Formule de grandissement

T Ba MVABP 11 décembre 2003
PhG-Sciences
Une lentille est un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux faces dont l'une au moins
n'est pas plane.
Les lentilles minces ont une épaisseur très faible devant leur diamètre. On en distingue deux sortes :
les lentilles minces à bords minces et les lentilles minces à bords épais.
1- Lentilles convergentes – Lentilles divergentes
- les lentilles minces à bords minces, dites convexes ou convergentes :
- les lentilles minces à bords épais, dites concaves ou divergentes :
2- Axe optique, centre optique
L'axe optique ou axe principal est l'axe de symétrie
des surfaces courbes de la lentille.
Exemple : Il est perpendiculaire à la face plane et passe par
le centre de courbure C de l'autre face.
Le centre optique est le point milieu de la lentille sur l'axe optique.
3- Propriété du centre optique
Tout rayon incident qui passe par le centre optique traverse la
lentille en ligne droite.
On suppose négligeable l'épaisseur de la lentille. La lentille se comporte en son
centre optique comme une lame à faces parallèles ; les rayons ne sont pas déviés
mais subissent une translation (négligeable puisque la lentille est très mince).
biconvexe plan convexe ménisque convergent représentation symbolique
biconcave plan concave ménisque divergent représentation symbolique
axe optique
C
O
e
O
O

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A'
B'
O
I'
FF'
I
A
B
4- Foyers - Distance focale
- Le plan perpendiculaire à l'axe où se forme l'image d'un
objet à l'infini est le plan focal image de la lentille.
La distance OF' du centre optique 0 au foyer image est
appelée distance focale image notée f '.
- Tout rayon passant par le foyer objet F donne naissance à un
rayon émergent parallèle à l'axe optique.
La distance OF du centre optique 0 au foyer image est
appelée distance focale objet notée f .
- Les distances focales objet et image sont égales.
FO = OF ' ou f = f '
La distance focale est facile à mesurer et constitue une caractéristique propre de chaque lentille.
- La vergence C, en dioptries , d'une lentille est l'inverse de la distance focale.
C = 1
f C en dioptries (f en mètres (m) C > 0 si la lentille est convergente
C< 0 pour une lentille divergente
5- Les formules des lentilles : formules de Descartes
La résolution des problèmes relatifs aux lentilles est grandement facilitée par l'emploi des formules.
Il suffit de les établir sur un cas de figure quelconque, le plus simple ; une convention de signes les
rendra ensuite générales.
Elles lient : la distance de l'objet à la lentille, la distance de l'image à la lentille et la distance
focale de la lentille.
Les signes seront positifs pour des éléments réels et négatifs s'ils sont virtuels.
Formule de conjugaison
On considère un objet réel AB dont une lentille convergente de centre optique O et de foyer F et F'
donne l'image réelle renversée A'B'.
Les deux triangles FOI' et BII' sont semblables : OF
IB = OI' II' .
Il en est de même des deux triangles F'OI et B'I'I : OF'
I'B' = IO II'.
Si on ajoute ces deux relations membre à membre : OF
IB + OF' I'B' = OI' + OI II' = II' II' = 1.
Si on remarque que IB = OA et I'B' = OA', on obtient : OF
OA + OF' OA' = 1.
La distance
AO
, notée p, est la distance objet-lentille.
La distance
'OA
, notée p', est la distance lentille-image.
La formule de conjugaison est 1
p + 1 p' = 1 f f = f ' =
'OFFO
p =
AO
p' =
'OA
plan
focal
image
F'
axe
optique
plan
focal
objet
Faxe
optique

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A '
B '
F
A
B
O
F '
A'
B'
O
A
B
Formule de grandissement
L'image A'B' est homothétique de l'objet AB.
On appelle grandissement  le rapport :  = A'B'
AB .
  > 0 si l'image est droite
 < 0 si l'image est renversée
Les deux triangles ABO et A'B'O sont semblables, d'où : A'B'
AB = OA' OA.
Si on fait intervenir les conventions de signes, le 1er rapport est négatif (image renversée), alors que
le 2ème est positif (objet et image réels).
La formule de grandissement devient :  = – p'
p
6- Réelle – virtuelle
A
B
B '
F ' A '
O
F
B
A
F
O
B '
A '
F '

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7- Applications
1- Déterminer la vergence d'une lentille mince de distance focale f = 10 cm.
2- Déterminer la distance focale en mètres des systèmes optiques suivants :
- un objectif de microscope a une vergence de 200 
  - un verre correcteur de la myopie a une vergence de – 0,5  ;
- une loupe a une vergence de 25 
- l'objectif d'une lunette astronomique a une vergence de 0,1 
3- On considère une lentille mince convergente.
Tracer la marche des rayons lumineux après leur traversée de la lentille :
- le rayon passe par le centre optique O ;
- le rayon passe par le foyer focale objet F ;
- le rayon est parallèle à l'axe optique de la lentille.
4- On considère une lentille mince divergente.
Tracer la marche des rayons lumineux définis précédemment après leur traversée de la lentille.
5- Un objet réel de 1 cm de haut est placé à 30 cm d'une lentille convergente de distance focale
f = 20 cm.
Déterminer l'image qu'elle en donne.
6- Une lentille convergente donne d'un objet réel situé à 40 cm devant elle, une image réelle de
même dimension.
Après avoir effectué la construction, calculer la valeur de la distance focale de la lentille.
7- Un timbre-poste est observé à travers une lentille convergente de distance focale 8 cm, faisant
office de loupe. Le timbre de dimensions (3 cm 2 cm) est situé à 6 cm de la lentille
a) Tracer la marche du faisceau lumineux issu d'un point de l'objet est pénétrant dans la lentille de
diamètre d'ouverture de 4 cm.
b) Déterminer les caractéristiques de l'image : position, nature, grandeur et sens par rapport à
l'objet.

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sens de propagation
B
A
F
O
B '
A '
F '
Correction des applications
2- Un objectif de microscope de vergence 200 a une distance focale de 0,005 m (convergente)
Un verre correcteur de la myopie de vergence – 0,5  a une distance focale de – 2 m (divergente).
Une loupe de vergence 25 a une distance focale de 0,04 m.
L'objectif d'une lunette astronomique de vergence 0,1 a une distance focale de 10 m
5- Un objet réel de 1 cm de haut est placé à 30 cm d'une lentille convergente de distance focale f = 20 cm.
On a : p = 30 cm et AB = 1 cm
De la relation de conjugaison, on tire la position et la nature de l'image : 1
p' = 1 f – 1 p
soit 1
p' = 1 20 – 1 30 = 3 60 – 2 60 = 1 60 p' = 60 cm
L'image est réelle, puisque p' est positif, et elle est située à 60 cm après la lentille.
De la relation de grandissement  = – p'
p, on tire :  = – 60 30 soit  = – 2
Le grandissement est négatif donc l'image du timbre est renversée par rapport à l'objet, et elle est
deux fois plus grande que l'objet soit 2 cm.
6- La lentille convergente donne d'un objet réel situé à 40 cm devant elle, une image réelle de
même dimension.
On a donc p = p' soit p = p' = 40 cm
Relation de conjugaison
1
p + 1 p' = 1 f soit 1 f = 1 40 + 1 40 = 1 20
La distance focale de la lentille est
égale à 20 cm.
Il faut placer l'objet à 2f d'une lentille
convergente pour en avoir une image
de même taille.
7- a) Pour voir l'objet agrandi à travers la lentille, l'observateur place son œil dans le faisceau lumineux
émergent de la lentille.
b) De la relation de conjugaison, on tire la position et la nature de l'image :
1
p' = 1 f – 1 p soit 1 p' = 1 8 – 1 6 = 3 24 – 4 24 = – 1 24 p' = – 24 cm
L'image est virtuelle, puisque p' est négatif, et elle est située à 24 cm avant la lentille.
De la relation de grandissement  = – p'
p, on tire :  = – – 24 6 soit  = 4
Le grandissement est positif donc l'image du timbre est droite par rapport à l'objet, et
elle est quatre fois plus grande que l'objet soit 12 8 cm.