Planètes et Satellites

Terminale S Lycée Alcide d’Orbigny
Chapitre n°7 : planètes & satellites Page 1 / 8
Planètes et Satellites
Le système solaire comprend une étoile appelée Soleil autour de laquelle tournent neuf planètes
et quelques comètes. Une soixantaine de satellites environ gravitent autour des planètes, et
plusieurs milliers de gros astéroïdes errent dans le système solaire. Il existe plusieurs millions
de systèmes plus ou moins identiques au notre dans notre galaxie, la voie lactée. Et il existe un
nombre inconnu de galaxies dans l’Univers.
I - Les lois de Képler
1. Référentiel héliocentrique et repère de Copernic
Les mouvements des planètes et comètes présents dans le système solaire seront étudiés dans le
repère de Copernic. Celui-ci est défini par une origine placée au centre du Soleil (référentiel
héliocentrique), et trois axes orthogonaux dont les directions sont données par trois étoiles fixes
lointaines.
Ces étoiles ne sont évidemment pas rigoureusement fixes ; toutefois, pour des durées de l’ordre
de quelques années (ordre de grandeur de la période de révolution des planètes du système
solaire), leur déplacement est tellement infime que l’on peut les considérer comme fixes et
donc le repère de Copernic comme galiléen pour l’étude des planètes et des comètes sur leurs
orbites.
2. Définitions
 L’orbite d’un astre est la trajectoire parcourue par son centre de gravité.
 La période de révolution ou période sidérale d’un astre est le temps que met l’astre pour
parcourir son orbite entièrement.
 La vitesse orbitale ou vitesse sidérale d’un astre est la vitesse du centre de gravité de
l’astre sur son orbite.
3. Enoncé des lois
Képler (1571-1630) était un astronome allemand à situer entre Copernic et Newton,
contemporain de Galilée.

Terminale S Lycée Alcide d’Orbigny
Chapitre n°7 : planètes & satellites Page 2 / 8
 Première loi (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S du Soleil
est l’un des foyers. Ces orbitent sont planes.
 Deuxième loi (1609)
Pendant une durée ∆t, le rayon qui joint le
centre S du Soleil au centre C d’une planète
donnée balaie une aire ∆A constante quelle
que soit la position de la planète sur son
orbite. Le rapport ∆A/∆t est une
caractéristique de la planète considérée.
 Troisième loi (1619)
Le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au cube de la longueur du
demi grand axe de l’orbite elliptique :
S
3
2K
a
T
où KS est une constante qui ne dépend pas de
la planète considérée mais seulement des
propriétés du Soleil.
Remarques
 D’après la deuxième loi de Képler, la vitesse sidérale d’une planète n’est donc pas
constante sur son orbite : elle est maximale à la périhélie et minimale à l’aphélie.
 Un cercle est un cas particulier d’ellipse où les deux foyers sont confondus et constituent
le centre du cercle. Le rayon est alors constant et, par conséquent, la vitesse d’un astre en
orbite circulaire est constante durant sa révolution.
4. Cas des satellites
Les lois de Kepler énoncées pour des mouvements de planètes autour du Soleil étudiés dans le
référentiel héliocentrique restent valables pour des mouvements de satellites autour des
planètes étudiés dans tout référentiel galiléen lié au centre de la planète.
Grand axe : 2a
P
A
S
S
ΔA
ΔA

Terminale S Lycée Alcide d’Orbigny
Chapitre n°7 : planètes & satellites Page 3 / 8
Toutefois, la constante K mise en jeu dans la troisième loi dépendra alors de la planète et non
plus du Soleil :
P
3
2K
a
T
avec KP ne dépendant pas du satellite mais
uniquement de la planète autour de laquelle il tourne.
II - Mouvement circulaire uniforme
Soit un objet mobile dont le centre de gravité G est animé d’un mouvement circulaire uniforme
dans un référentiel galiléen donné. On oriente la trajectoire circulaire plane du point G dans le
sens de son déplacement.
1. Vecteur vitesse
Si le mouvement est circulaire uniforme, on
peut définir un repère (G ; T ; N) tel que T soit
toujours tangent à la trajectoire dirigé dans le
sens du mouvement et N toujours normal à la
trajectoire dirigé vers le centre de la
trajectoire.
On a alors, à chaque instant :
T.vv 
La vitesse est tangentielle à la trajectoire en
chaque point. La valeur v de la vitesse est
constante mais pas sa direction.
2. Vitesse angulaire
On définit la vitesse angulaire ω comme l’angle parcouru par unité de temps :
t
(ω est exprimée en rad.s-1)
Relation entre v et ω :
t
d
v
or
 .rd
(si Θ est exprimé en radians)
donc
t
r
t
r
t
d
v
or
t
d’où
 .rv
ou
r
v
C
y
x
N
G
T
j
i
C
Θ
v

Terminale S Lycée Alcide d’Orbigny
Chapitre n°7 : planètes & satellites Page 4 / 8
3. Période d’un mouvement circulaire uniforme
Pour une révolution : d = 2π r et Δt = T
On a donc :
Tr 2
v
soit
2
vr 2
T
avec v en m.s-1, ω en rad.s-1, et T en secondes.
Remarque
Pour un mouvement circulaire, on pourra parler pour ω de « pulsation ».
4. Position sur le cercle
Soit G0 la position de G à l’instant t0 = 0.
A l’instant t, le point G a parcouru un angle : Θ = ω × t
(avec ω constant puisque la vitesse v est uniforme)
La distance parcourue entre t0 et t est alors : d = Θ × r = r × ω × t = v × t
5. Vecteur accélération
La valeur de la vitesse est constante mais la direction du vecteur vitesse change au cours du
temps. Le vecteur vitesse n’est donc pas constant, et sa dérivée (le vecteur accélération) n’est
donc pas nulle.
Lors d’un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération est :
 normal à la trajectoire (suivant N, porté par la droite CG)
 centripète (dirigé vers le centre de la trajectoire, de G vers C)
 de valeur
r
v
a2
ou a = r ω 2
On peut alors écrire sous forme vectorielle :
N rN
r
v
a2
2

Terminale S Lycée Alcide d’Orbigny
Chapitre n°7 : planètes & satellites Page 5 / 8
6. Force centripète
D’après la deuxième loi de Newton (théorème du centre d’inertie) :
G
ext amF
Il faut donc, pour que le mobile ait un mouvement circulaire uniforme, que la somme des
forces extérieures qui lui sont appliquées soit telle que :
N
r
v
mF 2
ext
Un mobile aura donc un mouvement circulaire uniforme si et seulement si :
ext
F
est suivant
N
donc central (porté par la droite CG) et centripète (dirigé de G vers C).
une vitesse initiale perpendiculaire à CG et égale à
m
r .Fext
lui est communiquée.
III - Mouvement orbital et force d’attraction gravitationnelle
1. Orbite circulaire
Soit une planète de masse mP en orbite autour du Soleil. La force d’attraction gravitationnelle
exercée par le Soleil sur cette planète est :
N
rmm
GF 2PS
P/S
L’accélération du centre C de gravité de la planète est donc :
N
r
m
G
m
F
a2S
P
P/S 
Elle est centripète. Le mouvement circulaire uniforme est donc une solution de l’équation
imposée par le théorème du centre d’inertie, à condition que la planète ait une vitesse initiale
telle que :
r
v
r
m
Ga 2
2S
soit
r
Gm
vS