COURS 2 LA MÉCANIQUE DES FLUIDES L`étude des liquides au

COURS 2
LA MÉCANIQUE DES FLUIDES
 L’étude des liquides au repos  statique des fluides
 L’étude des liquides au mouvement  dynamique des fluides
1. Statique des fluides
1.1. L’état liquide
Le liquide est une forme de fluide : les molécules sont faiblement liées .
 l’état d'agrégation de la substance dans laquelle la distance entre les
particules est beaucoup plus petite que dans les gaz (les liquides sont
difficilement compressibles) mais beaucoup grande que dans les solides ;
Les forces d’interaction sont plus faibles que dans le cas de gaz ce qui
rend la distance entre les particules plus petite ;
 se caractérisent par un ordre local des molécules sur une distance de
quelques rayons moléculaires ;
 l'énergie cinétique des molécules (l'agitation thermique) et l’énergie
potentielle (de position) ont le même poids ;
 du point de vue structural les liquides occupent une place intermédiaire
entre les gaz et les solides.
Les propriétés des liquides sont:
 ont une forme indéterminé (le liquide n’a pas de forme propre, il prend
cette du récipient sous l’effet de la gravité)
 ont un volume déterminé ;
1
 sont isotropes ;
 sont fluides ;
 sont difficilement compressibles (incompressibles) .
Les propriétés des liquides dépendent de la température, c'est-à-dire, à des
valeurs élevées, les propriétés des liquides s’approchent de celles des gaz, par
contre à des valeurs basses, elles s’approchent de celles des matières solides.
La connaissance des lois d'écoulement des liquides est nécessaire pour
comprendre comment la circulation du sang s’effectue.
1.2. La densité (ρ)
DEF.
Densité absolue → ratio de la masse et du volume.
Pour un corps de masse M homogène, et de volume V, on a:
ρ=
M
V
Pour V=1, nous avons ρ=M, c'est-à-dire la densité d’un corps est égale à
la masse de l'unité de volume.
La densité est exprimée en termes de dimensions fondamentales en tant
que:
[ρ] = M/L3 = M·L-3
L'unité de densité est représentée dans le système international (SI) par la
relation:
[ρ]SI = kg/m3 = kg·m-3
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La densité relative est définie comme le rapport de la densité absolue
d'un corps (ρ) et la densité absolue d'un autre corps pris comme référence (ρ0).
M

M
ρr =
= V =
M0
0
M0
V
ρ=
M
· ρ0
M0
Pour:
 Les liquides, le corps de référence est l'eau distillée, dont la densité
à 4°C est de 1000 kg/m3
 Les gaz, les corps de référence est l’air à 0°C et la pression
atmosphérique de 760 mm de mercure.
1.3. La pression hydrostatique
DEF.
La pression (P) est le rapport entre la force normale qui pèse sur une superficie
et de l’aire de la zone concernée.
(La pression est définie comme le rapport entre la force dont la pression s’exerce
perpendiculairement à la surface considérée et la valeur de l’aire de la surface
respective) .
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P=
Si α=0o  P =
F
S
Fn F  cos 
=
, Fn = F·cosα
S
S
(max)
La pression est exprimée en termes de dimensions fondamentales en tant
que:
[P] = [F]/[S] = M·L·T-2/L2 = M·L-1·T-2
L’unité de mesure en S.I. est:
[P]SI = [F]SI/[S]SI = N/m2 = Pa (Pascal)
Et en CGS:
[P] = dyn/cm2 = barye (Ba), 1 Ba = 0,1 N/m2
D’autres unités de mesure sont tolérées et utilisées:
Bar (bar) : 1 bar = 105 N/m2 = 106 Ba (dyn/cm2).
Tore (ou mm Hg) : est égal à la pression exercée par une colonne de mercure
de 1mm à 0oC et dans un champ gravitationnel normal (standard, accélération
gravitationnelle g = 9,8 m/s2).
1 Tore =1 mm Hg = 133,322 N/m2
L’atmosphère physique: est égale avec 760 Tore:
1 atm = 760 Torr = 760·133,322 N/m2 = 101325 N/m2 ≈ 1,013·105 N/m2 ≈ 105
N/m2 = 1 bar
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OBS.
Les couches d’un fluide en repos appuient les unes sur les autres avec une
pression  pression hydrostatique.
Les facteurs auxquels dépend la pression hydrostatique sont : la profondeur et
la densité.
1. La pression hydrostatique dans les liquides augmente avec la profondeur.
2. En tout point dans un liquide la pression hydrostatique est la même dans
toutes les directions.
3. La pression hydrostatique est la même en tous les points d’un plan
horizontal.
4. La pression hydrostatique augmente avec la densité du liquide.
En conclusion:
À une certaine profondeur h dans un liquide de densité ρ, la pression
hydrostatique est égale au produit de la densité, la profondeur et
l’accélération gravitationnelle.
P = ρ·g·h
1.4. La loi de Pascal (Principe de Pascal)
Enoncé:
La pression sur une zone d'un liquide au repos est transmise dans
toutes les directions avec la même intensité tout au long du fluide.
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La presse hydraulique est une application directe du principe de Pascal,
elle fonctionne selon ce principe.
Lorsque le piston de la zone A1 pousse avec la force F1, sous le piston
apparaît la pression P1 = F1/A1 qui est transmise en conformité avec le principe
de Pascal à la seconde zone de piston A2.
Depuis P1 = P2, il en résulte que:
F1
F
A
= 2 ou F2 = 2 ·F1
A1
A2
A1
La force qui s'exerce sur le matériau est égale au rapport des surfaces des pistons
multiplié par la force exercée sur le petit piston.
CONCLUSION:
 La force poussée par le piston 2 est supérieure à la force de la pression du
piston 1, d’autant de fois que la surface de piston 2 est supérieure à la
surface du piston 1.
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1.5. Principe fondamental de l’hydrostatique
- Considérons à l’intérieur d’un liquide deux points A(hA) et B(hB) :

- Dans le point A  agit la force de pression
F1
et dans le point B  agit la

force de pression
F2 .
- Entre les plans horizontaux où se trouvent les points A(hA) et B(hB) nous

délimitons un parallélépipède imaginaire de poids G .
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hauteur
0
F1
A
hA
hA
ZA
hB
G
hB
B
ZB
F2
0
profondeur
Dans le cadre statique:



F 1 + F2 + G = 0
-F2 + F1 + G = 0
F2 - F1 - G = 0
PB  S  PA  S  m g = 0
PB·S  PA·S  gSh = 0
PB  PA =  · g · h
ENONCE:
La différence de pression entre le point A et le point B à l’intérieur d’un
liquide en équilibre est donnée par la relation :
PB - PA = ρ·g·h
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PB - PA = ∆P = différence de pression entre le point A et B
ρ = masse volumique du liquide
g = accélération de la pesanteur
h = hauteur de la colonne de liquide entre les points A et B
Si on prend un axe vertical et que l’on choisit une origine au niveau du fond du
récipient la formule peut s’écrire :
PA + ρ·g·zA = PB + ρ·g·zB,
Où zA, zB sont les coordonnées de l’axe OZ .
D’où la nouvelle expression :
P + ρ·g·z = constante
1.6. Le principe d’Archimède
 Considérons un corps de forme parallélépipédique, avec une
longueur h et une base S, immergé dans un récipient avec un
liquide de densité ρl.
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Force de pression F2 > Force de pression F1
F2 = P2·S > F1 = P1·S (P2 > P1)
La résultante des forces de pression qui agissent sur le corps est:
Parh = F2 – F1 = (P2 – P1)· S = ρl·g·h·S = ρl·V·g = ml·g = Gl (le poids du volume
du liquide déplacé)
Parchimédique=Gliquide déplacé
Enoncé:
Tout corps plongé dans un fluide reçoit une poussée dirigée de bas en haut
égale au poids du volume du fluide déplacé.
La poussée d'Archimède et le poids sont deux forces qui s'opposent.
Pour déterminer si un corps flotte ou coule, on calcule sa flottabilité (c'est
l'opposé du poids apparent) :
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Flottabilité = Poussée d'Archimède - Poids réel
Une flottabilité négative indique donc un objet plus lourd que l'eau.
Poids apparent = Poids réel - Poussée d'Archimède
D’où la formule :
Papp = (ρ - ρo)∙V∙g
ρ = masse volumique du corps immergé
ρo = masse volumique du liquide
V = volume du corps
ρ∙V∙g = poids
ρo∙V∙g = poussé d’Archimède
Le principe de ce théorème est couramment appliqué en médecine lorsque l’on
pratique la rééducation en piscine.
2. La dynamique des fluides
2.1. L’écoulement des fluides
Dans les conditions statiques  connaître la profondeur et la
densité ρl pour caractériser le fluide.
Dans les conditions dynamiques  en dehors de ces deux

grandeurs il est nécessaire de connaître la vitesse du fluide v en
tous les points, à tous les moments
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OBS.
o le chemin parcouru par une particule de fluide en mouvement  la ligne
de courant
o en chaque point la vitesse de la particule est tangente à la ligne de courant
2.2. Classification des écoulements des fluides
A. d’après la trajectoire des particules de fluide :
écoulement non rotationnel (irrotationnel) (sans tourbillon) si le
mouvement des particules de fluides est seulement translational
écoulement rotationnel (avec tourbillon) si les particules de fluides
participent simultanément à un mouvement de translation et à un
mouvement de rotation.
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B. d’après la vitesse des particules de fluide :
écoulement turbulent (il a lieu quand la vitesse d’écoulement est grande)
- c’est le cas quand les lignes de courant s’intersectent ;
écoulement laminaire (il a lieu à basse vitesse d’écoulement) - quand les
lignes des courants sont parallèles (les vaisseaux capillaires dans lesquels
la vitesse du sang est très réduite).
2.3. Débit de masse et de volume
DEF.
Le débit est une grandeur scalaire égale au rapport entre la quantité de
liquide qui passe par une section transversale d'un tube au cours d'une période de
temps et de la taille de cet intervalle.
OBS.
Dans le cas des liquides, en fonction de la taille adoptée pour mesurer la
quantité de fluide, peut être définie le débit volumique et le débit de masse.
Débit volumique:
Qv =
V
S  l
S  v  t
=
=
= S∙v
t
t
t
ou v représente la vitesse d’écoulement et S la section transversale.
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Débit de masse:
Qm =
m
V
=
=   QV
t
t
2.4. Equation de continuité
On considère un fluide en écoulement laminaire.
Soit trois sections transversales arbitraires S1, S2 et S3 par lesquelles le fluide
s'écoule à vitesses v1, v2 et v3:
Les débits volumiques par toutes les trois sections sont:
Q1V = S1·v1
Q2V = S2·v2
Q3V = S3·v3
Un fluide dit incompressible lorsque son volume demeure quasiment constant
sous l’action d’une pression externe.
Le fluide est incompressible

dans n’importe quelle section du tube passe la
même quantité de fluide dans le même intervalle de temps. Alors :
Q1V = Q2V = Q3V
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
S1·v1 = S2·v2 = S3·v3
Cette équation traduit la CONSERVATION DES DEBITS, elle s’applique aux
fluides réels et parfaits si on utilise les vitesses moyennes.
En tout point du tuyau on peut définir la vitesse moyenne vm et la section S du
tuyau ; la formule générale de la conservation des débits s’écrit :
vm ∙ S = Constante
Conclusion:
 la vitesse d’écoulement d’un fluide à travers un tube (tuyau) de section
variable est plus grande la où la section est plus petite et réduite la ou la
section est grande.
2.5. Loi de Bernoulli
Cette loi se réfère aux pressions exercées par un liquide à l’écoulement à travers
un ensemble de tubes à section variable.
 On considère un fluide de masse volumique ρ qui s’écoule sans
frottement.
Enoncé:
Dans une section d'un tube incliné et à section variable, à travers laquelle coule
un liquide, la somme de la pression hydrostatique (p), la pression
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hydrodynamique (ρv2 /2) et la pression de pesanteur (la pression due à la
différence de niveau) (ρgz) est constante.
ρv2/2 + ρgz + P = const.
Pression Cinétique+Pression de pesanteur+Pression hydrostatique=const
Z
0
Remarque :
 si v = 0, la composante dynamique est nulle, on retrouve la loi de
PASCAL : P+ ρgz = const.
 dans le cas d’un tube horizontal, loi de Bernoulli devient: P + ρv2/2 =
const.
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Application médicale:
Si l'expansion (l’élargissement) d'une artère (anévrisme), la pression
hydrostatique élevée conduit au déchirement (rupture) de la paroi
artérielle.
Dans le cas d'une sténose vasculaire, la pression hydrostatique diminue
mais la vitesse de circulation augmente ; le caractère de l’écoulement
change. Il devient turbulente ce qui peut conduire à des spasmes dans le
vaisseau obturé.
Si le long d'un vaisseau sanguin il y a une série d’occlusions et des
dilatations, à la suite du mouvement ondulatoire du sang se produit un
bruit qui s’appelle souffle.
En médecine tout écoulement turbulent entraîne l’apparition d’un souffle
que l’on peut entendre avec un stéthoscope.
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EXERCICES :
1. Calculez la pression exercée par l’eau de mer sur un plongeur situé à 50 m
de profondeur, sachant que la densité de l’eau de mer est de 1,025. La
pression atmosphérique est égale à 760 mm Hg, la densité du mercure est
égale à 13,6 g/cm3². (on sait que 1mm Hg = 133 Pa, 1 atm = 1,013∙105 Pa)
2. Une sphère de cuivre avec une masse de 880 g plongée dans l’eau. Sa
masse apparente est de 720 g. Montrer que la sphère est creuse et calculer
le volume de la cavité en sachant que la masse volumique du cuivre est de
8,8 g/cm3.
3. Un tuyau de rayon R1 présente un étranglement de rayon R2. Déduire les
différences de vitesse et de pression induites par l’étranglement.
Donnés : Qv = 2l/min, R1= 1cm, R2 = 0,5 cm, masse volumique de l’eau
103 kg/m3
4. Une plaque d’athérosclérose provoque un rétrécissement d’une artère.
Juste avant le rétrécissement, la pression intérieure est égale à P1= 100
mm Hg, le diamètre de l’artère est égale à d1= 1 cm et la vitesse du sang
vaut 20 cm/s. Pour quel diamètre d2 au niveau de rétrécissement, la
pression artérielle s’annule-t-elle ? Que se passe-t-il, si le diamètre d2
devient inférieur à la valeur ainsi calculée ?
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