INTÉGRALE D`UNE FONCTION NUMÉRIQUE

INTÉGRALE D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE.
A. Intégrale d’une fonction constante sur [a ; b].
Exemple 1
Exemple 2
f est définie sur [2 ; 7] par f(x) = 3.
o
I = Error! = Error! = 3  (7 – 2) = 15
Remarque.
f admet pour primitive sur [2 ; 7] les fonctions F
définies par F(x) = 3x + cste.
On remarque que F(7) – F(2) = 3  7 – 3  2 = 15
I = Error! = F(7) – F(2) = Error!
g est définie sur [– 1 ; 3] par g(x) = – 2 .
o
J = Error! =Error! = –2  [3 – (–1)] = – 8
Remarque.
g admet pour primitive sur [– 1 ; 3] les fonctions G
définies par G(x) = – 2x + cste.
G(3) – G(–1) = –2  3 – (–2)  (–1) = – 6 – 2 = – 8
J = Error! = G(3) – G(–1) = Error!
Définition.
L’intégrale d’une fonction constante f : x  k sur un intervalle [a ; b] est le nombre réel I représentant
la mesure de l’aire algébrique du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites
verticales d’équation x = a et x = b.
On le note I =
Error!
.
Dans le cas de notre fonction constante f on a : I =
Error!
= k  (b – a).
Remarques.
● a est appelé la borne inférieure de l’intégrale ; b est appelé la borne supérieure de l’intégrale.
● Si k  0, I =
Error!
 0 ; si k ≤ 0, I =
Error!
≤ 0.
● I =
Error!
= F(b) – F(a) =
Error!
, F étant une primitive quelconque de f sur [a ; b]
B. Intégrale d’une fonction en escalier.
Exemple. Calculer le réel I =
Error!
ou E(x) désigne la partie entière du rée x.
Rappelons la définition de E(x) : pour tout réel x, E(x) = n où n est l’entier relatif tel que n ≤ x < n + 1.
En clair : tout réel x est compris entre deux entiers relatifs consécutifs ; E(x) est le plus petit des deux.

o
I =
Error!
= – 2  1 + (– 2)  1 + 0  1 + 1  0,3 = – 2,7.
C. Intégrale d’une fonction affine.
Exemple. f est définie sur  par f(x) = 2x – 1. Calculons le réel A = Error!
o
A
B
A' B'
A"
B"
I =
Error!
=
Error!
= Aire(AA’B’B)
Le polygone AA’B’B est un trapèze donc
I =
Error!
=
Error!
= 18
Remarque.
f admet pour primitive sur [2 ; 5] les fonctions F
définies par F(x) = x2 – x + cste.
F(5) – F(2) = 52 – 5 – (22 – 2) = 18.
Conclusion :
I =
Error!
= F(5) – F(2) =
Error!
D. Intégrale d’une fonction dans le cas général.
D.1. Définition.
Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert K, F l’une de ses primitives et a et b deux réels
appartenant à K.
On appelle intégrale de f entre a et b, le nombre réel I = F(b) – F(a) noté
Error!
ou
Error!
Error!
se lit « somme de a à b de f(x) dx » ou « intégrale de a à b de f(x) dx et représente la mesure de
l’aire algébrique du domaine compris entre la courbe l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et
x = b pris dans cet ordre.

Exemple. Voici la courbe d’une fonction numérique
Soit A1 la mesure de l’aire géométrique comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x = – 5 et x = 3.
Soit A2 la mesure de l’aire géométrique comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x = 3 et x = 7.
Error!
représente la différence entre A1 et A2 :
Error!
= A1 – A2.
Précisons que la mesure d’une aire géométrique est toujours positive, alors qu’une intégrale peut être
négative puisque dans certains cas le deuxième terme de la différence est plus grand que le premier.
Dans notre exemple, malheureusement ce n’est pas le cas mais je vous invite à dessiner la courbe d’une
fonction qui illustre notre propos.
Exemple. Calculer I =
Error!
D2. Règles du calcul intégral.
Soit f et g deux fonctions définies et continues sur [a ; b], soit c, un réel de [a ; b] et k un réel quelconque
R1.
Error!
= 0.
R2.
Error!
= –
Error!
R3.
Error!
+
Error!
=
Error!
. (relation de Chasles pour les intégrales)
R4.
Error!
=
Error!
+
Error!
R5.
Error!
= k
Error!
.
Preuve.
Remarque. Les règles R4 et R5 traduisent la linéarité de l’intégrale

D.3. Théorème1.
Soit f une fonction continue sur un intervalle K et a un réel appartenant à K.
La fonction définie pour tout réel de l’intervalle K par x 
Error!
est la primitive sur K de la fonction f
qui s’annule en a.
Preuve. Soit F une primitive quelconque de f et G la primitive de f qui s’annule pour a.
Pour tout réel x de K, G(x) = F(x) – F(a) =
Error!
D.4. Calcul d’aire.
Théorème 2. Soit a et b deux réels tels que a ≤ b, et f une fonction définie et continue sur [a ; b] et f
une fonction définie et continue sur l’intervalle [a ; b] et C sa courbe représentative dans un repère
orthogonal (O ; ;i , ;j ).
Si, pour tout réel x de [a ; b], f(x)  0 alors la courbe C est située au dessus de l’axe des abscisses du
repère et
Error!
est un nombre positif qui représente la mesure de l’aire géométrique exprimée en
unité d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et
x = b.
Une unité d’aire est l’aire d’un rectangle de côté portés par les vecteurs
;i et ;j
Conséquence immédiate. Si pour tout réel x de [a ; b], f(x) ≤ g(x) alors
Error!
≤
Error!
Exemple 1. Considérons la courbe C représentative de la fonction f définie sur ]0 ; + ∞ [ par f(x) =
Error!
.
o
Nous remarquons que sur ]0 ; + ∞ [ , la courbe C est entièrement situé au dessus de l’axe des abscisses.
Calculons l’aire A du domaine compris entre la courbe C l’axe des abscisses et les droites verticales
d’équations x = 1 et x = 5.
A =
Error!
=
Error!
= ln (5) – ln(1) = ln(5).
Plus généralement
Error!
=
Error!
= ln(x) – ln(1) = ln(x).
Remarques.
● Si une fonction f est négative sur l’intervalle [a ; b], sa courbe représentative est située en dessous de l’axe des
abscisses et l’aire du domaine D = {M(x,y)  P tels que a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ 0}vaut : –
Error!
.
● Si la fonction change de signe sur l’intervalle [a ; b], il faut calculer séparément l’aire située en dessous de l’axe
des abscisse et l’aire située au-dessus. Il faut donc connaître le (ou les) réel(s) c tel(s) que f(c) = 0.

Exemple 2. Calculer l’intégrale
Error!
. Interpréter graphiquement ce résultat.
Théorème 3.
Soit I, un intervalle, f et g deux fonctions continues sur I, et a, b deux réels appartenant à I tels que a ≤ b.
Si pour tout réel x de [a ; b] g(x) ≤ f(x) alors
Error!
≤
Error!
.
Interprétation géométrique dans le cas ou les fonctions f et g sont positives sur [a ; b]
Dessiner deux courbes qui sont situées au dessus de l’axe des abscisses et remarquer que l’aire
géométrique sous la courbe Cg est inférieure à l’aire sous la courbe Cf.
Remarque.
Error!
représente l’aire géométrique du domaine limité par les droites d’équation "x = a", "x
= b" et les deux courbes Cf et Cg.
Théorème 4.
Soit I un intervalle, f une fonction continue et positive sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que
a ≤ b.
S’il existe deux réels m et M tels que pour tout réel x de [a ; b] , m ≤ f(x) ≤ M alors
m(b – a) ≤
Error!
≤ M(b – a)
Interprétation géométrique. Faire un dessin.
Remarque 1.
Il existe donc un rectangle de hauteur μ et largeur b – a tel dont l’aire est égale à l’aire sous la courbe.
On a donc : μ(b – a) =
Error!
et μ =
Error!
Error!
μ est appelée valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a ; b] .
Remarque 2.
Le théorème et la définition précédente reste valable pour une fonction continue quelconque.
Dans ce cas la valeur μ peut être négative, la hauteur du rectangle est | μ | et les aires sont algébriques.