Formulaire de statistiques I. Statistiques descriptives : Moyenne

Formulaire de statistiques E. Depiereux – G. Vincke – B. De Hertogh Janvier 2009
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Formulaire de statistiques
I. Statistiques descriptives :
Moyenne arithmétique : (population: m
x
= ì) (échantillon = x = M
x
)
Somme des carrés des écarts :
n
SCE = ∑
i = 1
Excel FR =SOMME.CARRES.ECARTS(série)
( x
i
− M
x
)
2
Excel NL =DEV.KWAD (série)
Excel EN =DEVSQ(série)
Variance ou carré moyen des écarts d'un échantillon :
Estimation de la variance d'une population :
Écart-type de l'échantillon :
Excel FR =ECARTYPEP(série)
S x ; n = V S
x
; n
2
Excel NL, EN =STDEVP(série)
Écart-type de la population :
Excel FR =ECARTYPE(série)
S x
;n − 1
= V S x ; n − 1
2
Excel NL, EN =STDEV(série)
Coefficient de variation :
S
x
M x
Somme des produits des écarts :
n
SPE = ∑
i = 1
[( x
i
− M
x
)( y
i
− M
y
)]
Excel FR =SOMME((zone des X-M X )*(zone des Y–M
y
))
Excel NL =SOM((zone des X-M X )*(zone des Y–M
y
))
Excel EN =SUM((zone des X-M X )*(zone des Y–M
y
))
Calcul matriciel : Mac: pomme+enter ; PC: ctrl+shift+enter
Covariance ou produit moyen des écarts :
Excel FR =COVARIANCE(série)
S x , y = SPE Excel NL =COVARIANTIE(série)
n Excel EN =COVAR(série)
Coefficient de détermination : Note: formule Excel valable uniquement pour un modèle linéaire Y i = B 0 + B 1 X i
R 2 = SCE régression
SCE totale
Excel FR =COEFFICIENT.DETERMINATION(série)
Excel NL =R.KWADRAAT(série)
Excel EN =SRQ(série)
Coefficient de corrélation : cas particulier du modèle linéaire : r = V R
2
Droite des moindres carrés : Y i = B 0 + B 1 ⋅ X i
SPE
B 1 = SCE x
Excel FR =PENTE(série)
Excel NL =RICHTING(série)
Excel EN =SLOPE(série)
Excel FR =ORDONNEE.ORIGINE(série)
B
0
= M y − B 1 ⋅ M
x
Excel NL =SNIJPUNT(série)
Excel EN =INTERCEPT(série)
Excel FR =MOYENNE(série)
Excel NL =GEMIDDELDE(série)
Excel EN =AVERAGE(série)
n
1 ∑ x
i
n i = 1
S x;n
2
=
1
( x
i
− M x ) 2
=
SCE
n
Excel FR =VAR.P(série)
Excel NL, EN =VARP(série)
n
∑
n i = 1
n
n −1 ∑ i = 1
( x
i
− M x ) 2 = SCE
n −1
Excel FR =VAR(série)
Excel NL, EN =VAR(série)
S n − 1
2 = 1
CV =
r =
S x , y
S x ⋅ S y
=
SPE
Excel FR =COEFFICIENT.CORRELATION(série)
Excel NL =CORRELATIE(série)
Excel EN =CORREL(série)
n ⋅ S x ⋅ S
y

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II. Probabilités :
Loi des probabilités totales
P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )− P ( A ∩ B )
Loi des probabilités composées
P ( A ∩ B )= P ( A )⋅ P ( B / A )= P ( B )⋅ P ( A / B )
Recomposition de P(A)
P ( A )= P ( A ∩ B )+ P ( A ∩ B
∗)
Événements incompatibles
P ( A ∩ B ) = 0
Événements indépendants
P ( A / B )= P ( A ) ou P ( B / A )= P ( B )
III. Les variables aléatoires discontinues :
Variable aléatoire Binomiale X va Bi (n ; ð )
Espérance de X
E ( X )= n ⋅rr
Variance de X
var ( X )= n ⋅rr⋅( 1 −rr)
Nombre de combinaisons
C n x
=
n!
x ! ( n − x ) !
Excel FR, EN =FACT(n)/(FACT(x)*FACT(n-x))
Excel NL =FACULTEIT(n)/(FACULTEIT(x)*FACULTEIT(n-x))
Probabilité
P ( X = x i )= C
n x
⋅1r
x
⋅( 1 −ir) n −
x
Excel FR =LOI.BINOMIALE(x;n; ð ;cumulatif)
Excel NL =BINOMIALE.VERD(x;n; ð ;cumulatif)
Excel EN =BINOMDIST(x;n; ð ;condition)
Pour P(X=xi) cumulatif= FR :FAUX; NL: VERVALSING; EN: FALSE.
Pour P(X≤xi) cumulatif= FR :VRAI; NL:WARE; EN: TRUE.
Variable aléatoire de Poisson X va Po ( ì )
Probabilité
e
−p⋅p
x
P X = x )=
( x!
Excel FR =LOI.POISSON(x;µ;cumulatif)
Excel NL, EN =POISSON(x;µ;cumulatif)
Pour P(X=xi) cumulatif= FR :FAUX; NL: VERVALSING; EN: FALSE.
Pour P(X≤xi) cumulatif= FR :VRAI; NL:WARE; EN: TRUE.
Espérances
E ( X )=or
x
2 =p

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IV. Les variables aléatoires continues :
Variable aléatoire Normale
Réduction d'une variable lorsqu'elle représente un individu
pour X v.a. N (µ; ó2 ) en Z v.a. N (0;1)
Z = X − P
o-
Réduction d'une variable lorsqu'elle représente la valeur
moyenne d'un échantillon de n individus
pour X va N(µ; ó
2
/n) en Z v.a. N (0;1)
Z = X − P
o-
V n
V. Inférence statistique :
Test á -ß
( Z 1 + Z 1 )
2
⋅o-
2
≥
n
Estimation de n
0 −P 1 ) 2
A: comparaison d'une moyenne à un standard - test de conformité
o-
2
connue
M xobs −P H 0
Z obs =
Obtenir le Z théorique :
Table de Student, pour n = ∞
ou
Excel FR =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(probabilité)
Excel NL =STAND.NORM.INV(probabilité)
Excel EN =NORMSINV(probabilité)
avec probabilité = P(Z≤Z théorique )
o-
V n
o-
2
inconnue
On prend donc S 2
comme estimateur
M x obs − P H
0
=
Obtenir le t théorique :
Table de Student, pour k = n–1 degrés de libertés (dl)
ou
Excel FR =LOI.STUDENT.INVERSE(probabilité;k)
Excel NL =T.INV(probabilité;k)
Excel EN =TINV(probabilité;k)
avec probabilité = P(t≤t théorique ) et k = degrés de libertés = n-1
t obs
S
V n
B: comparaison de variances issues d'échantillons indépendants
Pour deux variances :
Calculer le Fobs :
Excel FR, NL, EN =MAX(série des variances)/MIN(série des variances)
Obtenir le F théorique :
Table de Fisher, pour k = (n–1) degrés de libertés (dl) de S 2 max et r = (n-1) dl de S 2 min
ou
Excel FR =INVERSE.LOI.F(alpha;k;r)
Excel NL =F.INVERSE(alpha;k;r)
Excel EN =FINV(alpha;k;r)
avec alpha = 1 – confiance, en valeur décimale (ex: alpha = 0,05 si confiance à 95%)
2
F obs = S max
2
S min
Pour deux variances ou plus, issues d’échantillons de même taille :
H obs =
2
S max
2
S min
Calculer le Hobs :
Excel FR, NL, EN =MAX(série des variances)/MIN(série des variances)
Obtenir le H théorique :
Table de Hartley, pour n
a
variances comparées et dl = (n i -1)
Pas de formule en Excel.

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C : comparaison de proportions
2 = ∑ k f
i obs
−
f
i théo ) 2
)
Obtenir le χ 2 théorique :
2
2
=x( k − 1 )⋅( r − 1 ) ; 1 −c x
x théorique
Table de χ
2
, pour (k-1).(r-1) dl et une probabilité 1-α
ou
Excel FR =KHIDEUX.INVERSE(alpha;dl)
Excel NL =CHI.KWADRAAT.INV(alpha;dl)
Excel EN =CHIINV(alpha;dl)
Attention dans la formule Excel c'est alpha qu'il faut signaler !
x obs
i = 1 f i théo
VI. ANOVA I :
Source de
variablité
SCE
dl
CM
F obs
F table
Totale
Excel FR =SOMME.CARRES.ECARTS(tous les individus)
Excel NL =DEV.KWAD(tous les individus)
Excel EN =DEVSQ(tous les individus)
N - 1
Factorielle
Excel FR = n i * SOMME.CARRES.ECARTS(toutes les M)
Excel NL = n i *DEV.KWAD(toutes les M)
Excel EN = n i *DEVSQ(toutes les M)
n
a
- 1
SCE
F
=
CM F
F dl
F
;dl
R
; 1
avec k = dl
F
r = dl R
dl
F
CM R
Résiduelle
Excel FR = (n i -1) * SOMME(toutes les S
2
)
Excel NL = (n i -1) * SOM(toutes les S
2
)
Excel FR = (n i -1) * SUM(toutes les S
2
)
N – n a
SCE
R
=
dl
R
avec
n i = nombre d'individus par échantillon
na = nombre d'échantillons
N = nombre total d'individus
Note: le F théorique peut aussi être trouvé avec l'instruction Excel suivante:
Excel FR =INVERSE.LOI.F(alpha;dl F ;dl R )
Excel NL =F.INVERSE(alpha;dl F ;dl R )
Excel EN =FINV(alpha;dl F ;dl R )
avec alpha = 1 – confiance, en valeur décimale (ex: alpha = 0,05 si confiance à 95%)
Compléments ANOVA I aléatoire :
Variance entre échantillons
2 = E ( CM
F
)− E ( CM
R
)
O a
n i
Variance entre réplications
O
2
= E ( CM R )
Intervalle de confiance
formule simplifiée
formule complète
CM F
M
x ± t n
a−
1 ;1 2 ⋅
M x ± t n
a−
1 ;1 2 ⋅O 2 +O a
2
n a ⋅ n i n a
N
Nombre de réplicas optimum
c a ⋅O 2
n i =
c ⋅O a 2
Nombre d’échantillons optimum
16 2 a
2 )
n
i
n a = 2

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VII. ANOVA I et Régression linéaire :
Source de
variabilité
SCE
dl
CM
F observé
F table
Totale
voir ANOVA 1
Résiduelle
Factorielle
Linéaire
SPE
2
=
SCE x
1
SCE l in
=
CM lin
CM R
F dl
lin
; dl
R
; 1
dl lin
Non linéaire
= SCE
F
− SCE lin
n F − n lin
SCE NL
=
CM NL
F dl
NL
;dl R ; 1
dl NL
CM R
Avec
SPE
Excel FR =SOMME((zone des X-M X )*(zone des Y–M
y
))
Excel NL =SOM((zone des X-M X )*(zone des Y–M
y
))
Excel EN =SUM((zone des X-M X )*(zone des Y–M
y
))
Calcul matriciel : Mac: pomme+enter ; PC: ctrl+shift+enter
SCE x
Excel FR =n i * SOMME.CARRES.ECARTS(série de x)
Excel NL =n i * DEV.KWAD(série de x)
Excel EN =n i * DEVSQ(série de x)
VIII. ANOVA II croisée fixe : Où B et C sont les deux critères fixes
Source de
variabilité
SCE
dl
CM
F observé
F table
Totale
voir ANOVA 1
Résiduelle
Factorielle
B
Excel FR =n i .echB * SOMME.CARRES.ECARTS(moyennes de B)
Excel NL =n i .echB * DEV.KWAD(moyennes de B)
Excel EN =n i .echB * DEVSQ(moyennes de B)
n catéB - 1
SCE
B
CM
B
CM R
F dl
B
; dl
R
; 1
dl B
C
Excel FR =n i .echC * SOMME.CARRES.ECARTS(moyennes de C)
Excel NL =n i .echC * DEV.KWAD(moyennes de C)
Excel EN =n i .echC * DEVSQ(moyennes de C)
n catéC -1
SCE
C
CM
C
CM R
F dl
C
;dl
R
; 1
dl C
Interaction
BC
=SCE F –SCE B -SCE C
dl F -dl B -dl C
SCE BC
CM BC
F dl BC ; dl
R
; 1
dl BC
CM R