4. Calcul du champ en CCD

FORMULAIRE D’ASTRONOMIE
Formules pour l’observation
Formules pour l’astrophoto
Formules diverses
Valeurs estimées (angles, magnitudes, grossissements)
Calcul du champ en CCD
Echantillonage en CCD
Calculs astro pour un logiciel
1. FORMULES POUR L'OBSERVATION
OUVERTURE
D = F / f/. ou
f/ = F / D.
PUPILLE DE SORTIE
dps = f / f/.
dps = f * D / F.
dps = D / M.
fmax = 7 * D / F.
CALCUL DU VRAI CHAMP
(en °)
0.25 * temps * cos (déclination).
(en ' )
15 * temps * cos (déclination).
GRANDISSEMENT:
PAR CHAMPS
M = Alpha / Theta.
GRANDISSEMENT:
PAR LONGUEUR FOCALE
M = F / f.
GRANDISSEMENT:
PAR DIAMETRE ET PUPILLE DE
SORTIE
M = D / dps.
LIMITE MINIMUM DU
GRANDISSEMENT
Mmin = D / 6 = 0.17 * D.
LIMITE MAXIMUM DU
GRANDISSEMENT
Mmax = D / 0.63 = 1.58 * D.
MAGNITUDE VISUELLE LIMITE
mlim = 6.5 - 5*log(dp) + 5*log(D)
mlim = 2.7+5*log(D).
(avec dp=7mm)
EFFICACITE LUMINEUSE
D est l'ouverture de l'objectif
F est la longueur focale de l'objectif
f/ est le nombre-f de l'objectif (rapport d'ouverture F/D)
dps est le diamètre de la pupille de sortie (en mm)
f est la longueur focale de l'oculaire (en mm)
f/ est le nombre-f de l'objectif (rapport d'ouverture F/D)
D est le diamètre le l'objectif (en mm)
F est la longueur focale de l'objectif (en mm)
M est le rapport de grandissement (en fois)
En imposant dps=7 (l'ouverture scotopique - la mieux adaptée aux ténèbres - de la
pupille humaine), la plus grande longueur focale utile de l'oculaire (fmax)est donnée.
temps est le temps mis (en minutes) par une étoile de hauteur déclinaison pour
traverser le champ visible.
Une étoile se déplace par conséquent de :
15° /h (1.25°/5 min.) à 0° de déclinaison
13° /h (1.08°/5 min.) à 30° de déclinaison
7.5°/h (0.63°/5 min.) à 60° de déclinaison.
M est le rapport de grandissement
Alpha est le champ apparent
Thêta est le vrai champ
Champ apparent : La plus petite séparation que l'œil peux voir est 4', plus
raisonnablement 8-25', 1-2' pour des bons yeux. L'étoile double Zêta Ursae Majoris
(Mizar/Alcor) est séparé de 11.75' ; Epsilon Lyrae est séparé de 3'.
M est le rapport de grandissement
F est la longueur focale de l'objectif
f est la longueur focale de l'oculaire
Au focus primaire (ground glass), avant l'oculaire, le grandissement est de
1x pour chaque 25mm de longueur focale F
M est le rapport de grandissement
D est le diamètre de l'objectif
dps est le diamètre de la pupille de sortie (5-6 mm est le meilleur, 7 mm peut
produire une image de mauvaise qualité).
L'ouverture "scotopique" (mieux adaptée aux ténèbres) de la pupille humaine est
typiquement de 6 mm (théoriquement 7.5 mm pour un âge de plus de 50 ans).
Comme la pupille humaine à une longueur focale de 17 mm, son rapport
d'ouverture est f/2.4 (ratio de 0.17 par mm d'ouverture).
2.5 mm est le diamètre "photopique", le mieux adapté à la lumière, pour l'œil.
- En substituant 6 mm pour dp
Mmin est le grandissement minimum sans perte de lumière pour un œil adapté au
ténèbres (0.17x par mm d'ouverture)
D est le diamètre de l'objectif (mm)
- En substituant 0.63 mm pour dp (diamètre minimum de contraction de la pupille
Mmax est le grandissement maximum théorique (1.58x par mm d'ouverture). Le
grandissement maximum pratique est d'environ 50% supérieur)
D est le diamètre de l'objectif (mm)
LIMITING VISUAL MAGNITUDE (LIGHT-GATHERING POWER)
(Pouvoir collecteur)
mlim est une approximation de la magnitude visuelle limite.
dp est le diamètre de la pupille (en mm)
D est le diamètre de l'objectif (mm)
RELATIVE LIGHT EFFICIENCY (TWILIGHT FACTOR)
(Facteur crepusculaire)
Lrel = dps² = (D / M)².
RAYON ANGULAIRE DU DISQUE
DE DIFFRACTION (AIRY)
r = (1.12 * Lambda * 206265) / D
r = 127.1 / D.
(avec Lambda=0.00055)
RAYON LINEAIRE DU DISQUE
DE DIFFRACTION (AIRY)
r = 0.043 * Lambda * f/
r = 0.00002365 * f/.
(avec Lambda=0.00055)
LIMITE DE DAWES
(Pouvoir de résolution)
Thêta = 115.8 / D.
GRANDISSEMENT NECESSAIRE
A LA SEPARATION D'UNE
ETOILE DOUBLE
M = 480 / d.
Plus grand est la valeur d'efficacité lumineuse, meilleur est l'instrument pour voir au
crépuscule ou dans un environnement pollué.
Lrel est la valeur relative de luminosité
dps est le diamètre de la pupille de sortie (mm)
D est le diamètre de l'objectif (mm)
M est le rapport de grandissement
ANGULAR RADIUS OF AIRY (DIFFRACTION) DISC
r est le rayon angulaire (la moitié du diamètre angulaire) du disque de Airy (taille
minimum du disque d'une étoile), en "
Lambda est la longueur d'onde de la lumière en mm (0.00055 pour le jaune)
206265 est le nombre de " dans un radian
D est le diamètre de l'objectif (mm)
LINEAR RADIUS OF AIRY (DIFFRACTION) DISC
r est le rayon linéaire (la moitié du diamètre lineaire) du disque de Airy (taille
minimum du disque d'une étoile), en mm
Lambda est la longueur d'onde de la lumière en mm (0.00055 pour le jaune)
f/ est le nombre-f de l'objectif (rapport d'ouverture F/D)
DAWES LIMIT (SMALLEST RESOLVABLE ANGLE, RESOLVING POWER)
Thêta est le plus petit angle visible, en " (séparation)
D est le diamètre de l'objectif (mm)
Les conditions atmosphériques ne permettent que rarement une résolution Thêta <
0.5". La limite de Dawes correspond à la moitié du diamètre angulaire du disque de
Airy (disque de diffraction), pour que la limite d'un disque n'empiète pas sur le
centre d'un autre.
La limite de travail est deux fois la limite de Dawes Thêta * 2 ( = diamètre du
disque de Airy), pour que deux disques d'étoiles se recouvrent pas.
M est le grandissement requis
480 est le nombre de secondes d'arc pour un champ apparent de 8 minutes d'arc
d est la séparation angulaire des composantes de l'étoile double.
La distance minimum de séparation que l'œil humain peut percevoir est de 4
minutes d'arc (240"). Deux fois cette valeur, ou 8' (480") d'arc est une valeur plus
confortable.
Au cas ou l'écart de magnitude entre la primaire et la secondaire serai de 5 ou plus,
vous aurez besoin d'une séparation plus grande : 20 ou 25 minutes d'arc, presque
le diamètre apparent de la lune vu à l'œil nu.
RESOLUTION POUR LA LUNE
Res = (2 * Limite de Dawes *
3476) / 1800)
Res = Limite de Dawes * 38.8
Res = 4493 / D
POUVOIR COLLECTEUR
P = ( D / dp )² * Pi.
P = 7 * D².
Res est la taille du plus petit detail visible sur la lune (en km)
2 * Limite de Dawes est le disque de Airy (2 fois cette valeur est plus pratique)
1800 est le diamètre angulaire apparent de la lune (en ")
3476 est le diametre de la lune (en km)
D est le diamètre de l'objectif (mm)
P est le rapport d'amplification de lumière reçu par la rétine.
D est le diamètre de l'objectif (mm)
dp est le diamètre de la pupille de l'œil (valeur acceptée = 7.5 mm)
Pi est le facteur de transmission (approximativement 62.5% pour un télescope
moyen)
Pour comparer le pouvoir collecteur de deux instruments, comparez le carré de
leurs diamètres.
2. FORMULES POUR L'ASTROPHOTOGRAPHIE
NOMBRE-F
PHOTO AU FOYER PRIMAIRE
f/ = F / D.
F-NUMBER: PRIME FOCUS (ERECT IMAGE)
f/ est le nombre-f du système (objectif)
F est la longueur focale de l'objectif
D est le diamètre de l'objectif
NOMBRE-F
AFOCAL
OCULAIRE ET OBJECTIF PHOTO
f/ = F' / D
f/ = (M * Fp) / D
f/ = ( (F / Fo) * Fp) / D
f/ = (F / D) * (Fp / Fo)
f/ = (M / D) * Fp
F' = F * (Fp / Fo).
NOMBRE-F
PROJECTION,
LENTILLE POSITIVE (OCULAIRE)
f/ = F' / D
f/ = (F / D) * (B / A)
f/ = (F/D) * (((M+1)*Fe)/A)
f/ = (F / D) * ((B / Fe) -1)
F' = F * (B / A).
NOMBRE-F
PROJECTION,
LENTILLE NEGATIVE (BARLOW)
f/ = F' / D
f/ = (F / D) * (B / A)
F' = F * (B / A).
COMPARAISON D'EXPOSITION
OBJETS ETENDUS
Compensation
= f/S² / f/E²
= (f/S / f/E)²
COMPARAISON D'EXPOSITION
OBJETS PONCTUELS
Compensation
= DE ² / D S ²
= (DE / DS)²
POUVOIR D'ACCUMULATION
LUMINEUSE D'UN SYSTEME
Power = r² / f/².
F-NUMBER: AFOCAL, EYEPIECE-CAMERA LENS (REVERSED IMAGE)
f/ est le nombre-f du système (objectif)
F' est la longueur focale effective du système
D est le diamètre de l'objectif
F est la longueur focale de l'objectif
Fo est la longueur focale de l'oculaire (divisé par le rapport de la Barlow)
Fp est la longueur focale de l'appareil photo
M est le rapport de grandissement
Fp/Fo est le rapport de grandissement par projection
M/D est la puissance par mm
Le diamètre de la première image est égale à la diagonale du film ou du capteur
CCD (44mm pour un film de 35mm) divisé par le grandissement.
F-NUMBER: EYEPIECE PROJECTION, POSITIVE LENS (REVERSED IMAGE)
f/ est le nombre-f du système (objectif)
F' est la longueur focale effective du système
D est le diamètre de l'objectif
F est la longueur focale de l'objectif (fois le rapport de la Barlow)
A est la première image, la distance entre le centre de l'oculaire et le plan focal de
l'objectif du télescope.
B est la seconde image, la distance entre le centre de l'oculaire et le plan focal du
film ou du CCD, égal à ((M+1)*Fo)/A
Fo est la longueur focale de l'oculaire
M est le rapport de grandissement, égal à (B/Fo)-1
F-NUMBER: NEGATIVE LENS PROJECTION (ERECT IMAGE)
f/ est le nombre-f du système (objectif)
F' est la longueur focale effective du système
D est le diamètre de l'objectif
F est la longueur focale de l'objectif
A est la première image, la distance entre le centre de la Barlow et le plan focal de
l'objectif du télescope.
B est la seconde image, la distance entre le centre de la Barlow et le plan focal du
film ou du CCD
B/A est l'amplification de la Barlow
EXPOSURE COMPARISON FOR EXTENDED OBJECTS
Le ratio de l'intensité de l'illumination est au carré en rapport avec la loi du carré
inverse.
Compensation est la compensation d'exposition à faire au système exemple
f/S est le nombre-f (rapport F/D) du système sujet
f/E est le nombre-f (rapport F/D) du système exemple
EXPOSURE COMPARISON FOR POINT SOURCES
Compensation est la compensation d'exposition à faire au système exemple
DS est le diamètre de l'objectif du système sujet
DE est le diamètre de l'objectif du système exemple
LIGHT-RECORDING POWER OF A SYSTEM
La puissance d'accumulation de la lumière pour un système est directement
proportionnelle au carré du rayon de son objectif et inversement proportionnel au
carré de son nombre-f
Power est le pouvoir d'accumulation de la lumière pour le système.
r est le rayon de l'objectif du système ( = D / 2)
f/ est le nombre-f (rapport F/D) du système
Exemple : un système f/8 de 200mm comparé à un système f/5 de 100mm
100²/8² --> 50²/5² , soit 156.25 et 100, rapport de 100 fois plus de lumière captée.
EFFICIENCE D'UN OBJECTIF
PHOTO POUR UN METEORE
Efficience = F / f/².
LONGUEUR FOCALE EFFECTIVE
IMPRIMEE
FPrint = Fcam * Enlargement.
RAPPORT DE GRANDISSEMENT
POUR GUIDAGE PHOTO
GM ~ f / 12.5.
GM = G-EFL / Print EFL.
TOLERANCE DE GUIDAGE
Tolerance = 0.076 * GM.
ERREUR MAXIMUM ADMISSIBLE
DE SUIVI
S ~ 8250 / (F * E).
EFFICIENCY OF LENS FOR PHOTOGRAPHING AN AVERAGE METEOR
Efficience est l'efficience de la lentille pour photographier un météore standard
(dans une pluie de météorites)
F est la longueur focale de l'objectif photo
f/ est le nombre-f (rapport F/D) de l'objectif photo
PRINT'S EFFECTIVE FOCAL LENGTH
FPrint est la longueur focale effective sur l'impression
Fcam est la longueur focale de l'appareil photo
Enlargement est le rapport d'agrandissement du tirage (x3 est le standard pour un
développement 24x36)
GUIDESCOPE MAGNIFICATION
GM est le grandissement nécessaire au guidage
f est la longueur focale photo en mm
L'expérience indique que le grandissement minimum nécessaire à un bon guidage
est d'environ f divisé par 12.5 , précisément la valeur d'un oculaire de guidage
hors-axe standard. Le grandissement visuel est le ratio de la longueur focale de
l'objectif sur l'oculaire, et la combinaison d'une photo au foyer primaire et d'un
guidage hors-axe avec un oculaire 12.5mm donne un rapport de grandissement de
f/12.5 .
f/7.5 (comme avec un réducteur de focale x0.6) est une amélioration notable.
f/5 ou plus est idéal pour un suivi de qualité.
GM est le grandissement nécessaire au guidage (devrai être >=1, idéal entre 5 et 8)
G-EFL est la longueur focale effective du guidage, longueur réelle x rapport de
Barlow (Devrai être >= à la longueur focale du primaire et au grandissement du
guidage, 0.2x par mm de longueur focale de l'objectif, 0.1x par mm d'objectif photo)
Print EFL est la longueur focale effective de l'impression
GUIDING TOLERANCE
Tolerance est la tolérance de guidage en mm
GM est le grandissement du guidage
0.076 est une seconde d'arc a une distance de 254mm de l'épreuve (un cheveux
représente généralement 0.05mm)
MAXIMUM ALLOWABLE TRACKING (SLOP) ERROR
S est l'erreur en seconde d'arc
F est la longueur focale en mm
E est le rapport d'agrandissement du tirage (x3 est le standard pour un
développement 24x36)
Ce calcul est dérivé de la formule Thêta = k * ( h / F),
Avec k=206256 (Nb de secondes d'arcs dans un radian), h=0.04mm de tolérance
de bougé sur l'image (valeur empirique expérimentale)
CONVERSION EFL
CONVERSION OF PLATE SCALE TO EFFECTIVE FOCAL LENGTH
EFL = ( mm-par-° ) * 57.3
= 206265 / ( "-par-mm )
EFL est la longueur focale effective en mm
57.3 est le nombre de degrés dans un radian
206256 est le nombre de secondes d'arcs dans un radian
POUVOIR DE RESOLUTION D'UN
SYSTEME PHOTO
RESOLVING POWER OF A PHOTOGRAPHIC SYSTEM
Resolution = 4191" / F.
RESOLUTION MAXIMUM POUR
UN OBJECTIF PARFAIT
Resolution Max = 1600 / f.
Resolution est le pouvoir de résolution d'un système photographique avec un film
couleur ou Kodak 103a
F est la longueur focale du système en mm
MAXIMUM RESOLUTION FOR A PERFECT LENS
Resolution Max est la résolution maximum pour un objectif parfait
f est le nombre-f (f/) de l'objectif
La plupart des pellicules, même les plus rapides, résolvent seulement 60
lignes/mm. L'œil humain résout 6 lignes/mm (moins donne un aspect laineux).
80 lignes/mm pour un objectif de 50mm est excellent (égal à 1 minute d'arc). Un
200mm est excellent avec 40 lignes/mm.
RESOLUTION MINIMUM
NECESSAIRE POUR UNE
PELLICULE
Resmin =
ResMax * Enlargement
TAILLE ANGULAIRE DE L'IMAGE
h = (Thêta * F) / k
Thêta = k * (h / F)
F = (k * h) / Thêta
LONGUEUR DE TRAINEE
D'ETOILE SUR UN FILM
L = F * T * 0.00436.
TEMPS DE POSE POUR UNE
TRAINEE DE 24mm
SUR FILM 35MM
T = 5455 / F.
TEMPS DE POSE MAXIMUM
SANS TRAINEE SUR FILM 35MM
Déclinaison de 0° :
T = 1397 / F.
Autre déclinaison :
T = 1397 / (F * cos (Dec) ).
Ou Dec est la déclinaison visée
Cos (10°) = 0.98
Cos (20°) = 0.93
Cos (30°) = 0.86
Cos (40°) = 0.75
Cos (50°) = 0.64
Cos (60°) = 0.50
Cos (70°) = 0.34
Cos (80°) = 0.18
Cos (85°) = 0.10
TAILLE LINEAIRE
D'UNE IMAGE
i = (h / D) * F
h = (D * i) / F
D = (h * F) / i
F = (D * i) / h
MINIMUM RESOLUTION NECESSARY FOR FILM
Resmin est la résolution minimum nécessaire
ResMax est la résolution maximale pour un objectif parfait
Enlargement est le ratio d'agrandissement du film (x3 pour un film standard
35mm)
SIZE OF IMAGE (ANGULAR)
h est la hauteur linéaire (en mm) de l'image au foyer primaire d'un objectif ou d'un
téléobjectif photo
Thêta est la hauteur angulaire (angle de vue) de l'objet, en unité identique à k
F est la longueur focale effective (focale x Barlow) en mm
K est une constante avec une valeur de :
 57.3 pour Thêta en degrés,
 3438 pour Thêta en minutes d'arc,
 206265 pour Thêta en secondes d'arc
(nombre d'unité dans un radian)
La première formule donne directement la taille de l'image du soleil ou de la lune,
qui est égale à peut près à la 1% de longueur focale (Thêta/k = 0.5/57.3 = 0.009)
La seconde formule peut être utilisée pour trouver l'angle de vue (Thêta) pour une
taille de film donné (h) et une longueur focale (F). Exemple : Un film 35mm
(24x36mm - Diagonale 43mm) donne un angle de vue de 27° x 41°, (diagonale
49°) pour un objectif de 50mm.
La troisième formule peut être utilisé pour trouver la longueur focale effective (F)
requise pour un film de taille donnée (h) et un angle de vue souhaité (Thêta)
LENGTH OF A STAR TRAIL ON FILM
L est la longueur de la traînée sur le film (ou le CCD)
F est la longueur focale de l'objectif en mm
T est le temps d'exposition (temps de pose sans suivi) en minute
0.00436 dérive de (2 * Pi)/1440 (1440 minutes pour un jour)
EXPOSURE TIME FOR STAR TRAIL ON 35-MM FILM
T est le temps d'exposition (temps de pose sans suivi) en minute pour avoir une
traînée de 24mm (plus petite dimension d'un film 35mm)
F est la longueur focale de l'objectif en mm
MAXIMUM EXPOSURE TIME WITHOUT STAR TRAIL
T est le temps maximum d'exposition (en secondes) pour ne pas avoir de traînée
visible.
F est la longueur focale de l'objectif en mm
1397 dérive de 1' vu à distance de lecture (254mm), la plus petite distance
angulaire que l'œil humain peux percevoir sans assistance optique (résolution
limite), et est < 0.1mm. Cette valeur s'applique également à la lune.
Un rapport de 2x à 3x ce temps donne une petite traînée, à peine visible.
Vous pouvez multiplier par 20 avec un suivi motorisé.
La terre tourne de 5' en 20s, ce qui fait une traînée à peine détectable avec une
focale de 50mm (sans suivi). 2' à 3' (8s à 10s) est le temps maximum pour une
traînée invisible, 1' (4s) pour une qualité "expert". Ces valeurs sont proportionnelle
a la longueur focale au dessus de 50mm (augmente en fonction de la focale). Par
exemple, pour 3' (12s), un objectif de 150mm réduit le temps à 1/3 (1' et 4s), et un
objectif de 1000mm le réduit à 1/20 (0.15' et 0.6s).
Note : Au lieu de la constante 1397 :
 1000 peut être utilisé pour une traînée minimum (à peine visible)
 600 pour une traînée indécelable
 200 pour une pose "expert"
SIZE OF IMAGE (LINEAR)
i est la taille linéaire de l'image en mm au foyer primaire d'un objectif ou d'un
téléobjectif photo (pour les objets terrestres, c'est égal à 24mm divisé par le ratio
d'agrandissement de l'impression (x3 est standard pour du film 35mm)
h est la hauteur linéaire de l'objets, en même unité que D
D est la distance à l'objet
F est la longueur focale effective (focale x Barlow) en mm
La dernière formule donne la longueur focale nécessaire pour photographier un
objet céleste qui soit reconnaissable (h en km) ou terrestre (h en m)
TEMPS D'EXPOSITION POUR
LES OBJETS ETENDUS
e = f/² / (S * B).
LUMINOSITE DE SURFACE
D'UN OBJET ETENDU
(VALEUR "B")
B = 100.4 * (9.5 - M) / D².
TEMPS D'EXPOSITION POUR UN
OBJET PONCTUEL
e = (100.4 * (M + 13)) / S *a².
e est le temps d'exposition en secondes pour une taille d'image >= 0.1mm
f/ est le nombre-f de l'objectif
S est la sensibilité ISO de la pellicule
B est le facteur de luminosité de l'objet
(Venus=1000, Lune=125, Mars=30, Jupiter=5.7)
Donc, une pose de 2 minutes à f/4 est équivalente à une pose de 32 minutes à
f/5.6 (4 niveaux d'ouverture au carré, fois 2 minutes), en ignorant les problèmes
inhérents aux poses très longues et les pertes de performances des films pour ce
type de poses, qui font que la durée requise sera certainement supérieure.
SURFACE BRIGHTNESS OF AN EXTENDED OBJECT ("B" VALUE)
B est la luminosité de surface d'un objet étendu (circulaire)
M est la magnitude de cet objet (luminosité totale de l'objet), linearisé.
D est le diamètre angulaire de l'objet en secondes d'arc (D² correspond à la surface
angulaire de l'objet).
EXPOSURE DURATION FOR POINT SOURCES
e est le temps d'exposition en secondes pour une taille d'image >= 0.1mm
M est la magnitude de l'objet
S est la sensibilité ISO de la pellicule
a est l'ouverture de l'objectif
Note : 100.4 correspond à 2.512, et est le rapport de l'échelle des magnitude :
x100 tous les 5 niveaux
3. FORMULES DIVERSES
ANGLE HORAIRE
H = Thêta - Delta.
LOI DE BODE
Distance d'une planete =
(4 + 3 * (2n)) / 10.
en UA à l'aphelie
TAILLE ANGULAIRE
APPARENTE D'UN OBJET
Thêta = ( h / D ) * k.
HOUR ANGLE
H est l'angle horaire
Thêta est le temps sidéral
Delta est l'ascension droite
L'angle horaire est négatif vers l'est et positif vers l'ouest du méridien (tout comme
l'ascension droite augmente en allant vers l'est)
BODE'S LAW
n (de 2n) est le numéro de série de la planète à partir du soleil
Mercure : 2n=1
Venus : n=0
Terre : n=1
Ceinture d'astéroïdes : n=3
APPARENT ANGULAR SIZE OF AN OBJECT
Thêta est la taille angulaire apparente (angle de vue), unités selon k
h est la hauteur linéaire de l'objet en même unité que D
D est la distance à l'objet
k est une constante de conversion, qui vaux :
57.3 pour Thêta en degrés,
3438 pour Thêta en minutes d'arc,
206265 pour Thêta en secondes d'arc.
1° est la taille apparente d'un objet dont la distance est de 57.3 fois son diamètre.
Cette formule marche pour les objets célestes ou terrestres. Par exemple, pour une
pièce d'un Euro tenu à bout de bras : (57.3 * 23mm)/660mm = 2°
LONGUEUR D'UNE TRAINEE
METEORIQUE
h = (Thêta * D) / 57.3.
Dans des conditions idéales, l'œil humain peut résoudre tout ce qui fait plus de 1'
d'arc. Une valeur plus pratique est 4' , voir même 8' pour un confort optimum.
Les meilleurs télescopes sont limité par la turbulence de l'atmosphère à environ 1"
d'arc (0.25" avec une météo parfaite). En théorie, donc, un télescope devrai pouvoir
voir n'importe quoi avec un grandissement de 60x (1" agrandi à 1')
LENGTH OF A METEOR TRAIL
h est le hauteur linéaire de la trainée du météore en km
Thêta est la taille apparente angulaire de l'objet en degrés
D est la distance de l'objet en km
DISTANCE GEOGRAPHIQUE
POUR UNE SECONDE D'ARC
D = 30 * cos (latitude).
GEOGRAPHIC DISTANCE
D est la distance d'une seconde d'arc en mètres
Latitude est la différence de latitude
cos (latitude) = 1 sur les lignes de longitudes constantes
ESTIMATION DE DISTANCE ANGULAIRE
Un centime à 3 km
1 centime à longueur de bras
Un Euro à longueur de bras
Le petit doigt à longueur de bras
Largeur des trois doigts du milieu à longueur de bras
Largeur du poing à longueur de bras
Longueur de la paume à longueur de bras
Largeur de la main, doigts ecartés, à longueur de bras
1"
1.5°
2.5°
1°
5°
10°
18°
20°
Soleil, Lune (La lune est 400 plus petite et 400 fois plus proche que le soleil)
Largeur de la ceinture d'Orion
De Alpha Ursae Majoris (Dubhe) à Beta Ursae Majoris (Merak)
30’
3°
(Hauteur du bord de la "casserole". Ce sont les "gardes", pointeurs vers Polaris.)
De Alpha Geminorum (Castor) à Beta Geminorum (Pollux)
De Alpha Ursae Majoris (Dubhe) à Delta Ursae Majoris (Megrez)
(Haut de la "casserolle" de la grande ourse)
Hauteur de Orion
De Alpha Ursae Majoris (Dubhe) à Eta Ursae Majoris (Alkaid)
(Longueur du chariot de la grande ourse)
De Alpha Ursae Majoris (Dubhe) à Alpha Ursae Minoris (Polaris)
5°
5°
5°
16°
25°
27°
ESTIMATION DE MAGNITUDE
Grande ourse
Alpha (Dubhe)
Beta (Merak)
Gamma (Phecda)
Delta (Megrez)
Epsilon (Alioth)
Zeta (Mizar)
Eta (Alkaid)
Petite ourse
1.8
2.4
2.5
3.4
1.8
2.2
1.9
Beta (Kochab)
Gamma (Pherkad)
Eta
Zeta
Epsilon
Delta (Pherkard)
Alpha (Polaris)
ECHELLE DE GRANDISSEMENTS POSSIBLES POUR UN TELESCOPE
D = diametre d'ouverture en mm
Grandissement minimum utile
Meilleure acuité visuelle
Grand angle
Meilleur grandissement pour voir tous les details
(resolution du télescope = résolution de l'oeil)
Planetes, objets Messiers, vues en general
Vue normale, etoiles doubles
Resolution maximum utile
Doubles rapprochées, limite maxi
Quelquefois utile pour les etoiles doubles
Limite imposé par la turbulance atmosphérique
D / 7 , D / 5 pour un meilleur contraste
D/4
0.4 * D
0.5 * D
0.8 * D
1.2 * D à 1.6 * D
2*D
2.35 * D
4*D
500x
Limites de grandissements standards pour un telescope : de D/7 à 2.5 * D,
Pour un 90mm : de 13x à 225x
Pour un 200mm : de 29x à 500x
2.0
3.1
5.0
4.3
4.4
4.4
2.0
4. Calcul du champ en CCD
Le but de cet article est simplement de regrouper un certain nombre de formules mathématiques simples. Elles vous
permettront par exemple de calculer le champ de votre combinaison optique afin de tirer parti de façon optimale de votre
instrumentation, ou, qui sait, de vous aider à choisir votre prochaine caméra...
Avant de nous lancer dans le vif du sujet, il est bon de rappeler quelques généralités :
- ' : signifie minute d'arc
- " : signifie seconde d'arc
- une minute d'arc est égale à soixante secondes d'arc (1' = 60" )
- la Lune et le Soleil ont un diamètre de l'ordre de 30'
- Jupiter a un diamètre de l'ordre de 50"
- la très grande majorité des objets du ciel profond ont moins de 15 à 20'.
4.1 Déterminer le champ
Lors de l'achat d'une caméra CCD, le champ que vous obtiendrez avec votre instrument d'observation habituel est un
critère important. Ce champ peut se calculer par une formule simplifiée qui donne une bonne approximation :
champ(') = 3438 x taille CCD(mm) / longueur focale(mm)
Ainsi, si j'ai une focale de 660mm et une cellule CCD de 6.9mm, j'obtiens :
Champ(') = 3438 X 6.9 / 660, soit un champ de près de 36'.
4.2 Déterminer la focale idéale
Cette formule permet de déterminer la focale idéale pour un besoin particulier. Si on souhaite faire de l'imagerie grand
champ pour trouver une comète ou une novae on n'utilisera pas la même combinaison optique que pour faire de
l'imagerie planétaire.
focale(mm) = 3438 x taille CCD(mm) / champ(')
Ainsi, imaginons que vous souhaitiez acheter un télescope et que le choix de votre CCD est fixé sur un chips de 6.9mm.
Par ailleurs vous avez une prédilection pour le ciel profond, ce qui implique un champ d'au moins de 15' :
focale(mm) = 3438 X 6.9 / 15.
Il vous faudra que vote instrument ait une focale de 1581mm au maximum.
A l'inverse, vous souhaitez faire de l'imagerie planétaire avec un champ de 60" (soit 1') et votre CCD a une taille de
2.4mm.
focale(mm) = 3438 X 2.4 / 1
Il vous faudra donc utiliser un système agrandissant pour avoir une focale de 8251mm.
4.3 Déterminer la résolution optimale
4.3.1 Pour le Soleil, la Lune et les planètes
La focale optimale d'un télescope pour le planétaire sera :
focale(mm) = 2 x diamètre du télescope(mm) x taille du pixel(µm)
/ pic de sensibilité de la camera (µm)
Par exemple, votre caméra a son pic de sensibilité dans le rouge à 0.7µm et a des pixels de 10µm pour un télescope de
200mm :
focale(mm) = 2 X 200 X 10 / 0.7
Il faudra agrandir l'image de façon à avoir une focale de 5714mm.
NB: Il est tout à fait inutile, voire néfaste, d'agrandir plus l'image. En effet agrandir l'image ne permettra pas de voir plus
de détails, l'image deviendra moins lumineuse et le temps de pose devra être augmenté, et donc la turbulence sera plus
gênante...
4.3.2 Pour le ciel profond
La résolution du pixel sur le ciel doit être de l'ordre de 2 à 3". Pour ce faire, la focale idéale est :
focale(mm) = 206 x taille du pixel(µm) / résolution(")
Si je possède une CCD avec des pixels de 9µm, la focale idéale sera de :
focale(mm) = 206 X 9 / 2 ou 3
soit une focale située entre 927mm et 618mm
NB:
- Avec la technique dite du "binning", on peut adapter le CCD à une focale plus longue. Par exemple des pixels en
binning 2x2 de 9µm deviennent un "super pixel" de 18µm. Les focales idéales iront donc de 1854 à 1236mm.
- En cas de turbulence exceptionnelle, la résolution du pixel sur le ciel peut être réduite jusqu'à 1"
ou 1.5". Le temps de pose devra être fractionné de façon à limiter les erreurs de suivi.
4.4 La résolution
4.4.1 De l'instrument
résolution(") = 250 x longueur d'onde utilisée(µm) / D(mm)
Si vous utilisez un filtre à 0.56µm et que votre télescope a un diamètre de 200mm, sa résolution optique sera de :
résolution(") = 250 X 0.56 / 200
soit 0.7" d'arc.
4.4.2 Du pixel
résolution(") = 206 x taille du pixel(µm) / focale de l'instrument(mm)
Avec un pixel de 18µm et une focale de 1300mm vous aurez une résolution du pixel
résolution(") = 206 X 18 / 1300
soit 2.85" d'arc, donc un échantillonnage correct pour le ciel profond.
4.5 La focalisation
La focalisation, ou mise au point, est une chose critique en astronomie CCD. L'erreur maximale tolérée du
positionnement du capteur par rapport au foyer de l'instrument est donnée par la formule :
erreur(µm) = focale(mm) x taille du pixel(µm) / diamètre(mm)
Donc si vous avez une CCD avec des pixels de 9µm et que vous utilisez un télescope de 200mm de diamètre, avec une
focale de 1000mm, l'erreur maximale de positionnement sera de :
erreur(µm) = 1000 X 9 / 200
soit un maximum de plus ou moins 45µm !
On remarquera aussi que plus le rapport F/D de l'instrument est petit, plus la focalisation sera critique et nécessitera un
bon système de focalisation pour parvenir à une bonne mise au point. Il est à noter toutefois le cas particulier du
telescope Schmidt-Cassegrain: du fait du deplacement du miroir primaire et du grossissement du miroir secondaire, le
deplacement doit être près de 25 fois plus faible !
4.6 Ce qu'il faut faire pour avoir de bonnes images CCD
Voici quelques conseils d'après l'Astronomical image processing de Richard Berry.
4.6.1 Le ciel profond
- Faire des images de calibration (noir, plage de lumière uniforme, précharge)
- Avoir un champ d'au moins 15'
- La résolution du pixel sur le ciel doit être de l'ordre de 2 à 3"
- Détecter des objets faibles nécessite un ciel le plus noir possible et un temps de pose long
- La résolution est souvent limitée par le guidage
4.6.2 Les images planétaires
- Faire des images de calibration (sauf le noir)
- La résolution du pixel doit être 2 à 3 fois celle du télescope
- Un champ de l'ordre de 30 à 60" suffit
- Si possible, choisir une nuit peu turbulente
- Eviter les temps de poses de plus de 0.25 secondes
- Faire des grandes séries d'images en un minimum de temps
- Additionner au moins une dizaine d'images ensemble
4.6.3 Les images de la Lune
- Faire des images de calibration (sauf le noir)
- La résolution du pixel doit être 2 à 3 fois celle du télescope
- Choisir si possible une nuit peu turbulente
- Eviter les temps de poses de plus de 0.25 secondes
- Le champ doit être le plus grand possible, sans compromis avec la résolution
4.6.4 Les images solaires
- Faire des images de calibration (sauf le noir)
- La résolution du pixel doit être 2 à 3 fois celle du télescope
- Choisir si possible une journée peu turbulente, en général le matin
- Eviter les temps de poses de plus de 0.02 secondes
- Le champ doit être le plus grand possible, sans compromis avec la résolution
5. L'échantillonnage CCD
5.1 Qu'est ce que l'échantillonnage ?
L'échantillonnage représente la portion angulaire de ciel vue par un pixel du capteur CCD. Il ne dépend que de deux
paramètres : La dimension (longueur/largeur) du pixel et la focale de l'instrument. Il est en général exprimé en secondes
d'arc par pixel.
Il ne faut pas confondre échantillonnage et résolution, ce sont deux notions très différentes. Schématiquement, la
résolution d’une image correspond à la dimension des plus fins détails qui y sont visibles. A la différence de
l’échantillonnage, elle dépend donc des conditions de turbulence et de la qualité de l’image délivrée par l’instrument.
5.2 Quel échantillonnage utiliser ?
A chaque type d'objet céleste correspond une plage optimale de valeurs d'échantillonnage. On ne fait pas une image de
planète à 3"/pixel, ni une image de galaxie à 0,3"/pixel !
Pour l'imagerie du ciel profond, une valeur de 1,5" à 3" permet d'obtenir une finesse apparente correcte dans la plupart
des cas. Il est inutile (et même néfaste) de descendre en dessous de 1", cette valeur étant à réserver aux instruments
disposant d'un très bon suivi et utilisés lors de nuits peu turbulentes.
La haute résolution planétaire ou lunaire nécessite quant à elle un échantillonnage plus fin : Le pouvoir séparateur de
l'instrument doit s'étaler sur environ deux pixels si l'on veut en tirer le maximum, soit une valeur théorique de 0,6" à 0,2"
pour des instruments de 100 à 300 mm de diamètre (environ 0,3" pour un 200 mm). A condition évidemment que la
turbulence l'autorise, et que l'optique soit de bonne qualité et surtout bien réglée ! Faute de quoi on agrandit du flou, ce
qui est rappelons-le irrattrapable au traitement.
L'obtention d'une image CCD de qualité nécessite un échantillonnage bien adapté. Lorsque l'échantillonnage est trop fin
(sur-échantillonnage), l'image est empâtée, le champ est réduit et le temps de pose inutilement allongé. A l'inverse, le
sous-échantillonnage conduit à une perte de résolution. Cependant, réduire la focale, notamment en ciel profond, permet
d'augmenter le champ et de diminuer l'influence des défauts de suivi ou de mise au point et de la turbulence
atmosphérique. Seuls des essais permettent à chaque utilisateur de déterminer plus précisément les échantillonnages
les mieux adaptés à son instrumentation, à ses objectifs et à sa technique de prise de vues.
5.3 Comment calcule-t-on l'échantillonnage ?
Il se calcule d'une manière très simple par la formule suivante :
(1) E = 206 P/F
où P représente la dimension d'un pixel, en microns, et F la longueur focale de l'instrument, en millimètres. Pour les
puristes, notons que cette formule est une simplification de la formule exacte à base d'arc tangente. Pour les calculs
d'échantillonnage elle donne des résultats aussi bons, l'approximation sur le résultat étant de l'ordre du millième de
seconde d'arc, très inférieure à l'erreur due à l'incertitude sur la longueur focale de l'instrument.
Exemple : Un capteur CCD KAF-0400, à pixels de 9 microns, installé sur un télescope de 2000 mm de focale, donnera
un échantillonnage de 0,93"/pixel. En binning 2×2, la dimension du pixel est doublée, ce qui donnera un échantillonnage
de 1,8"/pixel.
Le champ couvert par le capteur s'en déduit facilement, en multipliant l'échantillonnage par le nombre de pixels présents
sur chacune de ses dimensions. Dans l'exemple ci-dessus, le capteur de 768×512 pixels couvre un champ de 712" sur
475", soit 11,9' sur 7,9'.
A partir d'une image CCD contenant un objet de dimension angulaire connue (une planète ou un couple d'étoiles par
exemple), on peut retrouver la focale réelle de l'instrument (en mm) en renversant la formule (1) :
(2) F = 206 D/A
où A représente la dimension apparente de l'objet en secondes d'arc et D sa taille (en microns) sur le capteur. Exemple :
La planète Mars occupe 46 pixels (soit 414 microns sur un KAF-0400) sur une image CCD réalisée alors que la planète
mesurait 14,1". La focale résultante de l'instrument est d'environ 6000 mm, soit 6 m, et l'échantillonnage est de
0,31"/pixel.
5.4 Comment régler l'échantillonnage ?
Une fois déterminé l'échantillonnage le mieux adapté à l'objet visé et aux conditions de prise de vue, il faut l'obtenir.
Puisqu'on ne peut évidemment pas changer la taille du pixel, on fera varier la focale résultante de l'instrument. Pour ce
faire, on utilise, tout comme en photographie argentique, un oculaire ou une lentille de Barlow qui augmente cette
distance focale ou un réducteur qui la diminue. Le renversement de la formule (1) permet d'obtenir la focale en fonction
de l'échantillonnage souhaité : F = 206 P/E.
Rappelons à ce sujet qu'un système réducteur ou grandissant (Barlow, oculaire, réducteur de focale) ne travaille à son
rapport de réduction ou de grandissement théorique que pour un tirage précis. Si le tirage varie ce rapport change. De
plus, sur les instruments à focalisation par déplacement du miroir primaire, tels que les Cassegrain et SchmidtCassegrain du commerce, la distance focale de l'instrument varie un peu (quelques pour-cent) en fonction de la position
de mise au point. Attention donc lors du calcul de la focale résultante d'un instrument, en cas de doute ne pas hésiter à
utiliser la formule (2) à partir des images obtenues ! Pour plus de détails à ce sujet se reporter aux ouvrages traitant
d'astrophotographie, ainsi qu'au numéro 9 de CCD & Télescope pages 1 et 2.
6. CALCULS ASTRONOMIQUES POUR UN LOGICIEL D'ASTRONOMIE
6.1 Notions générales :
Il faut avant tout avoir à l'esprit tous les systèmes de coordonnées qui sont utilisés.
Pour commencer, le catalogue d'étoiles utilise pour situer les étoiles, des coordonnées indépendantes de l'observateur :
ce sont les coordonnées équatoriales. Dans ce système de coordonnées, les étoiles sont supposées être très loin de la
Terre. La Terre est donc considérée comme un point minuscule au centre du repère. L'étoile est représentée par deux
angles : l'ascension droite et la déclinaison comme le montre le schéma suivant. Les deux références pour la mesure de
ces angles sont l'équateur Céleste (projection de l'équateur Terrestre) et le point Vernal (point d'intersection entre
l'équateur et l'écliptique).
Position d'une étoile sur la sphère Céleste
Ensuite, il faut situer l'observateur. Pour cela, on utilise des coordonnées analogues aux coordonnées précédentes sur la
sphère Terrestre. Ce sont aussi des coordonnées équatoriales. L'observateur est situé par deux angles la latitude et la
longitude avec comme référence l'équateur Terrestre et le méridien de Greenwich.
Position d'un observateur sur la sphère Terrestre
Le but sera donc de situer les étoiles par rapport à l'observateur. Pour cela, on utilise des coordonnées célestes
horizontales qui sont très simples à utiliser pour l'observateur. Ces coordonnées utilisent deux angles : l'azimut, qui
indique un angle par rapport au sud de l'observateur et la hauteur.
Position de l'étoile pour l'observateur
La dernière étape sera de projeter les coordonnées célestes horizontales sur un plan. Pour pouvoir dessiner notre carte
du ciel à plat.
6.2 Les formules :
Notations utilisées :
Latitude = lat
Longitude = longi
Déclinaison = dec
Ascension droite = asc
Azimut =az
Hauteur = hau
Angle Horaire de l'étoile = H = angle - asc + longi
angleH = angle lié a l'heure sidérale.
angleT = angle lié a l'heure.
angle = angleH + angleT
6.2.1 Calcul de la Hauteur :
sinushauteur = sin(dec) * sin(lat) + cos(dec) * cos(lat) * cos(H)
La hauteur est un angle compris entre -90° et +90°, la hauteur s'obtient donc simplement par :
hau = arcsin (sinushauteur)
6.2.2 Calcul de l'Azimut :
cosazimuth = ( sin(dec) - sin(lat) * sin(hau) ) / ( cos(lat) * cos(hau) )
L'azimut est un angle compris entre 0 et 360°, nous avons donc besoin d'un calcul intermédiaire :
sinazimuth = ( cos(dec) * sin (H) ) / cos(hau)
Si sinazimuth > 0 alors :
az = + arccos(cosazimuth)
Sinon :
az = - arccos(cosazimuth)
6.2.3 Calcul du jour julien:
Pour la date, il faut utiliser un système de référence plus simple que le système jour-mois-année traditionnel, on utilise en
général le JOUR JULIEN : ce calendrier est très simple, il ne fait que compter les jours à partir d'une date de référence.
La date de référence est le 1er janvier de l'an -4712 à 12H00 (par exemple le 1er janvier 2OOO à 00H00 correspond au
jour julien 2415386.5).
L'utilisateur a donc entré une Année, un Mois, un Jour, une Heure et une Zone, nous en déduisons par le calcul le
nombre de jour depuis le 1er janvier 2000 auquel il correspond. L'heure donnée est l'heure locale, la zone correspond au
décalage par rapport à Greenwich.
[ Par convention : la fonction Int est la fonction qui rend la partie entière d'un nombre ]
Si le mois est inférieur à 3 :
alors Mois = Mois + 12 et Année = Année - 1
sinon on ne fait rien
Puis on fait les calculs suivants :
A = Int( Année / 100 )
B = 2 - A + Int( A / 4 )
C = Int( 365.25 * Année )
D = Int( 30.6001 * ( Mois + 1 ) )
Jour Julien :JJ = B + C + D + jour + 1720994.5
6.2.4 Calcul de l'heure sidérale:
L'heure sidérale va nous permettre de calculer un angle qui dépend de l'heure d'observation et de la date.
Nous connaissons le jour julien, nous en déduisons le nombre de siècle depuis le 01/01/2000 grâce à la formule suivante
:
T = ( JJ - 2451545 ) / 36525
On en déduit l'heure sidérale en seconde grâce à la formule suivante :
H1 = 24110.54841 + ( 8640184.812866 * T) + ( 0.093104 * ( T^2 ) ) - (0.0000062 * ( T^3 ) )
en heure l'heure sidérale est donc :
HSH = H1 / 3600
Mais il faut ramener cette heure dans un intervalle de 0 à 24H et ne garder que la partie fractionnaire de ce nombre d'où :
HS = (( HSH / 24 ) - Int( HSH / 24 ))*24
Calcul du décalage dû à l'heure sidérale
Sachant que la Terre tourne sur elle-même en 23H56min4s, on en déduit l'angle auquel correspond l'heure sidérale
angleH = 2 * PI * HS / (23H56min4s)
Calcul du décalage dû à l'heure
Il depend de l'heure en temps universelle, c'est à dire l'heure à Greenwich, d'où le paramètre "-zone", il est compté à
partir de 12H (car l'heure sidérale est comptée à midi) d'où le paramètre "-12", ce décalage dépend aussi de la rotationde
la Terre en 23H56min4s.
angleT = (heure - 12 + minute/60f - zone) * 2 * PI/(23H56min4s)
6.2.5 Projection sur un plan :
Pour obtenir une représentation des étoiles, il ne reste plus qu'à projeter ces coordonnées sur un plan.
Il ne faut pas oublier que seul les étoiles donc la hauteur (hau) est positive sont visibles ! (les autres sont au-dessous de
nos pieds).
dist = -coeff *cos(hau)
(le paramètre - permet de placer le Nord en haut de la carte, le coeff permet de déterminer la taille de la carte) Sur les
axes X et Y, on a donc :
X = dist * cos(az)
Y = dist * sin(az)