3° Exemple P d`équation – 2 x + 3 y + z – 2 = 0 et P ` d`équation x + 2

BARYCENTRE
I BARYCENTRE DE DEUX POINTS
1° Définition
Soit A et B deux points et a et b deux réels dont la somme n'est pas nulle.
Alors, il existe un unique point G de l'espace tel que
Error!
Ce point G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.
En particulier, le barycentre de A et B affectés du même coefficient non nul est le milieu de [AB].
2° Propriété fondamentale
Si G est le barycentre de (A ; a) et (B ; b) avec a + b  0, alors, pour tout point M de l'espace
Error!
En prenant M en A, on obtient : Error!.
En prenant M en B, on obtient : Error!
II BARYCENTRE DE TROIS POINTS (ET PLUS)
1° Définition
Soit A, B, C trois points et a, b et c trois réels dont la somme n'est pas nulle. Alors, il existe un unique point G de
l'espace tel que
Error!
Ce point est le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients a, b, c.
2° Propriété fondamentale
Si G est le barycentre de (A ; a), (B ; b) et (C ; c) avec a + b + c  0, alors, pour tout point M de l'espace :
Error!
3° Théorème d'associativité
Soit trois points A, B, C et trois réels a, b et c tels que a + b + c  0.
Si a + b  0, le barycentre G du système {(A ; a), (B ; b), (C ; c)
G est aussi le barycentre du système {(H ; a + b), (C ; c) }, avec H barycentre du système de points {(A ; a), (B ; b)1.
Ce théorème s'étend dans le cas d'un plus grand nombre de points ; on peut toujours, dans la recherche du barycentre
de plusieurs points, remplacer deux (ou plus) de ces points par leur barycentre partiel, affecté de la somme des
coefficients des points remplacés, sous réserve que cette somme soit non nulle.
4° Propriétés

Le barycentre ne change pas lorsqu'on multiplie les coefficients de chaque point par un même réel non nul.

Si A, B et C ont pour coordonnées (xA ; yA ; zA), (xB ; yB ; zB) et (xC ; yC ; zC) dans un repère (O ; Error!, Error!,
Error!) de l'espace, alors les coordonnées du barycentre G de (A ; a), (B ; b), (C; c), avec a + b + c  0 sont :
Error!
Error!
Error!

Le barycentre de trois points A, B et C non alignés appartient au plan (ABC).

Le barycentre de trois points A, B, C non alignés affectés de coefficients de même signe appartient à l'intérieur du
triangle ABC.
II CARACTERISATION D'UNE DROITE, D'UN PLAN.
1° Droite et segment
Soit A et B deux points distincts.
Le barycentre G de deux points distincts A et B appartient à la droite (AB).

Si a et b sont de même signe, G appartient au segment [AB].

Si a et b sont de signes contraires, G est à l'extérieur du segment [AB].
Réciproquement

Tout point de la droite (AB) est barycentre des points A et B.

Tout point du segment [AB] est barycentre des points A et B affectés de coefficients positifs ou nuls.
2° Plan et triangle

Le barycentre de trois points A, B et C non alignés appartient au plan (ABC).

Le barycentre de trois points A, B, C non alignés affectés de coefficients de même signe appartient à l'intérieur du
triangle ABC.
Réciproquement

Tout point du plan (ABC) est barycentre des points A, B et C.

Tout point de l'intérieur d'un triangle ABC est barycentre des points A, B et C affectés de coefficients positifs ou
nuls.
IV POSITIONS RELATIVES DE DEUX PLANS
1° Etude géométrique
Théorème Soit . P et P ' deux plans de vecteurs normaux respectifs Error! et Error!

P et P ' sont parallèles si, et seulement si, Error! et Error! sont colinéaires.

P et P ' sont sécants si, et seulement si, Error! et Error! ne sont pas colinéaires.
2° Etude analytique
Etudier l'intersection de deux plans donnés par leurs équations cartésiennes revient à étudier le nombre de solutions du
système formé par ces deux équations.
Théorème
Soit P d'équation a x + b y + c z + d = 0 et P ' d'équations cartésiennes respectives a' x + b' y + c' z + d' = 0

P et P ' sont parallèles si, et seulement si, les coefficients (a, b, c) et (a', b', c') sont proportionnels.

P et P ' sont sécants si; et seulement si, les coefficients (a, b, c) et (a', b', c') ne sont pas proportionnels.
Remarque Dans le cas où les deux suites (a, b, c) et (a', b', c') ne sont pas proportionnelles, le système
{ a x + b y + c z + d = 0;a' x + b' y + c' z + d' = 0 est un système d'équations cartésiennes de la droite d'intersection des
plans P et P '.
A partir de ce système de deux équations cartésiennes on peut déterminer une représentation paramétrique de cette
droite
3° Exemple P d'équation – 2 x + 3 y + z – 2 = 0 et P ' d'équation x + 2 y + z – 3 = 0.
{ – 2 x + 3 y + z – 2 = 0;x + 2 y + z – 3 = 0  { x + z = – 2 y + 3;3 x – y = 1  Error!  Error!
représentation parallèle de D : Error! t  Error!
V POSITIONS RELATIVES D'UNE DROITE ET D'UN PLAN.
1° Etude géométrique
Théorème Soit P un plan de vecteur normal Error! et D une droite de vecteur directeur Error! .
D et P sont parallèles si, et seulement si, Error! et Error! sont orthogonaux.
Remarque : Dans le cas où P et D ne sont pas parallèles, D est sécante à P en un unique point.
2° Etude analytique
Soit P le plan d'équation cartésienne a x + b y + c z + d = 0 et D la droite définie par le point A(xA; yA; zA) et le vecteur
Error!(, , )
Etudier la position relative de P et D revient à résoudre le système
{a x + b y + c z + d = 0;x = xA +k ;y = yA + k ;z = zA + k  à 4 inconnues. x, y, z et k
3° Exemple
P est le plan d'équation – x + 2 y + z – 1 = 0 et D est la droite de représentation paramétrique
{ x = – 2 + 2 t;y = 1 + t;z = – 3 t t  I; R
Recherche de t : – (– 2 + 2 t) + 2 (1 + t) – 3 t – 1 = 0  2 – 2 t + 2 + 2 t – 3 t – 1 = 0  – 3 t + 3 = 0  t = 1.
Coordonnée du point d'intersection : { x = – 2 + 2;y = 1 + 1;z = – 3  1 donc M( 0, 2, – 3)
VI POSITIONS RELATIVES DE TROIS PLANS
1° Etude géométrique
Théorème
Soit P1 , P2 et P3 trois plans distincts non parallèles deux à deux, de vecteurs normaux respectifs Error! , Error! et
Error!.

Si Error! , Error! et Error!. sont coplanaires, alors l'intersection de P1 , P2 et P3 est soit l'ensemble vide (lorsque
la droite d'intersection de deux des plans est strictement parallèle au troisième), soit une droite (lorsque la droite
d'intersection de deux des plans est contenue dans le troisième, soit un plan (lorsque les trois plans sont confondus).

Si Error! , Error! et Error!. ne sont pas coplanaires, alors l'intersection de P1 , P2 et P3
est un point.
2° Etude algébrique
Soit P1 , P2 et P3 trois plans distincts non parallèles deux à deux, d'équations cartésiennes respectives
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 et a3 x + b3 y + c3 z + d3 = 0.
Etudier l'intersection des trois plans P1 , P2 et P3 revient à résoudre le système de trois équations à trois inconnues
(S) { a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0;a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0;a3 x + b3 y + c3 z + d3 = 0.
S'il existe deux réels k et k' tels que { a1 = k a2 + k' a3;b1 = k b2 + k' b3;cl = k c2 + k' c3 alors :
Soit d1 = k d2 + k' d3 et le système est réduit à deux équations cartésiennes. L'intersection de P1 , P2 et P3 est une
droite dont un système d'équation cartésienne est { a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0;a3 x + b3 y + c3 z + d3 = 0. ou un plan
d'équation a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0.
Soit d1  k d2 + k' d3 , et le système n'admet pas de solution : l'intersection de P1 , P2 et P3 est l'ensemble vide.

S'il n'existe pas deux réels k et k' tels que { a1 = k a2 + k' a3;b1 = k b2 + k' b3;cl = k c2 + k' c3 alors le système (S)

admet le une solution unique et l'intersection de P1 , P2 et P3 est un point.
3° Exemples
 Etudier l'intersection des plans P1 , P2 et P3 d'équations cartésiennes respectives
x + 2 y – z – 4 = 0, – 2 x + 3 y + z – 1 = 0 et – 5 x + 4 y + 3 z + 2 = 0.
Pour déterminer l'intersection de P1 , P2 et P3 , on étudie le système :
{ x + 2 y – z – 4 = 0;– 2 x + 3 y + z – 1 = 0;– 5 x + 4 y + 3 z + 2 = 0.
Pour cela, on recherche s'il existe deux réels k et k' tels que { – 2 k – 5 k' = 1;3 k + 4 k' = 2;k + 3 k' = – 1.
La résolution de ce système donne k = 2 et k' = – 1.
Pour conclure, on remarque que (– 1)  2 + 2  (– 1) = – 4 , donc les trois plans P1 , P2 et P3 ont pour intersection la
droite D dont un système d'équations cartésiennes est : { – 2 x + 3 y + z – 1 = 0;– 5 x + 4 y + 3 z + 2 = 0.
En calculant x et y en fonction de z dans ce dernier système, on obtient x = Error! et y = Error! ,
ce qui permet de donner une représentation paramétrique de D Error!
En conclusion, l'intersection de P1 , P2 et P3 est la droite D passant par le point A( 10/7 ; – 9/7 ; 0) et de vecteur
directeur
Error! (5/7 ; 1/7 ; 1) .
 Etudier l'intersection des plans P1 , P2 et P3 , d'équations cartésiennes respectives
x – y – 2 z – 4 = 0, 4 x – y + z – 7 = 0 et 2 x + y + 5 z – 5 = 0.
On étudie le système { x – y – 2 z – 4 = 0;4 x – y + z – 7 = 0;2 x + y + 5 z – 5 = 0.
On remarque que les réels k = 2 et k' = – 2 sont solutions du système { 4 k + 2 k' = 1;– k + k' = – 1;k + 5 k' = – 2
mais (– 7)  Error! + (– 5)  Error! – 4. Donc les trois plans sont sécants deux à deux et l'intersection de 011 , 012
et J3 est l'ensemble vide.
 Etudier l'intersection des plans P1 , P2 et P3 d'équations cartésiennes respectives
x – y – 2 z – 4 = 0, 4 x – y – z – 7 = 0 et 2 x + y + 5 z – 5 = 0.
On étudie le système (S) { x – y – 2 z – 4 = 0;4 x – y – z – 7 = 0;2 x + y + 5 z – 5 = 0
On remarque que le système { 4 k + 2 k' = 1;– k + k' = – 1;– k + 5 k' = – 2 n'admet pas de solution.
Donc l'intersection des trois plans est un point dont on calcule les coordonnées en résolvant le système (S).
En conclusion : les trois plans P1 , P2 et P3 ont pour intersection le point A(0 ; – 10 ; 3).
Ex 1 x + 2 y – z – 4 = 0, – 2 x + 3 y + z – 1 = 0 et – 5 x + 4 y + 3 z + 2 = 0. Ex 2
x – y – 2 z – 4 = 0, 4 x – y – z – 7 = 0 et 2 x + y + 5 z – 5 = 0.
x – y – 2 z – 4 = 0, 4 x – y + z – 7 = 0 et 2 x + y + 5 z – 5 = 0.