surfaces d`ondes. - E

LE MODELE DES ONDES.
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LE MODELE DES ONDES : LES OUTILS DE DESCRIPTION.
Les Pré Requis mathématiques:
1. Relations trigonométriques utiles (en plus des définitions de base):
cos²(a) + sin²(a) = 1; sin²(x) =
Error!
; cos²(x) =
Error!
;
sin(p) + sin(q) = 2. sin(
Error!
).cos(
Error!
);
cos(p) + cos(q) = 2.cos(
Error!
).cos(
Error!
);
cos(p) - cos(q) = -2. sin(
Error!
).sin(
Error!
);
2. Nombre complexes:
 Les écritures possibles: z = a + j.b (forme algébrique);
(j² = -1) z = r.[cos() + j.sin()] (forme trigonométrique)
z = r.exp(j) (forme exponentielle complexe).
a = r.cos() : partie réelle; b = r.sin() : partie imaginaire;
r = a² + b² : module de z;  : argument (défini à 2 près).
 Complexe conjugué de z = a + j.b: c'est z* = a - j.b ou z* = r.exp(-j).
(Remarque : le complexe conjugué est noté aussi
z
).
 Module (ou norme) d'un complexe :
*z.zz 
. (On retient z² = z.z*)
 Produit et quotient de deux complexes :
)]'-.exp[j(
r'
r
z'
z)]'r.r.exp[j(z.z'
.
 Formule de Moivre :
)j.sin(m)cos(m)j.sin()cos( m
.
 Lien avec les lignes trigonométriques:
2jx)exp(exp(jx)
cos(x) 
;
2j jx)exp(-exp(jx)
sin(x) 
I : L'équation des ondes à une dimension: l'onde progressive harmonique.
1°) Équation de d'Alembert à une dimension.
 Le concept d'onde :
On appelle onde toute vibration qui s'étend sur une zone spatiale importante en comparaison des dimensions propres des par-
ticules qui composent la matière. Par vibration en un point donné de l'espace, il ne faut pas entendre uniquement un déplacement
des molécules au voisinage de ce point, mais plus généralement la variation, au cours du temps, d'une certaine grandeur physique
au point considéré. Cette grandeur peut être scalaire ou vectorielle .
Exemples d'ondes scalaires: - rides à la surface de l'eau;
- ondes acoustiques (provoquées par des variations locales de pression ou, ce qui re-
vient au même, par le déplacement des molécules suivant la direction de propagation
de l'onde);
- ébranlement le long d'une corde;
- déformation d'un ressort;
Exemples d'ondes vectorielles : - les ondes électromagnétiques (dont la lumière visible n'est qu'un cas particulier) résul-
tent quant à elles de la variation de champs électrique et magnétique
 Onde transversale, onde longitudinale :
Lorsque la vibration s'effectue perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde, on parle d'onde transversale. Ce cas
concerne évidemment les rides à la surface de l'eau, les vibrations d'une corde ou d'une membrane, mais aussi les ondes électro-
magnétiques (dans ce dernier cas, l'aspect transversal de la vibration est à l'origine d'une propriété importante de la lumière, la
polarisation ).
Lorsque, au contraire, la vibration s'effectue suivant la direction de propagation de l'onde, on parle d'onde longitudinale. (Cas
des ondes acoustiques ou celles qui courent le long d'un ressort comprimé localement).
 L'équation des ondes à une dimension (ou équation de d'Alembert) :
On cherche les fonctions (x, t) vérifiant l'équation aux dérivées partielles (dite équation des ondes ou
équation de d'Alembert à une dimension) :
0
12
2
22
2
tvx
v, homogène à une vitesse, est appelée la célérité de l'onde.

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Cette équation présente une symétrie spatiale (invariance en changeant x en -x ) et
une symétrie temporelle (invariance par renversement du temps).
2°) Ondes stationnaires et ondes progressives.
Une dernière distinction concerne le mouvement global de l'onde. Lorsque les points de vibration maximale (par exemple) se
déplacent (comme dans le cas des rides de l'eau), on parle d'onde progressive.
Lorsque, au contraire, les points de vibration maximale restent immobiles, on parle d'onde stationnaire. Une onde stationnaire
s'obtient en général en faisant interférer deux ondes progressives de même fréquence, se propageant suivant des directions dis-
tinctes. Elle peut également s'obtenir en limitant l'extension spatiale d'une onde progressive, par exemple en intercalant un obstacle
dans le cas d'une onde acoustique, ou en fixant l'une des extrémités dans le cas d'une corde vibrante. Il s'agit d'ailleurs dans les
deux cas du même phénomène, car la limitation de la progression de l'onde donne naissance à une onde réfléchie qui interfère
avec l'onde initiale. Il y a mieux : en bloquant l'extension spatiale de l'onde de toutes parts, on montre que seules les ondes sta-
tionnaires ayant certaines fréquences bien déterminées peuvent subsister (ces fréquences particulières dépendent de la nature et
de la géométrie du volume où les ondes sont confinées). Ces ondes particulières, appelées modes propres du système, intervien-
nent notamment en acoustique pour la production des sons des instruments de musique et en électromagnétisme, pour la con-
ception des cavités des accélérateurs de particules .
 Ondes stationnaires :
On cherche des solutions stationnaires à l'équation des ondes, par la méthode dite de séparation des va-
riables sous la forme : (x, t) = f(x).g(t) (découplage des variables d'espace et de temps).
On montre que les solutions physiquement acceptables conduisent à des solutions ondulatoires de la
forme :
(x, t) = [a1cos(t) + a2sin(t)] . [b1cos(kx) + b2sin(kx)],
les constantes a1, a2, b1 et b2 dépendant des "conditions aux limites" (l'analogue des conditions initiales pour
une équation différentielle ordinaire).
 Ondes progressives :
Une autre démarche pour résoudre l'équation des ondes consiste à chercher des solutions avec une dé-
pendance spatio-temporelle en x  v.t.
On montre que les solutions cherchées s'écrivent sous la forme :
(x, t) = f(x - v.t) + g(x + v.t),
les fonctions f et g étant des fonctions quelconques (au moins toutefois de classe C2).
La dépendance en (x - v.t) représente une propagation vers les x , et vers les x 
pour celle en (x + v.t ).
3°) L'onde progressive harmonique (ou monochromatique).
Parmi toutes les fonctions f (ou g) possibles décrivant une onde progressive, on étudie celles dont le pro-
fil est sinusoïdal. On dit aussi: monochromatique dans le langage de l'optique,
ou harmonique dans le langage de la musique.
Par la suite, on notera O.P.H (ou O.P.M.) une Onde Progressive Harmonique (ou Mo-
nochromatique).
 Structure d'une O.P.H.
On écrit l'onde sous la forme:
 v
x
txAtx cos).(),(
.
 A(x) représente l'amplitude de l'onde (qui peut éventuellement dépendre de la position au point considé-
ré);
  est la pulsation temporelle de l'onde. En notant f sa fréquence et T sa période :
f
T
f
1
.2
.
v
x
t
représente la phase de l'onde; c'est pourquoi v est dite "vitesse de phase" de l'onde, souvent no-
tée v.
 On note
Tv .
, la quantité scalaire homogène à une longueur, appelée longueur d'onde, représentant
la période spatiale de l'onde.

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 On définit également
1
.  est appelé "nombre d'onde".
 On note k le scalaire défini par
2
 v k
. k représente la "pulsation spatiale" de l'onde.
II : Ondes à trois dimensions : surfaces d'ondes.
1°) Ondes sphériques; ondes planes.
 Pour un problème à trois dimensions, l'équation des ondes devient :
0
12
2
2
 tv
,
où représente le laplacien (scalaire) de la fonction .
Ainsi, en coordonnées cartésiennes, s'écrit :
2
2
2
2
2
2
zyx 
.
 Soit un problème à symétrie sphérique: la fonction t) cherchée ne dépend que du temps et de la
distance r = OM.
Le laplacien s'écrit alors en coordonnées sphériques :
2
2
1r
r r r
.
On montre que les ondes progressives harmoniques, appelées ici ondes sphériques
harmoniques, s'écrivent sous la forme
)),( krtcos(
r
A
tr
. On parle d'onde diver-
gente à partir du point O si la phase est en t - kr et convergente vers O pour une phase
en t + kr.
 Surfaces d'onde.
On appelle surface d'onde associée à une onde (M,t) le lieu des points M tels que
(M,t) = Cste à t donné.
Ainsi, par exemple, pour l'onde sphérique précédente, les surfaces d'onde sont des sphères de centre O.
 Le modèle de l'onde plane.
Que deviennent localement les surfaces d'onde sphériques quand on observe l'onde en un point très éloi-
gné de sa source O ?
Le schéma ci-dessous illustre cette situation:

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Localement, les surfaces d'onde sont des plans parallèles entre eux : on parle alors d'onde plane.
Plus précisément, une onde plane correspond à une solution de l'équation des ondes
de la forme (M,t) = f(.t  k; .r; ), où k; est un vecteur donné, appelé vecteur
d'onde.
Comme précédemment, on note k = || k; || =
Error!
le module du vecteur d'onde.
Les surfaces d'onde sont ici des plans, perpendiculaires à la direction définie par k; .
2°) L'onde plane progressive harmonique (OPPH).
 Parmi tous les "profils" d'ondes planes possibles, on étudie plus particulièrement le profil sinusoïdal, qui
définit l'onde plane progressive harmonique (en abrégé OPPH), ou encore onde plane progressive mono-
chromatique (OPPM).
Une OPPH (ou OPPM) s'écrit sous la forme :
rktAtr 
.cos.),( 
.
A caractérise l'amplitude de l'onde plane, sa pulsation temporelle et k; son vecteur d'onde.
L'onde se propage dans le même sens que
k; si la phase s'écrit en t - k;
 .r;
et dans le sens
opposé à k; pour une phase en t + k;
 .r;
.
 Représentation complexe d'une OPPH :
L'utilisation de la notation complexe dans les grandeurs physiques est légitime tant que les phénomènes
étudiés restent linéaires.
Elle consiste à représenter l'onde harmonique
rktAtr 
.cos.),( 
par le
nombre complexe :
rktj
eA 
.
.
.
Le lien avec l'observable physique est alors simplement :
)( e
.
Le calcul sur les nombres complexes se révèle beaucoup plus aisé qu'avec les grandeurs trigonométriques
réelles.
En particulier, la moyenne temporelle de ² s'écrit :
2
22
1
*.
2
1 temp
.
3°) Théorème de Malus-Dupin.
 Relation entre phase et chemin optique.
Pour une onde sphérique, le terme en k.r s'écrit aussi :
MO
Lrk  0
2
.
, où 0 représente la longueur
d'onde dans le vide.
Pour une onde plane, la différence de phase à un instant t donné entre deux points O et M s'écrit : (M) -
(O) = k;
 .OM;
, soit encore :
MOOM L
 0
)()( 2
Généralisation : les surfaces d'onde, ou surfaces équiphase, sont aussi le lieu des
points M tels que LOM = Cste.
 Théorème de Malus-Dupin :
Quel que soit le milieu, homogène ou non, et quel que soit le nombre de dioptres tra-
versés, les rayons lumineux sont perpendiculaires aux surfaces d'onde.
III : Polarisation d'une onde transversale.
Position du problème :
Le concept de polarisation n'a de sens que pour les ondes transversales, de nature vectorielle (ondes se
propageant dans un milieu à deux ou trois dimensions), comme par exemple les ondes électromagnétiques
(notées O.E.M) et plus particulièrement pour ce qui nous intéresse les ondes lumineuses.

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La polarisation d'une OEM est définie à partir de son vecteur champ électrique E; ,
comme la nature de la courbe décrite par l'extrémité de E; dans un plan d'onde. Par
convention, le sens de rotation (gauche ou droite) est défini pour un observateur qui re-
çoit l'onde.
Pour une lumière se propageant selon Oz , l'orientation de E ; , appelée direction de polarisation, est tou-
jours perpendiculaire à la direction de propagation Oz , donc selon Ox , Oy ou toute autre orientation dans le
plan xOy . On distingue, suivant l'orientation de E ; , trois types de polarisation: rectiligne, elliptique ou cir-
culaire.
1°) Polarisation rectiligne.
On parle de polarisation rectiligne quand le vecteur décrivant l'onde (E; pour une
OEM) conserve une direction fixe au cours du temps.
 Cas d'une OPPH polarisée rectilignement (notée OPPHR ou OPPMR).
Soit Oz la direction de propagation de l'onde plane progressive harmonique polarisée rectilignement; alors
le vecteur champ électrique s'écrit en un point M à l'instant t :
E;
 (M,t) =
A.cos( t - (M)). e0; , où e0; est un vecteur fixé.
Le plan défini par ez; et e0; est appelé plan d'incidence.
De façon plus générale, dans une base quelconque (x, y, z), e0; se décompose dans le plan (x, y) suivant
: e0;
 = cos(
ex;
 + sin()
ey; et l'OPPHR a pour vecteur E ; =
0
))(cos(.sin
))(cos(.cos
MtA
MtA
.
Ainsi, pour une OPPHR, || E ; || = A constante et Ex / Ey = Cste.
2°) Cas général : polarisation elliptique.
Soit une OPPH se propageant vers les z . Son vecteur champ électrique peut, après un éventuel chan-
gement de l'origine des dates, s'écrire sous la forme : E ; =
0
)cos(.
)cos(.
kztb
kzta
, fixé.
Les composantes Ex et Ey vérifient alors l'équation :
)(sincos
.
.
22
2
2
2
2
 ba
EE
b
E
a
Eyxy
x
: équation d'une ellipse.
Une telle expression montre que la polarisation la plus générale d'une OPPH est elliptique (notée alors
OPPHE ou OPPME). Le sens de parcours sur l'ellipse dépend du signe de sin (Voir tableau général plus
loin).