Formulaire de statistiques I. Statistiques descriptives : Moyenne

Formulaire de statistiques E. Depiereux G. Vincke B. De Hertogh Janvier 2009
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Formulaire de statistiques
I.
Statistiques descriptives :
Moyenne arithmétique :
(population: m
x
=
ì)
chantillon =
x
= M
x
)
Somme des carrés des écarts :
n
SCE
=
i
=
1
Excel FR =SOMME.CARRES.ECARTS(série)
(
x
i
M
x
)
2
Excel NL =DEV.KWAD (série)
Excel EN =DEVSQ(série)
Variance ou carmoyen des écarts d'un échantillon :
Estimation de la variance d'une population :
Écart-type de lchantillon :
Excel FR =ECARTYPEP(série)
S
x ; n
=
V
S
x
; n
2
Excel NL, EN =STDEVP(série)
Écart-type de la population :
Excel FR =ECARTYPE(série)
S
x
;n
1
=
V
S
x ; n
1
2
Excel NL, EN =STDEV(série)
Coefficient de variation :
S
x
M
x
Somme des produits des écarts :
n
SPE
=
i
=
1
Excel FR =SOMME((zone des X-M
X
)*(zone des YM
y
))
Excel NL =SOM((zone des X-M
X
)*(zone des YM
y
))
Excel EN =SUM((zone des X-M
X
)*(zone des YM
y
))
Calcul matriciel : Mac: pomme+enter ; PC: ctrl+shift+enter
Covariance ou produit moyen des écarts :
Excel FR =COVARIANCE(série)
S
x , y
=
SPE
Excel NL =COVARIANTIE(série)
n
Excel EN =COVAR(série)
Coefficient de détermination :
Note: formule Excel valable uniquement pour un modèle linéaire Y
i
= B
0
+ B
1
X
i
R
2
=
SCE
régression
SCE
totale
Excel FR =COEFFICIENT.DETERMINATION(série)
Excel NL =R.KWADRAAT(série)
Excel EN =SRQ(série)
Coefficient de corrélation : cas particulier du modèle linéaire :
r
=
V
R
2
Droite des moindres carrés :
Y
i
=
B
0
+
B
1
X
i
SPE
B
1
=
SCE
x
Excel FR =PENTE(série)
Excel NL =RICHTING(série)
Excel EN =SLOPE(série)
Excel FR =ORDONNEE.ORIGINE(rie)
B
0
=
M
y
B
1
M
x
Excel NL =SNIJPUNT(série)
Excel EN =INTERCEPT(série)
Excel FR =MOYENNE(série)
Excel NL =GEMIDDELDE(rie)
Excel EN =AVERAGE(série)
n
1
x
i
n
i
=
1
S
x;n
2
=
1
(
x
i
M
x
)
2
=
SCE
n
Excel FR =VAR.P(série)
Excel NL, EN =VARP(série)
n
n
i
=
1
n
n
1
i
=
1
(
x
i
M
x
)
2
=
SCE
n
1
Excel FR =VAR(rie)
Excel NL, EN =VAR(rie)
S
n
1
2
= 1
CV
=
r
=
S
x , y
S
x
S
y
=
SPE
Excel FR =COEFFICIENT.CORRELATION(rie)
Excel NL =CORRELATIE(série)
Excel EN =CORREL(série)
n
S
x
S
y
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II. Probabilités :
Loi des probabilis totales
P
(
A
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)−
P
(
A
B
)
Loi des probabilis composées
P
(
A
B
)=
P
(
A
)
P
(
B
/
A
)=
P
(
B
)
P
(
A
/
B
)
Recomposition de P(A)
P
(
A
)=
P
(
A
B
)+
P
(
A
B
)
Événements incompatibles
P
(
A
B
) =
0
Événements indépendants
P
(
A
/
B
)=
P
(
A
)
ou P
(
B
/
A
)=
P
(
B
)
III. Les variables aléatoires discontinues :
Variable aléatoire Binomiale
X va Bi (n ;
ð
)
Espérance de X
E
(
X
)=
n
rr
Variance de X
var
(
X
)=
n
rr(
1
rr)
Nombre de combinaisons
C
n x
=
n!
x !
(
n
x
)
!
Excel FR, EN =FACT(n)/(FACT(x)*FACT(n-x))
Excel NL =FACULTEIT(n)/(FACULTEIT(x)*FACULTEIT(n-x))
Probabilité
P
(
X
=
x
i
)=
C
n x
1r
x
(
1
ir)
n
x
Excel FR =LOI.BINOMIALE(x;n;
ð
;cumulatif)
Excel NL =BINOMIALE.VERD(x;n;
ð
;cumulatif)
Excel EN =BINOMDIST(x;n;
ð
;condition)
Pour P(X=xi) cumulatif= FR :FAUX; NL: VERVALSING; EN: FALSE.
Pour P(X≤xi) cumulatif= FR :VRAI; NL:WARE; EN: TRUE.
Variable aléatoire de Poisson
X va Po (
ì
)
Probabilité
e
−pp
x
P X
=
x
)=
(
x!
Excel FR =LOI.POISSON(x;cumulatif)
Excel NL, EN =POISSON(x;µ;cumulatif)
Pour P(X=xi) cumulatif= FR :FAUX; NL: VERVALSING; EN: FALSE.
Pour P(X≤xi) cumulatif= FR :VRAI; NL:WARE; EN: TRUE.
Espérances
E
(
X
)=or
x
2
=p
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IV. Les variables aléatoires continues :
Variable aléatoire Normale
Réduction d'une variable lorsqu'elle représente un individu
pour X v.a. N (µ;
ó2
) en Z v.a. N (0;1)
Z
=
X
− P
o-
Réduction d'une variable lorsqu'elle représente la valeur
moyenne d'un échantillon de n individus
pour X va N(µ;
ó
2
/n) en Z v.a. N (0;1)
Z
=
X
− P
o-
V
n
V. Inférence statistique :
Test
á
(
Z
1
+
Z
1
)
2
o-
2
n
Estimation de n
0
−P
1
)
2
A: comparaison d'une moyenne à un standard - test de conformi
o-
2
connue
M
xobs
−P
H
0
Z
obs
=
Obtenir le Z
théorique
:
Table de Student, pour n =
ou
Excel FR =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(probabilité)
Excel NL =STAND.NORM.INV(probabilité)
Excel EN =NORMSINV(probabilité)
avec probabilité = P(Z≤Z
théorique
)
o-
V
n
o-
2
inconnue
On prend donc S
2
comme estimateur
M
x obs
P
H
0
=
Obtenir le t
théorique
:
Table de Student, pour k = n1 degs de libertés (dl)
ou
Excel FR =LOI.STUDENT.INVERSE(probabilité;k)
Excel NL =T.INV(probabili;k)
Excel EN =TINV(probabilité;k)
avec probabilité = P(t≤t
théorique
) et k = degrés de libertés = n-1
t
obs
S
V
n
B: comparaison de variances issues d'échantillons indépendants
Pour deux variances :
Calculer le Fobs :
Excel FR, NL, EN =MAX(rie des variances)/MIN(rie des variances)
Obtenir le F
théorique
:
Table de Fisher, pour k = (n1) degrés de libertés (dl) de S
2 max
et r = (n-1) dl de S
2 min
ou
Excel FR =INVERSE.LOI.F(alpha;k;r)
Excel NL =F.INVERSE(alpha;k;r)
Excel EN =FINV(alpha;k;r)
avec alpha = 1 confiance, en valeur décimale (ex: alpha = 0,05 si confiance à 95%)
2
F
obs
=
S
max
2
S
min
Pour deux variances ou plus, issues d’échantillons de me taille :
H
obs
=
2
S
max
2
S
min
Calculer le Hobs :
Excel FR, NL, EN =MAX(rie des variances)/MIN(rie des variances)
Obtenir le H
théorique
:
Table de Hartley, pour n
a
variances compaes et dl = (n
i
-1)
Pas de formule en Excel.
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C : comparaison de proportions
2
=
k
f
i
obs
f
i
théo
)
2
)
Obtenir le χ
2 théorique
:
2
2
=x(
k
1
)(
r
1
)
; 1
c x
x
théorique
Table de
χ
2
, pour (k-1).(r-1) dl et une probabilité 1-α
ou
Excel FR =KHIDEUX.INVERSE(alpha;dl)
Excel NL =CHI.KWADRAAT.INV(alpha;dl)
Excel EN =CHIINV(alpha;dl)
Attention
dans la formule Excel c'est alpha qu'il faut signaler !
x
obs
i
=
1
f
i
théo
VI. ANOVA I :
Source de
variablité
SCE
dl
CM
F
obs
F
table
Totale
Excel FR =SOMME.CARRES.ECARTS(tous les individus)
Excel NL =DEV.KWAD(tous les individus)
Excel EN =DEVSQ(tous les individus)
N - 1
Factorielle
Excel FR = n
i
* SOMME.CARRES.ECARTS(toutes les M)
Excel NL = n
i
*DEV.KWAD(toutes les M)
Excel EN = n
i
*DEVSQ(toutes les M)
n
a
- 1
SCE
F
=
CM
F
F
dl
F
;dl
R
; 1
avec k = dl
F
r = dl
R
dl
F
CM
R
siduelle
Excel FR = (n
i
-1) * SOMME(toutes les S
2
)
Excel NL = (n
i
-1) * SOM(toutes les S
2
)
Excel FR = (n
i
-1) * SUM(toutes les S
2
)
N n
a
SCE
R
=
dl
R
avec
n
i
= nombre d'individus par échantillon
na = nombre d'échantillons
N = nombre total d'individus
Note: le F
théorique
peut aussi être trou avec l'instruction Excel suivante:
Excel FR =INVERSE.LOI.F(alpha;dl
F
;dl
R
)
Excel NL =F.INVERSE(alpha;dl
F
;dl
R
)
Excel EN =FINV(alpha;dl
F
;dl
R
)
avec alpha = 1 confiance, en valeur décimale (ex: alpha = 0,05 si confiance à 95%)
Compléments ANOVA I aléatoire :
Variance entre échantillons
2
=
E
(
CM
F
)
E
(
CM
R
)
O
a
n
i
Variance entre plications
O
2
=
E
(
CM
R
)
Intervalle de confiance
formule simplifiée
formule complète
CM
F
M
x
±
t
n
a
1 ;1 2
M
x
±
t
n
a
1 ;1 2
O
2
+O
a
2
n
a
n
i
n
a
N
Nombre de réplicas optimum
c
a
O
2
n
i
=
c
O
a 2
Nombre d’échantillons optimum
16
2 a
2
)
n
i
n
a
=
2
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VII. ANOVA I et Régression linéaire :
Source de
variabilité
SCE
dl
CM
F
obser
F
table
Totale
voir ANOVA 1
Résiduelle
Factorielle
Linéaire
SPE
2
=
SCE
x
1
SCE
l in
=
CM
lin
CM
R
F
dl
lin
; dl
R
;
1
dl
lin
Non liaire
=
SCE
F
SCE
lin
n
F
n
lin
SCE
NL
=
CM
NL
F
dl
NL
;dl
R
;
1
dl
NL
CM
R
Avec
SPE
Excel FR =SOMME((zone des X-M
X
)*(zone des YM
y
))
Excel NL =SOM((zone des X-M
X
)*(zone des YM
y
))
Excel EN =SUM((zone des X-M
X
)*(zone des YM
y
))
Calcul matriciel : Mac: pomme+enter ; PC: ctrl+shift+enter
SCE
x
Excel FR =n
i
* SOMME.CARRES.ECARTS(série de x)
Excel NL =n
i
* DEV.KWAD(série de x)
Excel EN =n
i
* DEVSQ(série de x)
VIII. ANOVA II croisée fixe : Où B et C sont les deux critères fixes
Source de
variabili
SCE
dl
CM
F
obser
F
table
Totale
voir ANOVA 1
Résiduelle
Factorielle
B
Excel FR =n
i
.echB
* SOMME.CARRES.ECARTS(moyennes de B)
Excel NL =n
i
.echB
* DEV.KWAD(moyennes de B)
Excel EN =n
i
.echB
* DEVSQ(moyennes de B)
n
catéB
- 1
SCE
B
CM
B
CM
R
F
dl
B
; dl
R
;
1
dl
B
C
Excel FR =n
i
.echC
* SOMME.CARRES.ECARTS(moyennes de C)
Excel NL =n
i
.echC
* DEV.KWAD(moyennes de C)
Excel EN =n
i
.echC
* DEVSQ(moyennes de C)
n
catéC
-1
SCE
C
CM
C
CM
R
F
dl
C
;dl
R
;
1
dl
C
Interaction
BC
=SCE
F
SCE
B
-SCE
C
dl
F
-dl
B
-dl
C
SCE
BC
CM
BC
F
dl
BC
; dl
R
;
1
dl
BC
CM
R
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