Séquence n°4 :Triangle :droites remarquables I Inégalité

Séquence n°4 :Triangle :droites remarquables
I Inégalité triangulaire
II Droites remarquables
I Inégalité triangulaire
1°) Propriété :
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux
autres côtés.
Exemple :
Dans un triangle EFG, on a , et
2°) Condition d’existence d’un triangle
Soit , et trois longueurs, la plus grande des longueurs est .
Si alors il existe un triangle de longueurs de côté , et .
Si alors il n’existe pas de triangle de longueurs de côté , et .
Compétence 5-G-15 : 1°)Existe-t-il un triangle de longueurs de côtés 5 cm, 4 cm et 2 cm ?
donc un triangle de longueurs de côtés 5 cm, 4 cm et 2 cm existe
Donc ce triangle est constructible.
2°)Existe-t-il un triangle de longueurs de côtés 6 cm, 3 cm et 2 cm ?
donc un triangle de longueurs de côtés 6 cm, 3 cm et 2 cm n’existe pas
Donc ce triangle est inconstructible.
3°) Cas d’égalité :
Soit A, B et M trois points.
Si on a AM + MB= AB alors le point M appartient au segment [AB].
Compétence 5-G-16 : On sait que AB= 9 cm, AM= 5, 5 cm et MB= 3,5 cm.
Le point M appartient-il au segment [AB] ? Justifier votre réponse.

5, 5 + 3, 5 = 9 donc AM+ MB= AB donc le point M appartient au segment [AB].
Soit A, B deux points.
Si un point M appartient au segment [AB] alors AM + MB= AB.
Compétence 5-G-17 : On sait que M [AB], AB = 8 cm et AM = 2,3 cm
Calculer la longueur MB
M [AB] donc AM + MB= AB donc 2, 3 + MB = 8
donc MB= 8 - 2 ,3
donc MB= 5,7 cm
II Droites remarquables
1°) Médiatrice :
La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe perpendiculairement ce segment en son
milieu.
Exemple :
La droite (d) est la médiatrice de [AB].
Propriétés :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors ce point est à égale distance des
extrémités de ce segment.
Exemple :

On sait que M appartient à la médiatrice de [AB].
Donc MA = MB.
Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment alors ce point appartient à la
médiatrice de ce segment.
Exemple :
On sait que NE = NF
Donc N appartient à la médiatrice de [EF].
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Le point d’intersection des médiatrices est le centre d’un cercle qui passe par les trois
sommets du triangle.
Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.
Exemple :

Les médiatrices du triangle ABC sont concourantes au point O.
Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .
Remarques : Pour trouver le centre du cercle circonscrit au triangle, il suffit de tracer deux
médiatrices.
Le centre du cercle circonscrit au triangle peut être à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle
ou situé sur un des côtés.
2°) Hauteur :
Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au
côté opposé.
Exemple :
La droite (d) est la hauteur issue de A ( relative au côté [BC])
Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes.
Exemple :

Le point H est le point d’intersection des hauteurs dans le triangle ABC.
On dit que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.
3°) Médiane :
Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté
opposé.
Exemple :
La droite (AI) est la médiane issue de A ( relative au côté [BC])
Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes.
Exemple :
Le point G est le point d’intersection des médianes dans le triangle ABC.
On dit que le point G est le centre de gravité du triangle ABC.
4°) Bissectrice :