Planètes et Satellites

Lycée Alcide d’Orbigny
Terminale S
Planètes et Satellites
Le système solaire comprend une étoile appelée Soleil autour de laquelle tournent neuf planètes
et quelques comètes. Une soixantaine de satellites environ gravitent autour des planètes, et
plusieurs milliers de gros astéroïdes errent dans le système solaire. Il existe plusieurs millions
de systèmes plus ou moins identiques au notre dans notre galaxie, la voie lactée. Et il existe un
nombre inconnu de galaxies dans l’Univers.
I-
Les lois de Képler
1.
Référentiel héliocentrique et repère de Copernic
Les mouvements des planètes et comètes présents dans le système solaire seront étudiés dans le
repère de Copernic. Celui-ci est défini par une origine placée au centre du Soleil (référentiel
héliocentrique), et trois axes orthogonaux dont les directions sont données par trois étoiles fixes
lointaines.
Ces étoiles ne sont évidemment pas rigoureusement fixes ; toutefois, pour des durées de l’ordre
de quelques années (ordre de grandeur de la période de révolution des planètes du système
solaire), leur déplacement est tellement infime que l’on peut les considérer comme fixes et
donc le repère de Copernic comme galiléen pour l’étude des planètes et des comètes sur leurs
orbites.
2.



Définitions
L’orbite d’un astre est la trajectoire parcourue par son centre de gravité.
La période de révolution ou période sidérale d’un astre est le temps que met l’astre pour
parcourir son orbite entièrement.
La vitesse orbitale ou vitesse sidérale d’un astre est la vitesse du centre de gravité de
l’astre sur son orbite.
3.
Enoncé des lois
Képler (1571-1630) était un astronome allemand à situer entre Copernic et Newton,
contemporain de Galilée.
Chapitre n°7 : planètes & satellites
Page 1 / 8
Lycée Alcide d’Orbigny
Terminale S

Première loi (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S du Soleil
est l’un des foyers. Ces orbitent sont planes.

Deuxième loi (1609)
ΔA
Pendant une durée ∆t, le rayon qui joint le
centre S du Soleil au centre C d’une planète
donnée balaie une aire ∆A constante quelle
que soit la position de la planète sur son
orbite. Le rapport ∆A/∆t est une
caractéristique de la planète considérée.

S
ΔA
Troisième loi (1619)
Le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au cube de la longueur du
demi grand axe de l’orbite elliptique :
T2
 KS
a3
où KS est une constante qui ne dépend pas de
la planète considérée mais seulement des
propriétés du Soleil.
P
S
A
Grand axe : 2a
Remarques


D’après la deuxième loi de Képler, la vitesse sidérale d’une planète n’est donc pas
constante sur son orbite : elle est maximale à la périhélie et minimale à l’aphélie.
Un cercle est un cas particulier d’ellipse où les deux foyers sont confondus et constituent
le centre du cercle. Le rayon est alors constant et, par conséquent, la vitesse d’un astre en
orbite circulaire est constante durant sa révolution.
4.
Cas des satellites
Les lois de Kepler énoncées pour des mouvements de planètes autour du Soleil étudiés dans le
référentiel héliocentrique restent valables pour des mouvements de satellites autour des
planètes étudiés dans tout référentiel galiléen lié au centre de la planète.
Chapitre n°7 : planètes & satellites
Page 2 / 8
Lycée Alcide d’Orbigny
Terminale S
Toutefois, la constante K mise en jeu dans la troisième loi dépendra alors de la planète et non
plus du Soleil :
T2
 KP
a3
avec KP ne dépendant pas du satellite mais
uniquement de la planète autour de laquelle il tourne.
II - Mouvement circulaire uniforme
Soit un objet mobile dont le centre de gravité G est animé d’un mouvement circulaire uniforme
dans un référentiel galiléen donné. On oriente la trajectoire circulaire plane du point G dans le
sens de son déplacement.
1.
Vecteur vitesse
y
Si le mouvement est circulaire uniforme, on
peut définir un repère (G ; T ; N) tel que T soit
toujours tangent à la trajectoire dirigé dans le
sens du mouvement et N toujours normal à la
trajectoire dirigé vers le centre de la
trajectoire.
v
T
G
N
j


v  v.T
On a alors, à chaque instant :
Θ
C
C
i
x
La vitesse est tangentielle à la trajectoire en
chaque point. La valeur v de la vitesse est
constante mais pas sa direction.
2.
Vitesse angulaire
On définit la vitesse angulaire ω comme l’angle parcouru par unité de temps :


t
(ω est exprimée en rad.s-1)
v
Relation entre v et ω :
donc
v
d r


r
t t
t
Chapitre n°7 : planètes & satellites
or
d
t


t
or
d  r. (si Θ est exprimé en radians)
d’où
v  r.
ou

v
r
Page 3 / 8
Lycée Alcide d’Orbigny
Terminale S
3.
Période d’un mouvement circulaire uniforme
d = 2π r
Pour une révolution :
v
On a donc :
2 r
T
et
Δt = T
T
soit
2 r 2

v

avec v en m.s-1, ω en rad.s-1, et T en secondes.
Remarque
Pour un mouvement circulaire, on pourra parler pour ω de « pulsation ».
4.
Position sur le cercle
Soit G0 la position de G à l’instant t0 = 0.
A l’instant t, le point G a parcouru un angle :
Θ=ω×t
(avec ω constant puisque la vitesse v est uniforme)
La distance parcourue entre t0 et t est alors :
5.
d=Θ×r=r×ω×t=v×t
Vecteur accélération
La valeur de la vitesse est constante mais la direction du vecteur vitesse change au cours du
temps. Le vecteur vitesse n’est donc pas constant, et sa dérivée (le vecteur accélération) n’est
donc pas nulle.
Lors d’un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération est :

normal à la trajectoire (suivant N, porté par la droite CG)

centripète (dirigé vers le centre de la trajectoire, de G vers C)

de valeur a 
v2
ou a = r ω 2
r
On peut alors écrire sous forme vectorielle :
Chapitre n°7 : planètes & satellites

 v2 
a  N  r 2 N
r
Page 4 / 8
Lycée Alcide d’Orbigny
Terminale S
6.
Force centripète
D’après la deuxième loi de Newton (théorème du centre d’inertie) :

F
ext

 ma G
Il faut donc, pour que le mobile ait un mouvement circulaire uniforme, que la somme des
forces extérieures qui lui sont appliquées soit telle que :

v2 
 Fext  m r N
Un mobile aura donc un mouvement circulaire uniforme si et seulement si :

F
ext

est suivant N donc central (porté par la droite CG) et centripète (dirigé de G vers C).
une vitesse initiale perpendiculaire à CG et égale à
F
ext
.r
m
lui est communiquée.
III - Mouvement orbital et force d’attraction gravitationnelle
1.
Orbite circulaire
Soit une planète de masse mP en orbite autour du Soleil. La force d’attraction gravitationnelle
exercée par le Soleil sur cette planète est :

mm 
FS / P  G S 2 P N
r
L’accélération du centre C de gravité de la planète est donc :

 FS / P
m 
a
 G 2S N
mP
r
Elle est centripète. Le mouvement circulaire uniforme est donc une solution de l’équation
imposée par le théorème du centre d’inertie, à condition que la planète ait une vitesse initiale
telle que :
mS v 2
a G 2 
r
r
Chapitre n°7 : planètes & satellites
soit
v
Gm S
r
Page 5 / 8
Lycée Alcide d’Orbigny
Terminale S
Remarques

Soit T la période de révolution de cette planète :
T
2 r
v
donc
42 r 3 42 3
T 

r
GmS GmS
2
donc
T2 
4 2 r 2
v2
d’où
or
v2 
Gm S
r
T 2 4 2

r 3 Gm S
42
4 2
T2
Le terme
ne dépend que de la masse du Soleil. En posant K S 
, on a 3  KS .
Gm S
Gm S
r
On retrouve la troisième loi de Kepler, avec une constante KS qui ne dépend que du Soleil.



En assimilant les orbites planétaires à des cercles, on observe que plus le rayon orbital est
petit, plus la vitesse orbitale est grande et plus la période de révolution est courte.
Pour le mouvement d’un satellite autour d’une planète, la démarche et les résultats restent
vrais mais la constante dépend alors de la masse de la planète considérée (KS devient KP).
Un astre en orbite n’est soumis qu’à une seule force, la force d’attraction gravitationnelle :
il est donc en chute libre !!! Un mouvement orbital correspond donc à une chute libre. La
distance au centre du mouvement reste constante grâce à la vitesse tangentielle qui
compense cette chute libre.
2.
Mouvement elliptique
T2
L’expression 3  KS (ou KP) reste vraie mais r n’est plus une constante.
r
On remplace alors r par la valeur moyenne de la distance Soleil - Planète, c’est-à-dire par la
moitié du grand axe a :
On a alors :
Chapitre n°7 : planètes & satellites
T2
 KS
a3
Page 6 / 8
Lycée Alcide d’Orbigny
Terminale S
IV - Lancement de satellites artificiels
Cas général d’un mouvement circulaire uniforme
1.
Afin de satelliser un objet autour de la Terre sur une orbite circulaire, il suffit donc de lui
communiquer une vitesse tangentielle initiale qui dépend seulement de l’altitude à laquelle on
veut le satelliser.
Exemple
Soit un satellite de masse mS que l’on veut satelliser à une altitude basse z = 300 km de la
Terre. Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, la vitesse initiale communiquée à ce
satellite doit être :


F
 ext  mS a

FT / S  mS a

m T mS
v2

mS
( R T  z) 2 R T  z

G
v G
mT
 7,67 km / s
RT  z

G
mT
 v2
RT  z
soit
v = 27610 km/h
Le satellite devra donc être lancé à la vitesse initiale v0 = 7,67 km/s tangentiellement à l’orbite
circulaire qu’il devra suivre. Son mouvement sera alors indéfiniment circulaire et uniforme. Sa
période de révolution sera alors :
T
2 r 2 ( R T  z )

 5,55.103 s
v
v
soit 1 heure 32 minutes
Remarques


Si v0 < 7,67 km/s alors la vitesse tangentielle ne compensera pas la chute libre. Le satellite
se rapprochera alors peu à peu de la Terre et finira par entrer dans l’atmosphère (ce qui
provoquera son explosion, due aux frottements).
Si v0 > 7,67 km/s c’est l’inverse. La chute libre ne compensera pas la vitesse tangentielle
et le satellite va s’éloigner peu à peu de la Terre, jusqu’à échapper complètement à
l’attraction terrestre.
Chapitre n°7 : planètes & satellites
Page 7 / 8
Lycée Alcide d’Orbigny
Terminale S
2.
Satellite géostationnaire
Les satellites de télécommunication et de météorologie doivent toujours rester à la verticale
d’un même point terrestre. On les qualifie de géostationnaires. Ils doivent donc tourner autour
de la Terre de manière à parcourir une révolution en 24 heures environ, comme tout point de la
Terre (T = 23 h 56 mn 04 s = 86164 s).

Altitude géostationnaire
T2
4 2

r 3 Gm T

d’où
or
r = RT + z
donc
r3 
Gm T 2
T  7,5.1022 m3
2
4
r = 42172 km
z = 42172 – 6378 = 35794 km
Les satellites doivent donc impérativement être placés à 35800 km de la Terre pour être
géostationnaires.

Vitesse géostationnaire
T
2 r
v

v
2 (R T  z)
 3,08 km / s
T
Tous les satellites géostationnaires gravitent donc sur la même orbite à l’altitude de 35800 km
et à la même vitesse de 3,08 km/s.
Exercices du
document scanné
Chapitre n°7 : planètes & satellites
Page 8 / 8