétuer et si vous arrivez au chiffre 2, la conjecture sera démontrée. Le mathématicien Viggo Brun a montré au début du XXe siècle que la somme des inverses de nombres premiers jumeaux était finie. i.e. 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ......... 3 5 5 7 11 13 sans savoir si leur nombre était fini. En 1960 Chen Jingrun a montré qu’il y avait une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit premier ou produit de deux nombres premiers. LA VALLÉE-POUSSIN CHARLES JOSEPH DE (1866-1962) Mathématicien belge, né à Louvain et mort à Bruxelles. Charles J. de La Vallée-Poussin enseigna à l’université de Louvain de 1891 jusqu’à sa retraite. Il fut membre de l’Académie belge (1909), membre associé étranger de l’Académie des sciences (1945), membre honoraire de la London Mathematical Society (1952), président honoraire de l’Union mathématique internationale. La Vallée-Poussin est surtout connu pour avoir, en 1896, en même temps que Jacques Hadamard mais indépendamment de lui, trouvé la première démonstration du théorème des nombres premiers, objet de recherches depuis près d’un siècle (Sur la fonction E (s) de Riemann et le nombre de nombres premiers inférieurs à une limite donnée, 1896). Les nombres premiers jumeaux En utilisant le théorème de raréfaction, on peut écrire : D lim inf pn1 pn / log( pn ) n D’après le théorème de la Vallée PoussinHadamard, D est au plus 1 En 1926 Hardy et Littlewood ( deux mathématiciens anglais) ont montré que D était inférieur à 2/3 pour autant que la célèbre conjecture de Riemann soit vraie ( conjecture qui n’est toujours pas démontrée ! ) Avec la même condition, Rankin a établi que D < 3/5 En 1966 Bombieri (italien) et Davenport ( américain) sont arrivés, sans utiliser la conjecture de Riemann à : D < 1/2 Le dernier résultat en date est celui de Maier : D < 0.2486. Dernier résultat………. sauf que en 2003 Dan Goldston de san Jose State University California et Cem Yalcin Yillrin de Bogaziri university Istambul ont montré que D était égal à zéro ( ce qui prouve la conjecture des nombres premiers jumeaux ). Un examen attentif de la démonstration a révélé des erreurs. Apparemment, elles sont réparables sans trop de modifications par rapport raisonnement élaboré. On peut donc penser que la preuve de cette conjecture est sous toit. BOMBIERI ENRICO (1940- ) Mathématicien italien, lauréat de la médaille Fields en 1974 pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 26 novembre 1940 à Milan (Italie), Enrico Bombieri soutient, en 1963, sa thèse de doctorat à l’université de Milan. Professeur à l’université de Pise de 1966 à 1973, il enseigne à partir de 1974 à l’École normale supérieure de Pise et occupe la chaire I.B.M.-von Neumann à l’Institute for Advanced Study de Princeton (New Jersey). Spécialiste de la théorie des nombres, Bombieri a démontré, en 1965, un important théorème sur la densité des nombres entiers dans les progressions arithmétiques en utilisant des résultats sur la densité des zéros des fonctions L de Dirichlet. Ce théorème permet un nouveau type d’approche de problèmes classiques tels que la décomposition d’un nombre impair suffisamment grand en la somme de trois nombres premiers. En 1967, Bombieri prouve que la conjecture, énoncée en 1916 par Ludwig Bieberbach sur les fonctions holomorphes univalentes sur le disque unité, est localement vraie. En 1970, il démontre un résultat fondamental de la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes. En 1987, il améliore avec John Friedlander et Henryk Iwaniec le résultat de Viggo Brun sur la quantité de nombre premiers jumeaux inférieurs à un nombre donné. Bombieri a également apporté une contribution remarquable dans des domaines aussi variés que les équations aux dérivées partielles, l’analyse combinatoire, les pavages quasi cristallins, les surfaces minimales ou la théorie de la complexité. RIEMANN (Bernhard) 1826-1866 Les nombres premiers jumeaux Né dans un village du royaume de Hanovre, Riemann fit ses études supérieures et sa courte carrière universitaire à Göttingen. Il passa en Italie la plus grande partie de ses quatre dernières années : à l’époque, c’était le seul soulagement à la maladie pulmonaire qui le minait ; c’est ainsi qu’il repose dans un petit cimetière proche du lac Majeur. Voici une manière de représenter les nombres premiers : Après sa mort, son œuvre fut publiée en un seul volume, y compris les fragments posthumes, et cette brièveté ne tient pas seulement à la fin précoce du mathématicien : d’une part, ses démonstrations sont très intuitives, souvent incomplètes, sinon absentes ; d’autre part, il publiait, à de longs intervalles, des mémoires patiemment mûris. La nouveauté des notions et des méthodes qu’on y trouvait et l’intuition géniale qui les animait donnèrent aux mathématiques un élan encore perceptible aujourd’hui. Riemann, comme la plupart des mathématiciens de son époque, s’intéressait aussi, et de façon suivie, à la physique, et publia des mémoires sur de nombreux sujets : lois de répartition de l’électricité statique, contribution à l’électrodynamique, propagation d’ondes atmosphériques planes, mécanique de l’oreille, etc. Bonus Voici le graphe de la fonction (n) de Euler. Cette fonction compte pour un n donné, le nombre d’entiers inférieurs à n et premiers avec n. Bonus et dessins tirés de : Merveilleux nombres premiers J.-P. Delahaye ISBN 2-84245-017-5 Source : Major Advance on the Twin Primes Conjecture, Keith Delvin. MAA Les nombres premiers jumeaux