Document

Page 1 sur 6
Etude de la chute d’une bille dans un liquide Document : J-C.Bertrand & M.Moppert
TS
Physique
Etude de la chute d’une bille dans un liquide
Exercice résolu
- Enoncé –
Avertissement : toutes les réponses seront justifiées.
Données :
- expression du volume d’une sphère de rayon R : V =
Error!
 R3
- valeur du vecteur champ de pesanteur : g = 9,8 m.s-2
- expression de la valeur de la poussée d’Archimède : F = m’.g = ’.V.g (’ : masse volumique du
fluide et m’ : masse de liquide déplacé par la bille).
On filme la chute verticale d’une bille de masse m = 4,1 x 10—3 kg et de rayon R = 5,0 x 10—3 m,
lâché à la date t = 0, sans vitesse initiale, dans un liquide de masse volumique ’ = 7,50 x 102 kg.m-
3. Le film est analysé par un logiciel adapté et on relève les positions successives y de la position
du centre d’inertie G de la bille en fonction du temps. Les valeurs obtenues permettent de tracer
la courbe n°1 (en annexe) représentative de la fonction t  y(t) et le traitement de cette série
de mesures permet de tracer la courbe n°2 (en annexe) modélisant la fonction t  vy(t).
A. Analyse des courbes
1. La courbe n°1 présente une partie linéaire.
a) Déterminez la valeur du coefficient directeur de cette asymptote.
b) Que représente ce coefficient directeur ?
c) A quel type de mouvement correspond la partie linéaire ?
2. La courbe n°2 permet de mettre en évidence deux régimes distincts pour le mouvement de la
bille.
a) Identifiez ces deux régimes.
b) Déterminez le temps caractéristique  du premier régime. Précisez la méthode utilisée.
c) Quelle est la valeur limite vlim atteinte par la vitesse ?
B. Etude dynamique en régime permanent
La bille est soumise à son poids
P
et à la poussée d’Archimède
F
. On étudie le mouvement dans
un référentiel terrestre, supposé galiléen.
1. Calculez les valeurs P et F du poids de la bille et de la poussée d’Archimède. Représentez ces
forces sur un schéma.
2. L’existence d’une vitesse limite implique l’existence d’une troisième force, dite force de
frottement et notée
f
.
a) Enoncez le principe d’inertie (première loi de Newton).
b) En appliquant ce principe à la bille lorsque sa vitesse est devenue constante, déterminez la
direction, le sens et la valeur f de la force
f
.
C. Modélisation de la force de frottement et équation différentielle

Page 2 sur 6
Etude de la chute d’une bille dans un liquide Document : J-C.Bertrand & M.Moppert
La force de frottement est modélisée par :
.f k v
1. a) Montrez que la mesure de la vitesse limite vlim permet de déterminer la valeur du coefficient
k.
b) Déterminez l’unité de k par une analyse dimensionnelle.
c) Déterminez la valeur numérique de k à partir de la valeur vlim trouvée graphiquement.
2. a) Enoncez la deuxième loi de Newton.
b) En projetant cette loi dans un repère (O,
i
) vertical orienté dans le sens du mouvement,
montrez que l’équation différentielle régissant le mouvement du centre d’inertie de la bille est
de la forme :
.
yy
dv av b
dt 
avec
k
am
et
( '). mm
bg
m
3. La solution de l’équation différentielle peut être mise sous la forme :
( ) .(1 )
t
y
v t A e
Remarque : S.I. signifie que les unités sont exprimées dans le système international.
a) Déterminez les expressions littérales de A et  en fonction de m, m’, g et k.
b) On porte sur le graphe n°3 (en annexe) les points expérimentaux et la courbe représentative
de la solution de l’équation différentielle. Quelle conclusion peut-on en tirer quant à la validité
du modèle proposé pour la force de frottement ?
D. Méthode d’Euler
Le tableau de mesures qui a permis de tracer les courbes n°1 et n°2 est partiellement donné en
annexe.
En utilisant l’équation différentielle proposée en C.2.b, avec a = - 8,0 s-1 et b = 9,6 m.s-2, calculez
la dernière valeur de la vitesse v par la méthode numérique d’Euler.
ANNEXE

Page 3 sur 6
Etude de la chute d’une bille dans un liquide Document : J-C.Bertrand & M.Moppert
Courbe n°1
Courbe n°2

Page 4 sur 6
Etude de la chute d’une bille dans un liquide Document : J-C.Bertrand & M.Moppert
Courbe n°3
Tableau de mesures
A
B
C
1
t(s)
y (m)
v (m.s-1)
2
0,000
0,000
0,000
3
0,040
0,009
0,025
4
0,080
0,020
0,513
5
0,120
0,050
0,750
6
0,160
0,080
0,875
7
0,200
0,120
1,000
8
0,240
0,160
1,063
9
0,280
0,205
1,100
10
0,320
0,248
1,125
11
0,360
0,295
1,138
12
0,400
0,339
1,163
13
0,440
0,388
1,175
14
0,480
0,433
1,183
15
0,520
0,481
1,188
16
0,560
0,526
- Corrigé -

Page 5 sur 6
Etude de la chute d’une bille dans un liquide Document : J-C.Bertrand & M.Moppert
A. Analyse des courbes
1. a) Dans la partie linéaire on peut écrire y = a1 .t + b, a1 étant le coefficient directeur de la
droite.
A A B B
Considérons les points A (y = 0 m ; t = 0,106 s ) et B (y 0,455 m ; t = 0,500 s )
a1 =
BA
BA
y - y 0,455
=
t - t 0,500 - 0,106
= 1,15 m.s-1
b) y = a1 .t + b =>
1
dy
v = = a
dt
Le coefficient directeur de la droite représente la valeur (constante) de la vitesse de la bille.
c)
La trajectoire est rectiligne, la vitesse est constante, le mouvement de la bille est rectiligne uniforme.
2. a) Pour t < 0,400 s, la vitesse de la bille augmente : c’est le régime transitoire.
Pour t > 0,400 s, la bille a atteint sa vitesse limite : c’est le régime permanent.
b) Sur la courbe n°2, l’abscisse de l’intersection de la tangente à l’origine et de l’asymptote
permet de déterminer le temps caractéristique . On trouve  = 180 ms.
c) vlim = 1,2 m.s-1 (asymptote de la courbe n°2)
B. Etude dynamique en régime permanent
1. P = m.g soit P = 4,1 x 10-3 x 9,8 = 4,0 x 10-2 N
F = m’.g = ’.V.g => F = ’.
4
3
..R3.g soit : F = 7,50 x 102 x
4
3
x 3,14 x (5,0 x 10-3)3 x 9,8 = 3,8 x
10-3 N
Les deux forces sont appliquées au centre d’inertie de la bille. Leur direction est verticale. Le
poids est dirigé vers le bas et la poussée d’Archimède est dirigée vers le haut.
2. a) Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures qui s’exercent sur un
système est égale au vecteur nul, alors son centre d’inertie est animé d’un mouvement rectiligne
uniforme.
b) La valeur du poids étant supérieure à celle de la poussée d’Archimède, la force de frottement
doit être orientée vers le haut (comme la poussée d’Archimède) pour que la somme vectorielle
des forces puisse s’annuler :
0P F f  
. Projetons cette relation vectorielle sur un axe Oy
vertical orienté vers le bas :
Py + Fy + fy = 0 => P – F – f = 0 => f = flim = P – F soit f = 4,0 x 10-2 – 3,8 x 10-3 = 3,6 x 10-2 N
C. Modélisation de la force de frottement et «équation différentielle
1. a) Lorsque le régime permanent est atteint, la valeur de la force de frottement est : flim = k.vlim
=> k =
lim
lim
f
v
=> k =
lim
PF
v
b) k est le rapport d’une force (N  kg. m.s-2) et d’une vitesse (m.s-1).
Il s’exprime donc en kg. m.s-2.m-1.s soit en kg.s-1
c) L’application numérique de la relation trouvée en C.1.a donne :
k =
2
3,6 10
1,2
= 3,0 x 10-2 kg.s-1