Le dipôle (R, C)

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Le dipôle (R, C).
Introduction.
On débutera ici l’étude de l’évolution temporelle des circuits électriques.
On s’intéressera dans un premier temps aux caractéristiques et au comportement d’un dipôle
universellement utilisé en électricité et en électronique : le condensateur.
I. Le condensateur.
1. Constitution d’un condensateur.
Un condensateur est constitué de deux armatures métalliques en regard l’une de l’autre
(condensateur plan ; condensateur cylindrique,…), séparées par un isolant : air ; papier ;
céramique…Cette isolant est un matériau diélectrique.
Chaque armature est reliée à un fil conducteur qui permet l’insertion du condensateur dans un
circuit électrique ; le condensateur est un dipôle (il s’insère dans le circuit par deux bornes).
2. Représentation d’un condensateur.
La représentation schématique du condensateur est la suivante :
3. La charge du condensateur : Expérience de mise en évidence.
3.a. Expérience.
On place en série dans un circuit électrique un générateur de tension continue de force
électromotrice (f.e.m.) E, un interrupteur K, une lampe L et un condensateur ; on a le schéma
suivant :
A
B
Lorsque l’on ferme l’interrupteur K, et bien que le condensateur constitue une coupure dans le
circuit, on observe que la lampe L s’éclaire pendant un bref instant.
Un courant électrique circule donc pendant un bref instant dans le circuit.
+
_
E
K
L
e-
i

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3.b. Interprétation : La charge du condensateur.
Lorsque l’on ferme l’interrupteur K les électrons sont mis en mouvement par la f.e.m. du
générateur, ils se dirigent du pôle négatif vers le pôle positif du générateur, créant un courant
électrique i dans le sens inverse (voir schéma).
Ne pouvant franchir l’isolant, il s’accumulent sur l’armature B en lui donnant ainsi une charge
négative qB.
Inversement les électrons « partis » de l’armature A ne sont pas remplacés et l’armature A,
initialement neutre, a alors un excédent de charge positive qA.
On a à tout moment qB = - qA.
On dit que le condensateur se charge.
La charge négative qB qui s’accumule sur l’armature B à tendance à repousser les électrons
qui arrivent.
Lorsque la charge qB est devenue suffisamment importante, elle s’oppose exactement à la
f.e.m. du générateur ; le mouvement des électrons cesse et le courant électrique s’annule (la
lampe s’éteint) : on dit que le condensateur est chargé.
3.c. Expérience complémentaire.
Lorsque le condensateur est chargé, on ouvre l’interrupteur K. Si l’on ferme de nouveau
l’interrupteur K, la lampe ne s’éclaire pas, aucun courant électrique ne circule dans le circuit.
En fait lorsque l’on a ouvert K, les charges qA et qB, qui s’attirent de part et d’autre de
l’isolant, sont « restées en place », le condensateur est resté chargé.
II. La capacité d’un condensateur.
1. Expérience complémentaire.
On reprend l’expérience menée au 3.a. en plaçant un voltmètre aux bornes du condensateur.
On constate alors que simultanément à la charge du condensateur (après fermeture de
l’interrupteur K), il apparaît une tension électrique aux bornes du condensateur.
Quelle relation existe-il entre la charge électrique portée par les armatures du condensateur
(qA par exemple) et la tension électrique u aux bornes du condensateur ?
2. Détermination expérimentale de la capacité d’un condensateur.
2.a. Position du problème.
Pour déterminer expérimentalement la relation entre q = qA et u, il suffit en théorie de mesurer
les valeurs de qA et u à différents instants au cours de la charge du condensateur et de tracer le
graphe correspondant.
Cependant dans la pratique si il est facile de mesurer la tension u, il est pratiquement
impossible de mesurer directement la charge électrique d’une armature.
On déterminera donc indirectement la valeur de cette charge à partir de la valeur de l’intensité
du courant électrique.
2.b. Relation entre l’intensité de courant électrique et la charge d’un condensateur.
On considère la charge d’un condensateur :

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Le condensateur se charge d’autant plus vite que l’intensité de courant est importante ;
l’intensité i du courant électrique est donc d’autant plus importante que la variation de charge
Δq = ΔqA est grande pendant un intervalle de temps Δt petit.
On définie l’intensité i du courant par la relation :
i =
t
q
(i représente un débit de charge électrique).
Si on considère un intervalle de temps Δt « très petit », on a alors :
i =
dt
dq
Mathématiquement la fonction i (t) est la dérivée de la fonction q (t).
2.c. Charge d’un condensateur à courant constant.
On réalise, grâce au montage suivant, la charge d’un condensateur par un générateur de
courant constant (attention ce type de générateur est très différent d’un générateur de
tension).
On trace alors, grâce à un enregistreur numérique, l’évolution de la tension en fonction du
temps, c'est-à-dire le graphe u = f (t).
On obtient le graphe suivant :
i
A
B
I0
K
u
t

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Le graphe obtenu étant une droite passant par l’origine, dans une charge à courant constant la
tension u est proportionnelle au temps t, on peut écrire :
u = k t où k est une constante. (Relation 1)
Par ailleurs, le générateur délivrant un courant constant, on a ici : i = I = constante.
Or, d’après la définition de l’intensité de courant : i =
dt
dq
= I = constante.
La dérivée de la fonction q (t) étant une constante I, on peut écrire : q (t) = I t + B.
Si l’on prend l’origine des dates t = 0 à l’instant où l’on ferme l’interrupteur, alors q (0) = B =
0 ; on a :
q = I t où encore t =
I
q
Soit en reportant cette dernière relation dans la relation 1 : u = k t = k
I
q
=
I
k
q ; soit encore :
q =
k
I
u = C u en posant C =
k
I
La charge du condensateur est proportionnelle à la tension à ses bornes.
3. Généralisation : capacité d’un condensateur.
3.a. Définition.
La charge d’un condensateur est proportionnelle à la tension aux bornes du
condensateur.
On a la relation :
q = C u
Où C est appelée la capacité du condensateur.
(C indique la « capacité » du condensateur à accumuler de la charge pour une tension donnée
à ses bornes).
La relation q = C u est la relation caractéristique d’un condensateur (« équivalent » à la loi
d’ohm u = ri pour un conducteur ohmique)
3.b. Unité.
q = C u
Dans les unités légales, la charge électrique q s’exprime en coulombs (C), la tension u en
volts (V) ; la capacité est alors exprimée en farads (F).

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Remarque :
Une capacité de 1 F représente une valeur importante ; on utilise fréquemment les sous
multiples du farad :
1 mF = 10-3 F ; 1 µF = 10-6 F ; 1 nF = 10-9 F ; 1 pF = 10-12 F
III. Etude expérimentale du dipôle (R,C) soumis à un échelon de
tension (Voir Travaux Pratiques).
IV. Etude analytique (théorique) du dipôle (R,C) soumis à un échelon
de tension.
1. Objectif.
On se propose ici de retrouver les résultats de l’étude expérimentale du dipôle (R,C) en
appliquant les lois de l’électricité et en mettant en œuvre les outils mathématiques nécessaires.
Cette étude nous permettra d’établir les expressions mathématiques (ou expressions
analytiques) des fonctions uc(t) (tension aux bornes du condensateur), q(t) (charge du
condensateur) et i(t) (intensité du courant électrique), lors de la charge et de la décharge du
condensateur.
2. Le circuit étudié.
Il s’agit du circuit électrique mis en œuvre lors de l’étude expérimentale :
E
Schéma 1
La fermeture de l’interrupteur K en position 1 permet de réaliser la charge du
condensateur.
La fermeture de l’interrupteur K en position 2 permet de réaliser la décharge du
condensateur.
+
_
K
1
2
C
R
● A
● B
● C
i