I.3 Equations de la dynamique des fluides parfaits

Mécanique des fluides 17/04/2017
Dynamique des fluides parfaits 2B
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Dynamique des Fluides
Parfaits
I Equations générales de la dynamique des fluides parfaits : ................................................. 2
I.1 Equations d’Euler ....................................................................................................... 2
I.2 Autre forme des équations d’Euler ............................................................................. 2
I.3 Equations de la dynamique des fluides parfaits ......................................................... 4
I.4 Conditions aux limites ................................................................................................ 4
II Relation de Bernoulli : ........................................................................................................ 6
II.2 Etablissement de l’équation de Bernoulli. ................................................................ 6
II.3 Interprétation énergétique : ....................................................................................... 6
III Application du théorème de Bernoulli .............................................................................. 9
III.1 Vase de Manotte: ..................................................................................................... 9
III.2 Torpille : .................................................................................................................. 9
III.3 Ventilation d’un tunnel : ........................................................................................ 10
III.4 Formule de Torricelli : ........................................................................................... 10
III.5 Pression dans une conduite : .................................................................................. 12
III.6 Pression en un point d'arrêt, tube de Pilot : ........................................................... 13
III.7 Tube de Ventury : .................................................................................................. 13
III.8 Etude simplifiée du réservoir : ............................................................................... 15
III.9 Oscillations dans un tube an U .............................................................................. 15
IV Théorème d'Euler ............................................................................................................ 17
IV.1 Théorème de la quantité de mouvement ................................................................ 17
IV.2 Cas particulier du régime permanent: .................................................................... 18
IV.3 Exemple d’applications ......................................................................................... 19
Ecrit par :
Chaplier Baptiste
De Larocque Antoine
Dedieu guillaume
Macé Amélie
Séguy Frédéric
Travers Nicolas

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I Equations générales de la dynamique des
fluides parfaits :
Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux mouvements
parfaits, c'est-à-dire sans frottement (fluides non visqueux).
Nous étudierons tout particulièrement le cas des fluides
incompressibles.
I.1 Equations d’Euler
Lorsque l’on étudie les forces qui agissent sur un élément
de volume, on distingue :
 les forces de volume
 les forces de pression
 les forces d’inertie proportionnelles à l’accélération
Ces forces satisfont l’équation :
mF 
d’où
z
p
Z
y
p
Y
x
p
X
pgradF
dt
Vd
z
y
x
1
1
1
)(
1
(1)
I.2 Autre forme des équations d’Euler
Les équations de la dynamique des fluides sont souvent
utilisées sous une autre forme. On considère la trajectoire
d’une particule se déplaçant à une vitesse V, de composantes
u, v, w à l’instant t, ces composantes sont fonction de x, y,
z et t.
)(
1xyztfu 
A l’instant t+dt, on a :
M
M’
V
V+dV

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dt
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
udt
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
udt
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
utzyxf
dttwdtzvdtyudtxfduu
)()()(),,,(
),,,(
1
1
d’où
z
w
w
y
w
w
x
w
w
t
w
dtzd z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
dtyd z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
dtxd
z
y
x
²
²²
²²
²
(2)
Les expressions de (2) sont les projections de
l’expression vectorielle :
)()(
1
2²VgradV t
V
pgradF
t
V
VVrot
V
grad 
En reliant les égalités (1) et (2), on obtient :
z
p
Z
z
w
w
y
w
w
x
w
w
t
wy
p
Y
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
vx
p
X
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
1
1
1
On suppose que les forces de volume dérivent d’un
potentiel :
z
U
Z
y
U
Y
x
U
X
En général, on se trouve dans le champ de pesanteur, on
a : U=gh

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g
z
h
gZ
YX  0
I.3 Equations de la dynamique des fluides
parfaits
I.3.a Condition de continuité
Conservation de la masse :
0)( 
Vdiv
t
0)(0)(.0)(  VdivVdivVdivcste
I.3.b Equation caractéristique du fluide
A chaque fluide peut-être associé une équation de la forme
0),,( Tpf
.
L’équation se traduit en général aux trois formes
suivantes :
)(Tf
pour un fluide incompressible
KpT 1)(
0
pour un fluide légèrement incompressible
rT
p
pour un gaz parfait
I.3.c Equation complémentaire
 Pour une transformation isotherme :
Si on suppose qu’on a un fluide incompressible, on a :
cste
Si on a un gaz parfait, on a :
cste
p
 Pour une transformation adiabatique :
Si on suppose qu’on a un fluide incompressible, on a :
cste
Si on a un gaz parfait, on a :
cste
k
p
I.4 Conditions aux limites
L’équation d’Euler associée à l’équation de continuité
forme un système de quatre équations à quatre inconnues. Nous
nous intéressons dans ce paragraphe aux conditions aux limites
qui peuvent être associées à ces équations.

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I.4.a Paroi
Considérons une paroi fixe d’équation P(x,y,z)=0. La
vitesse
w
v
u
V
doit être parallèle à la paroi et donc
perpendiculaire à la normale à la paroi. Cette normale étant
définie par les composantes
.,, z
F
y
F
x
F
D’où la condition aux
limites s’écrit :
0
z
F
w
y
F
v
x
F
u
Considérons une paroi mobile d’équation P(x,y,z,t)=0 à
l’instant t. La condition aux limites se traduit alors par
l’équation.
ou
0)(
0
pgradV
t
p
t
F
z
F
w
y
F
v
x
F
u
p
I.4.b Surface libre
On appelle surface libre l’interface entre deux fluides.
Le long de cette surface la pression est constante et la
composante normale de la vitesse doit être continue.
0),,,( tzyxp