Résumé

DE LA STABILITE DES AERONEFS AVEC AILES EN TANDEM
Une approche théorique et numérique des coefficients
de stabilité de l'équilibre en vol.
Bernard GUERRAND
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Résumé
Parmi les aéronefs à deux plans les plus répandus sont les appareils à ailes en tandem : les avions dits traditionnels
des aéroclub, les canards dont l’aile la plus grande est à l’arrière et les pou-du-ciel. De manière à préciser, quantifier puis
comparer les performances de stabilité des aéronefs de chacune de ces catégories, voire d’une catégorie à l’autre, une
méthode numérique et systématique est proposée. Cette approche de la stabilité repose sur un calcul de la dérivée du
couple de tangage par rapport à l’incidence, au voisinage du point d’équilibre. Cette grandeur « dM/di » est comparée aux
coefficients habituels tels le rapport des coefficients de portance (kch) ou le rapport des « volumes de stab » (. La note
expose la méthode et les applications numériques sur tableur EXCEL et les résultats obtenus sur quelques configurations,
notamment pour 3 vitesses et des conditions de centrage extrêmes. Les résultats permettent d’évaluer la sensibilité au
centrage et au profil de ces trois coefficients. Les caractéristiques aérodynamiques des profils sont implicites dans dM/di :
ce qui explique sans doute pourquoi ce coefficient est le plus efficace pour évaluer l’influence du choix des profils, du
centrage et autres données sur la stabilité.
SOMMAIRE
1 - OBJET ................................................................................................................................................................................................ 2
2 - LIMITES DE L’ETUDE ................................................................................................................................................................... 2
3 - RELATIONS DE BASE .................................................................................................................................................................... 3
3.1- FORCES ET COUPLES AGISSANT SUR L’AERONEF ............................................................................................................................ 4
3.1.1 - Force d’inertie ..................................................................................................................................................................... 4
3.1.2 - Forces Aérodynamiques exercées sur chaque aile ............................................................................................................... 4
3.1.3 - Force motrice ....................................................................................................................................................................... 4
3.1.4 - Moment des Forces .............................................................................................................................................................. 5
3.2 - EQUILIBRE DU VOL ........................................................................................................................................................................ 5
3.3 - STABILITE DU VOL ........................................................................................................................................................................ 5
4 - EQUATIONS A RESOUDRE ET COEFFICIENTS DE STABILITE ........................................................................................ 6
4.1 - EQUATIONS A RESOUDRE POUR OBTENIR L’EQUILIBRE ................................................................................................................. 6
4.2 - GRANDEURS DE STABILITE A CALCULER ET CRITERES A EVALUER ............................................................................................... 6
4.2.1 - Grandeur de stabilité par dérivée du moment de tangage dM/d ....................................................................................... 6
4.2.2 - Grandeur de stabilité par rapport des Cz : kch.................................................................................................................... 7
4.2.3 - Grandeur de stabilité par rapport des volumes de stab :  ................................................................................................. 7
5 - METHODE DE RESOLUTION ...................................................................................................................................................... 8
5.1 - METHODE ..................................................................................................................................................................................... 8
5.2 - FEUILLES DE DONNEES ENTREES SORTIES EXCEL ....................................................................................................................... 9
5.3 - FEUILLE « CALCULS »................................................................................................................................................................. 10
5.4 - FEUILLE « AILE K » ..................................................................................................................................................................... 11
6 - RESULTATS DES CALCULS ....................................................................................................................................................... 12
6.1 - CONFIGURATION POU DU CIEL.................................................................................................................................................... 12
6.1.1 - TWIN avec deux NACA 23012 .......................................................................................................................................... 12
6.1.2 - TWIN avec deux NACA 23112 ......................................................................................................................................... 13
6.1.3 - TWIN avec deux CLARK Y ................................................................................................................................................ 14
6.2 - CONFIGURATION AVION ........................................................................................................................................................... 15
7 - SYNTHESE ..................................................................................................................................................................................... 16
7.1 - QUEL COEFFICIENT CHOISIR ?...................................................................................................................................................... 16
7.2 - COMPARER LES STABILITES D’UNE CONFIGURATION A L’AUTRE ................................................................................................. 16
8 - CONCLUSION ................................................................................................................................................................................ 17
1 - OBJET
Les aéronefs plus lourds que l’air volent en transmettant à l’air les forces dues principalement à la pesanteur. Cette
transmission peut se faire avec une aile tournante d’hélicoptère, une aile fixe comme celle du concorde, ou plusieurs :
ailes en tandem, biplans, multi-surfaces etc.
Le cas des ailes en tandem comprend au moins trois catégories :
 les avions de type grand monoplan à l’avant et petit stabilisateur arrière : la plus répandue
 les canards qui ont l’aile la plus grande à l’arrière,
 les pou-du-ciel.
La connaissance des propriétés de stabilité de ces aéronefs vient la plupart du temps de l’expérience associée à des
calculs de critères simplifiés. Réaliser des comparaisons de stabilité amène alors à ajouter aux incertitudes des essais, des
hypothèses incertaines sur le calcul de ces critères. De manière à réduire ces incertitudes dans l’évaluation des
performances de stabilité des appareils de chacune de ces catégories, voire d’une catégorie à l’autre, une méthode
numérique et systématique a été développée. Cette approche par le calcul traite explicitement de l’impact d’une
perturbation de l’incidence sur le couple de rappel vers l’équilibre. Cet impact est un calcul de la dérivée du couple par
rapport à l’incidence au voisinage du point d’équilibre.
L’objet de la note est de présenter :
 les définitions des grandeurs et les relations physiques qui les relient,
 les lois de l’équilibre et de la stabilité,
 l’approche numérique : algorythmes et développements des calculs
 les résultats de calculs de stabilité obtenus sur des configurations d’ailes en tandem.
 une étude comparative des résultats et des différents coefficients de stabilité habituels
2 - LIMITES DE L’ETUDE
Axe de tangage
Sur l’axe de lacet les conditions d’équilibre et de stabilité sont conditionnées par les surfaces des dérives et aussi par
celles du fuselage.
L’étude présentée ici est limitée à la stabilité en tangage c’est à dire aux conditions nécessaires au rappel en piqué si
la perturbation est à cabrer. Dans ce domaine, le fuselage joue un rôle négligeable par rapport aux surfaces horizontales
des ailes ou des stabilisateurs : c’est pourquoi le fuselage est négligé dans cette étude.
Configuration Pou du Ciel
Les calculs sont réalisés sur la configuration pou du ciel dessiné et construit avec deux de mes amis : TWIN AIR.
Les ailes sont dérivées du modèle AIRPLUME n°10 de E.CROSES, tandis que la cellule est un biplace côte à côte
entièrement originale et large de 1.15 m au maître couple. Cette géométrie est la même pour les différents cas étudié de
manière à pouvoir comparer l’influence de la nature des profils sur la stabilité toute choses égales par ailleurs, pour trois
vitesses, un centrage avant et un centrage arrière.
Configuration AVION
Les calculs sont réalisés sur la configuration d’un avion de construction amateur aussi : le MENESTREL biplace
HN700 II.
Remarque : C’est une pratique courante que de comparer ce qui n’est pas « égal par ailleurs », par exemple la
stabilité de deux voitures de marque différente alors que les capacités de chargement et les domaines d’évolution sont
différents. Le résultat de ces comparaisons est à prendre avec précautions. En aéronautique c’est encore plus vrai, du fait
du déplacement sur les trois axes, des capacités de maniabilité différentes ou encore plus simplement de la plage de
vitesse. Cependant, de manière à pouvoir comparer les valeurs des coefficients de stabilité la masse de la configuration
étudiée est la même que pour le pou du ciel et le domaine de vitesse sera voisin.
2
3 - RELATIONS DE BASE
Trièdre et Notations
Un trièdre aérodynamique (G, x, y,z) est défini à partir de G, centre de gravité de l’aéronef, pour situer dans l’espace
les objets réels et les grandeurs physiques destinées à modéliser les phénomènes :
 Axe de roulis Gx : tangent à et dans le sens de la vitesse relative de l’aéronef, Gx est tangent en G à la trajectoire
suivi par l’aéronef
 Axe de lacet Gz : ┴ à Gx et orienté vers les pieds du pilote
 Axe de tangage Gy : ┴ à Gx et orienté vers la droite du pilote
Les notations et unités des grandeurs sont indiquées dans le tableau 1.
Tableau 1 - Notation et unités des grandeurs
NOM des Grandeurs
masse avion
masse volumique
Accélération de la pesanteur
Vent relatif
Traction motrice
Ordonnée centre de traction
profil aile k
Corde aile k
Surface aile k
Ordonnée bord attaque aile k
Abscisse bord attaque aile k
Incidence Aile k
Centre de poussée aile k
Abscisse centre de poussée aile k
Ordonnée centre de poussée aile k
Coefficient de portance aile k
Coefficient de traînée aile k
Symbole
m

g
W
Tr
Zr
profil k
Ck
Sk
zk
xk
ik
Cpk
Xk
Zk
Czk
Cxk
Unité
kg
kg/m3
m/s2
m/s
N
m
Sans
m
m2
m
m
°
Sans
m
m
Sans
Sans
La figure 1 présente la géométrie de l’aéronef retenue ainsi que les efforts et autres couples.
R1
Cp1
z1
Z1
i1
W
R2
i2
Tr
Cp2
z2
Z2
Cr
Zr
+
AXE DE VOL
M
G
x1
X1
x2
X2
Fz
Cp1
Cp2
Cr
G
Liaisons indéformables après centrage
FIGURE 1 – Vue de profil des ailes en tandem
Cette géométrie ressemble à celle d’un pou du ciel mais est applicable à celle d’un avion.
3
La plupart des caractéristiques géométriques sont de conception. D’autres sont variables comme les incidences liées à
la vitesse, le centrage qui est la position relative de G par rapport aux ailes dans l’axe de vol.
Ce centrage est défini dans la suite par :
X = x1 / CT
avec
CT = x1 - x2 +C2 cos( i2 /180 )
Nota : sur les avions, on limite en général CT à la corde de l’aile avant C1.
En pratique, le constructeur calcul une incidence de vol, puis place les masses pour obtenir la bonne position de G en
supposant en première approximation i1 et i2 petits d’où CT ≡ x1 - x2 . Ce qui permet de fixer les réservoirs, le moteur et
autres masses en première approximation. Puis viennent les essais…l’étude suppose ici le même raisonnement : dans
l’ordre seront calculées les incidences i1 et i2, puis la position réelle en vol de G.
3.1- Forces et couples agissant sur l’aéronef
L’aéronef est animé d’un mouvement :
 Selon les axes du trièdre, dû à la résultante des forces supposées appliquées en son centre de gravité G
 Autour des axes du trièdre, dû au moment de ces forces par rapport à G
Etudier l’équilibre de l’aéronef revient donc à étudier ces forces et le moment de ces forces
3.1.1 - Force d’inertie
F est fonction de la masse totale m [kg] de l’aéronef et de l’accélération de la pesanteur g .
Hypothèse H3.1.1 : Dans la suite, l’axe Gx est supposé horizontal et Gz supposé vertical.
Cette force se réduit alors à
 Fx  0

F  Fy  0
 Fz  mg

(3.1.1)
3.1.2 - Forces Aérodynamiques exercées sur chaque aile
Ces forces Rk sont fonction de la masse volumique  [kg/m3] de l’air, de la vitesse W [m/s] , des surfaces d’ailes
(indicées k = 1 ; 2) Sk [m2] et des coefficients de traînée Cx et de portance Cz de leur profil :
1

2
Rx k   2 Cxk W S k

RRy k  0

1
Rz k   Cz k W 2 S k
2

(3.1.2)
Ces forces s’appliquent aux centres de poussée Cpk.
Remarque : par convention, si Cz est positif Rz est négatif, de même si Cx est positif Rx est négatif.
3.1.3 - Force motrice
Elle est fournie par le moteur est s’applique en Cr :
Tx  Tr

T Ty  0
Tz  0

(3.1.3)
4
3.1.4 - Moment des Forces
M est le couple des forces ci-dessus appliquées aux bras de levier correspondant par rapport à G. Sachant que les
coordonnées des centres de poussée et centre de traction sont comptées algébriquement :
Mx  0

1

M My  W 2 S k Z k Cxk  X k Cz k   Tr Z r
2


Mz  0
(3.1.4)
3.2 - Equilibre du vol
La relation fondamentale de la dynamique donne :
F  R  T  m
M  I
où
 est l’accélération tangentielle, dérivée de la vitesse

l’accélération angulaire autour de Gy et I le moment d’inertie
Au point d’équilibre du vol dit « Eq » l’aéronef a une vitesse constante : les accélérations sont nulles et il suit une
trajectoire rectiligne uniforme et sachant H3.1.1, horizontale :
F  R T  0
(3.2a)
M 0
(3.2b)
3.3 - Stabilité du vol
La stabilité signifie que l’aéronef s’oppose de lui-même aux perturbations.
Lorsque chaque aile voit son incidence augmenter de d, l’aéronef risque de se cabrer : pour être stable sur l’axe de
tangage, le moment des forces M doit donc augmenter d’une quantité à piquer soit dM > 0. Inversement, dM doit être <0
si d <0. L’écriture de cette stabilité se réduit alors à écrire que la dérivée du moment par rapport à l’incidence est
positive au point d’équilibre Eq.
 dM

 0

 d
 Eq
(3.3)
5
4 - EQUATIONS à RESOUDRE et COEFFICIENTS de STABILITE
Les relations étant posées, ce chapitre présente les inconnues à déterminer pour résoudre les équations d’équilibre.
Posons
po 
1
W 2
2
(4 a)
4.1 - Equations à résoudre pour obtenir l’Equilibre
Tr
 S k Cxk   0
po
(4.1a)
mg
 S k Czk   0
po
(4.1b)
Tr Z r
 S k Z k Cxk  X k Cz k   0
po
(4.1c)
…. d’après 3.1.1, 2,3 et 3.2.a :
….et d’après 3.1.4 et 3.2.b
Or  est fixé par l’environnement, {Sk, m, Zr }sont des paramètres fixés par la conception de l’aéronef tandis que {Zk,
Xk, Cxk, Czk} sont des variables qui dépendent de la conception comme les cordes et les profils d’ailes et aussi de deux
inconnues i1 , i2. Au final il y a 4 inconnues à déterminer pour résoudre le système de 3 équations (4.1) : W, i1, i2, et la
traction moteur mini Tr.
4.2 - Grandeurs de stabilité à calculer et critères à évaluer
Ces grandeurs sont d’autant plus grandes que la stabilité est forte. Pour comparer le niveau de stabilité d’un aéronef à
un autre, il faudra alors comparer la valeur de ces grandeurs. Le critère est la valeur minimale qui correspond à la
stabilité.
4.2.1 - Grandeur de stabilité par dérivée du moment de tangage dM/d
Lors du passage de cette perturbation il faut retenir au moins deux hypothèses simplificatrices :
Hypothèse H4.2.1a : la perturbation étudiée est une variation infinitésimale de l’incidence d et
identique sur chaque aile.
Ainsi, pour k = 1 et 2 :
Par la suite sera noté indifférement di = d
dik  d
Hypothèse H4.2.1b: la perturbation étudiée étant une variation infinitésimale de l’incidence d,
l’inertie de l’aéronef est telle qu’il reste sur la même trajectoire pendant le passage de la
perturbation.
Ce qui permet de ne retenir que les modifications des forces aérodynamiques et celles de leur moment.
La stabilité du vol définie au §3. 3 amène à calculer la dérivée 1ere du Moment au voisinage de l’équilibre. D’après les
relations 3.1.4 et 3.3, ceci revient à calculer
 dMy 


 d  Eq
 1

2
 d  2  W S k Z k Cxk  X k Cz k   Tr Z r  

 
d





 Eq
(4.2.1)
Le critère de stabilité est que cette quantité soit positive.
6
Remarque 421 : ce coefficient dépend des bras de levier des forces aérodynamiques par rapport au centre de gravité et
des coefficient aérodynamiques. Par conséquent ce coefficient est sensible aux déplacements des centres de poussée et
des variations de Cz et Cx selon les vitesses et selon les profils.
4.2.2 - Grandeur de stabilité par rapport des Cz : kch
Cette grandeur est définie par la valeur absolue du rapport entre le coefficient de portance aile avant/aile arrière.
k ch 
Cz1
Cz 2
(4.2.2)
Le critère de stabilité est que cette quantité soit supérieure à 1
Remarque 422 : contrairement à 4.2.1, ce coefficient ne dépend pas des bras de levier des forces aérodynamiques par
rapport au centre de gravité. Par conséquent ce coefficient est insensible au déplacement des centres de poussée ni selon
les vitesses ni selon les profils.
4.2.3 - Grandeur de stabilité par rapport des volumes de stab : 
Par empirisme, il est commode d’évaluer l’influence du rapport des surfaces avant et arrière sur la stabilité. En effet,
toutes les surfaces situées à l’avant du centre de gravité ont tendance à ruiner l’équilibre, que ce soit en tangage, en roulis
ou en lacet. Il suffit de lancer une flèche à l’envers pour s’en apercevoir.
Cette grandeur est définie en supposant à l’ extrême que les coefficients de portance sont égaux. Elle est donc définie par
le rapport entre les « volumes de stab » de l’aile avant et aile arrière :

X 2S2
X 1S1
(4.2.3)
Le critère stabilité est que cette quantité soit supérieure à 1
Remarque 423 : contrairement à 4.2.1, ce coefficient ne dépend pas des coefficients aérodynamiques. Par conséquent
ce coefficient est insensible aux variations des Cz et Cx selon les vitesses ni selon les profils.
En examinant le critère on observe :
SI = 1, il traduit simplement qu’à Cz égal le couple de tangage de l’aile avant égal celui de l’aile arrière : ce qui est
la définition de l’équilibre indifférent.
Si  est supérieur à 1, l’équilibre est stable mais la stabilité n’est pas quantifiée pour autant.
Dans le cas où Zr est nul et si l’on néglige le moment des forces de traînée sur le moment des forces de portance,
l’équation (4.1c) peut se simplifier à l’extrême, notamment:
S k X k Cz k   0
et d’après les relations 4.2.2 et 4.2.3 :
  kch
7
5 - METHODE DE RESOLUTION
Si l’on conserve les 3 équations précédentes à 4 inconnues, il existe (4 - 3 = ) 1 degré de liberté qui bloque la
résolution.
Or, les incidences des ailes avant et arrière ne sont pas complètement indépendantes, notamment lorsque les ailes sont
rigidement liées au fuselage de construction.
Pour réduire ce degré de liberté, une condition est donc ajoutée : l’interinclinaison est paramétrée et devient une donnée
d’entrée. Elle reste constante pendant la recherche de l’équilibre et pendant la perturbation d.
Hypothèse H5.1 : L’interinclinaison est paramétrée à raison de :
i2  i1  
(5.1)
En observant les 3 équations, il apparaît une nette simplification dans l’ordre des calculs si Zr est nul.
Hypothèse simplificatrice H5.2 : La traction moteur est dans l’axe de vol d’où Zr =0
Dans la suite, sont notées les quantités suivantes qui sont – via les caractéristiques des profils et (5.1) – fonctions de i1 :
T *  Sk Cxk  , P*  Sk Czk  , M *  Sk Z k Cxk  X k Czk 
5.1 - Méthode
Plutôt que d’appliquer une résolution analytique classique, la méthode consiste à utiliser un tableur.
Le système se compose alors des 3 équations suivantes tirées de (4.1c), (4.1b), et (4.1a) résolues dans l’ordre suivant.
La première équation vient de (4.1c) et d’après (5.1), permet de trouver par itérations la valeur de i1 par la fonction
« Cible ».
M *  0  i1
(5.1a)
La seconde équation vient de (4.1b). Sachant i1 déterminé par (5.1a) et i2 par (5.1) :
 mg

mg
 P*  0  p0 

P*
 po

puis W 
2
p0 par (4.1a)

(5.1b)
La dernière équation vient de (4.1a) et donne Tr :
 Tr

 T *  0  Tr  poT *

 po

(5.1c)
8
5.2 - Feuilles de données Entrées Sorties EXCEL
Une première feuille d’entrées-sorties (« ES » ) comporte :
- les données d’entrée : celles qui sont de conception et d’autres paramétrées dites « ajustables » comme , x1, x2 à
l’aide de touches à cliquer
- les données de sorties : obtenues par calculs après action « CALCUL ». Pour accélérer, estimer i1 et « RAZ » avant.
Type de données
ENTREE
NOM
masse avion
profil aile avant
profil aile arrière
Corde aile avant
Corde aile arrière
Ordonnée bord attaque aile 1
Ordonnée bord attaque aile 2
masse volumique
Cliquer pour
Surface avant
paramétrer
Surface arrière
accélération ┴ axe de vol
Entrées ajustables interinclinaison i2-i1
"
abscisse bord attaque aile 1
"
abscisse bord attaque aile 2
SORTIES
Force d'inertie = mf ; exemple f = 9,81 si vol horiz.
Equilibre :
Entreplan Horizontal Bdf aile 1 vers Batt aile 2
Moment M nul à
Corde totale
0,00049
Entreplan Vertical Bdf aile 1 vers Batt aile 2
près
Centrage en % CT
pression dynamique
Traction motrice mini
Vent relatif
Estimation de i1
Nombre de reynolds
i1 approché
Incidence Aile avant i1
10,00
Incidence Aile arrière i2
, puis cliquer :
Coefficient de portance aile avant
Coefficient de portance aile arrière
Coefficient de traînée aile avant
Coefficient de traînée aile avant
Sigma (S2 X2 / S1 X1)
Coefficient de Charge (Cz1 / Cz2)
Dérivée du moment de tangage M
Symbole
m
profil 1
profil 2
C1
C2
z1
z2
ro
S1
S2
g
450
72
407

x1
x2
mf
EH
CT
Ev
x
po
Tr
W
Re
i1
i2
Cz1
Cz2
Cx1
Cx2
sig
k ch
dM / di
Valeur
400,00
23112
23112
1,20
1,20
-0,90
-0,10
1,00
9,48
8,52
9,81
5,63
0,72
-0,93
3924,00
0,46
2,85
0,62
25,28%
386
240
100,0
Unité
kg
m
m
m
m
kg/m3
m2
m2
m/s2
°
m
m
N
m
m
m
sans
N/m2
N
km/h
2,3E+06
8,83
3,21
0,76
0,34
0,05
0,02
2,51
2,22
185,94
°
°
sans
sans
m.N/°
Les données de sorties sont calculées selon les formules di dessous ou extraites de la feuille « Calculs » qui retourne
notamment les (i1,T*, P*,M*, dM*/di) :
Nom
Force d'inertie
Entreplan Horizontal Bdf aile 1 vers Batt aile 2
Corde totale
Entreplan Vertical Bdf aile 1 vers Batt aile 2
Centrage en % CT
pression dynamique
Traction motrice mini
Vent relatif
Nombre de Reynolds calculé avec W en m/s
Incidence Aile arrière i2
Dérivée du moment de tangage M
Symbole
Fz
EH
CT
Ev
X
po
Tr
W
Re
i2
dM/di
Formule
mg
x1-x2-C1 cos( i1 /180 )
x1-x2+C2 cos( i2 /180 )
-(z1-z2+C1 sin( i1 /180 ))
x1/CT
(4.a) et W
po T*
Unité
N
m
m
m
Sans
N/m2
N
3,6 2mg / P *
Km/h
W C1/
i1 - 
po dM*/di
sans
°
m.N /°
9
5.3 - Feuille « Calculs »
Un cas de feuille de calcul est présenté en Annexe A. L’équilibre est obtenu lorsque M* = 0.
En pratique, un seuil est défini, et l’équilibre est atteint pour une incidence i1 = ieq telle que
 
M ieq  107
La macro lancée par le bouton « calcul » réalise des itérations pour obtenir cet équilibre : une ligne de calcul permet
d’extraire les variables utilisées pour les données de sorties, sauf dM/di. Pour ce calcul de la dérivée de M* , une seconde
ligne de calcul est utilisée au voisinage du point d’équilibre c’est à dire pour i1 = ieq – di . Cette ligne de calcul donne
M*( ieq -di). Connaissant M*(ieq) et M* (ieq – di), la dérivée de M* est calculée, selon une méthode des différences
finies, dans cette feuille « calculs » par :
 

M * ieq  M * ieq  di
 dM * 
 d  
di

 Eq

Puis, d’après 4.2.1 et la définition de M*, le coefficient dM/di présenté dans la feuille « E S » est :
 dMy 
 dM * 

  p0 

 d  Eq
 d  Eq
Cette feuille « calculs » contient donc un tableau obtenu avec les différentes relations. Ce tableau est écrit sur plusieurs
lignes correspondantes de i1-ndi à i1+ndi, avec n =1, 2 etc… de façon à pouvoir calculer les dérivées et tracer des
graphiques.
La ligne de l’état d’équilibre est celle correspondante à n = 0 détaillée ci dessous en transposée pour plus de lisibilité :
Symbole
i1
i2
p1
Cz1
Cx1
X1
Z1
p2
Cz2
Cx2
X2
Z2
M*
Formule
variable
i2 = i1 - 
polynôme p (profil 1, i1)
polynôme Cz (profil 1, i1)
polynôme Cx (profil 1, i1)
x1 - p1 C1 cos( i1 /180 )
z1 – p1 C1 sin( i1 /180)
polynôme p (profil 1, i2)
polynôme Cz (profil 1, i2)
polynôme Cx (profil 1, i2)
x2 – p2 C2 cos( i2 /180 )
z2 – p2 C2 sin( i2 /180 )
Sk Z k Cxk  X k Czk 
Les coefficients X…, Z.., C.. dépendent de i1 et i2
Abs(M*)
d(M*)/d(i)
Kch
Valeur absolue de M*
[M*(i1) – M*(i1-di) ] / di
Cellule cible
di fixé à 0,1 degré

P*
T*
Remarque
Cellule variable de cible
est une donnée d’entrée ajustable
p1 = distance B.Att. – Cp1 , Selon feuille « AILE AV »
Selon feuille « AILE AV »
Selon feuille « AILE AV »
p2 = distance B.Att. – Cp2 Selon feuille « AILE AR »
Selon feuille « AILE AR »
Selon feuille « AILE AR »
Cz1 Cz2
 X 2 S 2 X 1 S1
Sk Czk 
Sk Cxk 
10
5.4 - Feuille « Aile k »
Chacune de ces feuilles contient les données de profils nécessaires au calcul de Czk, Cxk et de la position du centre
de poussée en fonction de l’incidence ik.
Généralement, la littérature donne des coefficient simplifiés pour calculer par exemple la position du centre de
poussée p mais ceci ajoute des incertitudes en supposant que p puisse s’exprimer linéairement en fonction de 1/Cz. Ici,
des polynômes sont calculés à partir des données de références tabulées de manière à coller au plus près des résultats de
la bibliographie.
Exemple :
NACA
Données de référence
23012
Re = 3 040 000
alpha
p
Cz
Cx
1,6
20,00%
1,06%
26,2%
4,3
40,00%
1,75%
25,2%
6,9
60,00%
2,87%
25,2%
9,6
80,00%
4,44%
25,1%
12,3
100,00%
6,56%
25,2%
14,9
120,00%
9,37%
25,3%
17,6
140,00%
13,38%
25,4%
18,4
143,70%
14,36%
25,4%
Re = 3 040 000
NACA 23012
140%
Cz
35%
p, Cx
2
y = 9,376E-05x - 2,166E-03x + 2,629E-01
2
R = 7,578E-01
120%
30%
100%
25%
80%
20%
60%
Cz
p
Cx
y = -9,515E-05x2 + 7,625E-02x + 7,805E-02
15%
2
R = 9,999E-01
Polynomial (Cx)
40%
20%
y = 3,715E-04x2 + 6,255E-04x + 5,126E-03
10%
Polynomial (p)
5%
Polynomial (Cz)
2
R = 9,969E-01
0%
0%
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 alpha (°)
Polynômes type ax2 + b x + c
p_calc
Cz_calc
Cx_calc
a
9,376E-05
-9,515E-05
3,715E-04
b
-2,166E-03
7,625E-02
6,255E-04
c
2,629E-01
7,805E-02
5,126E-03
Pour valider les calculs il faut utiliser :
- les graphiques : pour comparer la validité des points calculés par le polynôme avec les données de profils. Ceci
permet d’écarter les solutions où les données calculées sont hors du domaine de référence, par exemple un centre de
poussée calculée à 100% de la corde ou un Cz calculé pour une incidence se trouvant en dehors de l’intervalle d’incidence
du tableau de données de référence.
- le nombre de Reynolds « Re » calculé : il permet d’évaluer l’incertitude sur les calculs. Si le Re est trop écarté du
Reynolds de référence porté dans ces feuilles, il faudra inclure une correction ou copier des données de référence plus
proches des conditions de vol calculées.
11
6 - RESULTATS DES CALCULS
L’annexe B présente le tableau des données d’entrées et de sorties des configurations étudiées. De ces valeurs sont
extraites ci-dessous les plus caractéristiques pour comparer les stabilités.
6.1 - Configuration Pou du Ciel
6.1.1 - TWIN avec deux NACA 23012
Centrage X
Vitesse W
Sig
kch
dM /di
25,1%
25,0%
25,0%
29,9%
29,9%
29,8%
80
100
140
80
100
140
2,6
2,7
2,8
1,8
1,8
1,8
2,3
2,4
2,6
1,6
1,7
1,7
97,2
165,8
358,2
52,7
95,8
219,0
Sensibilité à la vitesse : ni sig, ni kch ne sont sensibles à la vitesse, contrairement à dm/di qui accuse des
variations importantes du simple au triple a minima quel que soit le centrage lorsque W passe de 80 à 140 km/h.
Sensibilité au centrage : lorsque X avance de 30% à 25%, sig et kch augmentent d’environ 30 à 50 % tandis
que dM/di augmente au minimum de 80% à 80km/h, 70% à 100 et 60% à 140 km/h.
Pour cette configuration de tandem à deux profils 23012, lorsque la vitesse augmente seul le coefficient dM/dI révèle
une amélioration nette de la stabilité ; lorsque le centrage avance dM/di révèle aussi plus efficacement l’amélioration de la
stabilité que kch et sig.
500
10
dM/di
TWIN 23012
kch , sig
450
9
400
8
350
7
300
6
250
5
dM/di
200
4
150
3
kch
sig
100
2
50
1
0
0
80,0
CLAV
Bi_23012
100,0
CLAV
140,0
80,0
CLAR
100,0
140,0
CLAR
12
6.1.2 - TWIN avec deux NACA 23112
Centrage X
Vitesse W
Sig
kch
dM /di
25,3%
25,3%
25,3%
29,9%
29,9%
29,8%
80
100
140
80
100
140
2,5
2,5
2,5
1,7
1,7
1,7
2,2
2,2
2,2
1,6
1,6
1,5
113,1
185,9
368,3
66,8
111,6
220,6
Sensibilité à la vitesse : ni sig, ni kch ne sont sensibles à la vitesse, contrairement à dm/di qui accuse des variations
importantes du simple au triple a minima quelque soit le centrage lorsque W passe de 80 à 140 km/h.
Sensibilité au centrage : lorsque le centrage avance de 30% à 25%, sig et kch augmentent d’environ 40 à 50 % tandis que
dM/di augmente de 70% à 80, 100, et 140 km/h.
Pour cette configuration de tandem à deux profils 23112, lorsque la vitesse augmente seul le coefficient dM/dI révèle une
amélioration nette de la stabilité ; lorsque le centrage avance dM/di révèle aussi plus efficacement l’amélioration de la
stabilité que kch et sig. La figure suivante présente de façon synthétique les données de sorties :
500
10
dM/di
kch et sig
9
450
8
400
7
350
6
300
5
250
4
dM/di
200
3
sig
150
kch
2
100
1
50
0
80,0
CLAV
Bi_23112
100,0
CLAV
140,0
80,0
CLAR
100,0
140,0
CLAR
13
6.1.3 - TWIN avec deux CLARK Y
Centrage X
25,3%
25,3%
25,3%
29,8%
29,8%
29,8%
Vitesse W
80
100
140
80
100
140
Sig
kch
dM /di
3,3
3,9
6,2
2,1
2,6
3,7
2,7
3,4
5,2
1,9
2,4
3,3
153,2
244,7
647,4
73,2
150,7
478,3
Sensibilité à la vitesse : sig et kch augmentent sensiblement de 20% à 90% avec la vitesse tandis que dm/di est beaucoup
plus sensible encore en augmentant au moins d’un facteur 4 entre 80 et 140 km/h
Sensibilité au centrage : lorsque le centrage avance de 30% à 25%, sig et kch augmentent d’environ 40 à 70 % tandis que
dM/di augmente de 210% à 80 km/h, 60% à 100 et 40% à 140 km/h.
Pour cette configuration de tandem à deux profils CLARKY, lorsque la vitesse augmente le coefficient dM/dI augmente
d’un facteur 4 tandis que kch et sig augmentent moins. Lorsque le centrage avance de 30% à 25%, les trois coefficients
montrent une stabilité croissante de plus de 50%. La figure suivante présente de façon synthétique les données de sorties :
1000
10
dM/di
kch et sig
TWIN CLARKY
900
9
800
8
dM/di
700
7
600
6
500
5
400
4
300
3
sig
kch
200
2
100
1
0
0
80,0
CLAV
Bi_Clarky
100,0
CLAV
140,0
80,0
CLAR
100,0
140,0
CLAR
14
6.2 - Configuration AVION
Menestrel
Centrage X
7,59%
7,59%
7,59%
9,64%
9,64%
9,64%
Centrage x1 / C1
22,50%
22,50%
22,50%
28,57%
28,57%
28,57%
Vitesse W
100
140
160
100
140
160
Sig
18,5
10,1
9,0
11,0
21,7
30,0
kch
7,5
7,8
7,2
66,0
67,9
213,8
dM /di
176,0
346,1
463,5
176,4
313,9
411,5
Sensibilité à la vitesse : sig et kch varient avec la vitesse sans tendance évidente tandis que dm/di augmente au moins d’un
facteur 2 de 100 à 140 km/h.
Sensibilité au centrage : lorsque le centrage x1/C1 avance de 30% à 25%, sig et kch diminuent tandis que dM/di bouge
peu à 100 km/h puis augmente à 140 et à 160 km/h
Pour cette configuration avion, lorsque la vitesse augmente le coefficient dM/dI traduit une meilleure stabilité lorsque la
vitesse augmente ou que le centrage avance. Ceci est un résultat déjà connu de l’ expérience réelle. Les autres coefficients
ne permettent pas d’apprécier la tendance à l’amélioration de la stabilité.
La figure suivante présente de façon synthétique les données de sorties :
1000
100
dM/di
kch et sig
MENESTREL
900
90
800
80
kch
700
70
600
60
500
50
dM/di
400
40
300
30
sig
200
20
100
10
0
0
100,0
CLAV
Men
140,0
CLAV
160,0
100,0
CLAR
140,0
160,0
CLAR
15
7 - SYNTHESE
7.1 - Quel coefficient choisir ?
D’après les résultants précédents, dM/dI :
- est le coefficient le plus sensible aux variations de vitesse et de centrage
- augmente lorsque le centrage avance
De plus (cf remarque §4.21), ce mode de calcul de la stabilité est le seul qui prennent en compte l’influence des
incidences :
- sur la position des centres de poussée, alors que kch n’est pas sensible à ceci
- et sur les coefficients de portance, alors que sig n’est pas sensible à ceci
En conséquence, le calcul de dM/dI est le plus efficace pour évaluer la stabilité dans la mesure où :
- il est sensible à des variables communes aux deux autres coefficients,
- les différentes fonctions Cz(), Cx () et p() sont connues avec des précisions correctes
7.2 - Comparer les stabilités d’une configuration à l’autre
En ne gardant que dM/di, le graphique suivant présente à 100 km/h les stabilités des deux configurations pou-du-ciel
d’une part et avion d’autre part et à l’intérieur de la configuration pou, celles des trois modèles.
300
Pour W = 100 km/h, Dérivée du moment de tangage par rapport à l'incidence : dM / di
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
100,0
Bi_23012
CLAV
100,0
Bi_23112
100,0
Bi_Clarky
CLAV
100,0
Men
100,0
Bi_23012
CLAR
100,0
Bi_23112
100,0
Bi_Clarky
100,0
Men
CLAR
A 100 km/h :
Le centrage influence peu la stabilité de l’avion. Mais la stabilité du pou du ciel décroît lorsque le centrage recule, ce
qui est bien connu.
Coté profils d’ailes, en pou-du-ciel, la stabilité est croissante de TWIN 23012 à TWIN 23112, puis à TWIN Clark Y . Ce
dernier est même plus stable que l’avion en centrage avant.
16
8 - CONCLUSION
De manière à réduire les incertitudes dans l’évaluation des performances de stabilité des aéronefs une méthode
numérique et systématique a été développée : elle consiste à calculer la dérivée du couple par rapport à l’incidence au
voisinage du point d’équilibre.
La voie classique du développement des fonctions de manière « analytique » n’est conservée que pour les
caractéristiques aérodynamiques des profils d’ailes Cz(), Cx () et p(), le reste du calcul est différentiel de type « aux
différences finies ». Cette méthode numérique a donc été développée sur tableur EXCEL :
- calcul par itération du point d’équilibre
- puis calcul de dérivée du couple de tangage par rapport à l’incidence, au voisinage de ce point d’équilibre.
Une configuration pou du ciel avec 3 variantes de profils et une configuration avion ont été examinées pour 3
vitesses, et des conditions de centrage extrêmes.
Les résultats obtenus ont permis de comparer la dérivée du couple de tangage « dM/di » avec d’autres coefficients de
stabilité classiques comme le rapport des charges alaires (kch) et le rapport des « volumes de stab » (Ces deux
coefficients ne permettent pas d’apprécier dans tous les cas la tendance à l’amélioration de la stabilité, tandis que dM/dI
permettra à un constructeur amateur de comparer rapidement l’influence sur la stabilité du changement de profil de l’aile
arrière. Ainsi, les valeurs de dM/di montrent que:
 Pour le pou du ciel la stabilité est croissante avec deux ailes passant respectivement du profil NACA 23012,
au NACA 23112 puis au clarkY quel que soit le centrage ou la vitesse.
 En centrage arrière, l’avion examiné ici reste le plus stable.
Les caractéristiques aérodynamiques des profils sont implicites dans dM/di : ce qui explique sans doute pourquoi ce
coefficient est le plus efficace pour évaluer l’influence du choix des profils, du centrage et autres données sur la stabilité
Ces résultats sont à retenir avec leurs hypothèses, notamment : la traînée du fuselage n’est pas prise en compte et les
deux ailes sont rigidement fixées au fuselage.
En conclusion, la méthode a permis de mettre en évidence que le calcul de dM/dI est la méthode la plus efficace pour
évaluer la stabilité dans la mesure où :
- dM/dI est sensible à des variables communes aux deux autres coefficients,
- les différentes fonctions Cz(), Cx () et p() sont connues avec des précisions correctes
17
ANNEXE A
TABLEAU DE CALCUL DE LA FEUILLE « CALCULS »
Cas du Bi_23112 à 100 km/h
n
5
4
3
2
1
1
1
0
1
1
1
2
3
4
5
i1
7,13
7,63
8,03
8,33
8,53
8,63
8,73
8,83
8,93
9,03
9,13
9,33
9,63
10,03
10,53
i2
1,51
2,01
2,41
2,71
2,91
3,01
3,11
3,21
3,31
3,41
3,51
3,71
4,01
4,41
4,91
p1
23,912%
23,986%
24,044%
24,086%
24,114%
24,128%
24,142%
24,156%
24,169%
24,183%
24,196%
24,222%
24,262%
24,313%
24,374%
Cz1
64,117%
67,747%
70,625%
72,768%
74,190%
74,899%
75,606%
76,312%
77,016%
77,719%
78,421%
79,819%
81,907%
84,669%
88,090%
Cx1
3,796%
4,077%
4,310%
4,489%
4,611%
4,672%
4,734%
4,796%
4,859%
4,922%
4,986%
5,114%
5,310%
5,577%
5,921%
p2
22,930%
23,028%
23,105%
23,162%
23,199%
23,218%
23,237%
23,255%
23,273%
23,292%
23,310%
23,346%
23,400%
23,470%
23,556%
Cz2
20,804%
24,838%
28,040%
30,426%
32,010%
32,799%
33,588%
34,374%
35,160%
35,943%
36,726%
38,286%
40,616%
43,703%
47,529%
cellule variable de la macro cible
cellule cible
détail de la macro liée au bouton calcul
Sub calcul()
Sheets("Calculs").Select
ActiveWindow.Panes(1).Activate
Rows("13:13").Select
Range("o13").GoalSeek Goal:=0.0000001, ChangingCell:=Range("C13")
Sheets("E S").Select
Range("A1").Select
End Sub
Cx2
1,370%
1,531%
1,667%
1,773%
1,847%
1,884%
1,922%
1,960%
1,998%
2,037%
2,077%
2,157%
2,280%
2,451%
2,674%
X1
0,435277
0,434716
0,434303
0,434014
0,433831
0,433743
0,433656
0,433572
0,433489
0,433409
0,43333
0,433179
0,432967
0,432712
0,432438
X2
-1,20506
-1,20617
-1,20702
-1,20763
-1,20803
-1,20823
-1,20843
-1,20862
-1,20882
-1,20901
-1,2092
-1,20957
-1,21011
-1,21081
-1,21163
Z1
-0,86
-0,86
-0,86
-0,86
-0,86
-0,86
-0,86
-0,86
-0,85
-0,85
-0,85
-0,85
-0,85
-0,85
-0,85
Z2
-0,09
-0,09
-0,09
-0,09
-0,09
-0,09
-0,08
-0,08
-0,08
-0,08
-0,08
-0,08
-0,08
-0,08
-0,08
M*
-8,317E-01
-5,843E-01
-3,880E-01
-2,418E-01
-1,448E-01
-9,642E-02
-4,816E-02
1,000E-07
4,806E-02
9,602E-02
1,439E-01
2,393E-01
3,816E-01
5,699E-01
8,028E-01
Abs(M*) 100d(M*)/d(i1)
8,317E-01
49,952
5,843E-01
49,477
3,880E-01
49,070
2,418E-01
48,742
1,448E-01
48,503
9,642E-02
48,356
4,816E-02
48,258
1,000E-07
48,158
4,806E-02
48,058
9,602E-02
47,958
1,439E-01
47,856
2,393E-01
47,702
3,816E-01
47,442
5,699E-01
47,069
8,028E-01
46,577
Kch
3,08
2,73
2,52
2,39
2,32
2,28
2,25
2,22
2,19
2,16
2,14
2,08
2,02
1,94
1,85
sigma
2,49
2,49
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,51
2,51
2,51
2,51
2,51
2,51
2,51
2,52
P*
7,85
8,54
9,08
9,49
9,76
9,89
10,03
10,16
10,30
10,43
10,56
10,83
11,23
11,75
12,40
T*
-0,4766
-0,5169
-0,5506
-0,5767
-0,5944
-0,6034
-0,6125
-0,6217
-0,6309
-0,6402
-0,6496
-0,6686
-0,6977
-0,7375
-0,7891
ANNEXE B
TABLEAU DES DONNEES ENTREES ET DE SORTIES des CONFIGURATIONS ETUDIEES
MODELE
profil 1
profil 2
CENTRAGE
z1
z2
i2-i1
x1
x2
mg
Ev
x
po
Tr
W
Re
i1
i2
Cz1
Cz2
Cx1
Cx2
sig
k ch
Bi_23012
23012,0
23012,0
CLAV
400 1,20 1,20
m
C1
C2
-0,90
-0,10
9,48 8,52
S1
S2
9,08
0,710
-0,930
3924
0,48 2,83
EH
CT
0,49
25,06%
246,7
276,6
80
1,85E+06
15,03
5,95
1,20E+00
5,29E-01
9,84E-02
2,20E-02
2,65
2,27
dM / di
97,19
Bi_23012
23012,0
23012,0
CLAV
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
6,10
0,710
-0,930
3924
0,46 2,84
0,61
25,02%
385,5
195,0 100
2,31E+06
9,34
3,24
7,82E-01
3,24E-01
4,34E-02
1,11E-02
2,69
2,41
165,78
Bi_23012
23012,0
23012,0
CLAV
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
3,25
0,710
-0,930
3924
0,44 2,84
0,71
25,00%
756,3
145,5 140
3,24E+06
4,31
1,06
4,05E-01
1,59E-01
1,47E-02
6,20E-03
2,76
2,55
358,20
Bi_23012
23012,0
23012,0
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
5,38
0,850
-0,800
3924
0,48 2,84
0,53
29,94%
247,1
253,6
80
1,85E+06
13,24
7,87
1,07E+00
6,72E-01
7,86E-02
3,30E-02
1,77
1,59
52,70
Bi_23012
23012,0
23012,0
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
3,71
0,850
-0,800
3924
0,46 2,85
0,63
29,86%
385,8
179,6 100
2,31E+06
8,20
4,49
6,97E-01
4,18E-01
3,52E-02
1,54E-02
1,80
1,67
95,76
Bi_23012
23012,0
23012,0
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
2,02
0,850
-0,800
3924
0,45 2,85
0,72
29,83%
754,9
137,2 140
3,24E+06
3,73
1,71
3,61E-01
2,08E-01
1,26E-02
7,28E-03
1,84
1,73
218,99
Bi_Clarky
CLARKY
CLARKY
CLAV
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
13,47
0,720
-0,930
3924
0,49 2,85
0,50
25,26%
247,1
348,1
80
1,85E+06
14,38
0,90
1,25E+00
4,70E-01
1,29E-01
2,14E-02
3,25
2,67
153,18
Bi_Clarky
CLARKY
CLARKY
CLAV
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
8,19
0,720
-0,930
3924
0,46 2,85
0,67
25,27%
385,8
232,3 100
2,31E+06
6,37
-1,82
8,48E-01
2,50E-01
5,12E-02
1,37E-02
3,91
3,39
244,67
Bi_Clarky
CLARKY
CLARKY
CLAV
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
4,51
0,720
-0,930
3924
0,45 2,85
0,78
25,28%
757,1
224,5 140
3,24E+06
0,85
-3,66
4,66E-01
9,02E-02
2,12E-02
1,12E-02
6,15
5,17
647,41
Bi_Clarky
CLARKY
CLARKY
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
8,90
0,850
-0,800
3924
0,47 2,85
0,56
29,84%
247,2
290,0
80
1,85E+06
11,60
2,70
1,13E+00
6,03E-01
9,76E-02
2,91E-02
2,14
1,88
73,16
Bi_Clarky
CLARKY
CLARKY
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
6,16
0,850
-0,800
3924
0,46 2,85
0,69
29,83%
385,6
211,7 100
2,31E+06
5,27
-0,88
7,79E-01
3,28E-01
4,37E-02
1,58E-02
2,64
2,38
150,69
Bi_Clarky
CLARKY
CLARKY
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
3,59
0,850
-0,800
3924
0,45 2,85
0,79
29,84%
755,6
215,2 140
3,24E+06
0,39
-3,20
4,30E-01
1,31E-01
1,96E-02
1,16E-02
3,69
3,27
478,28
Bi_23112
23112,0
23112,0
CLAV
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
9,41
0,720
-0,930
3924
0,49 2,84
0,48
25,32%
247,1
292,4
80
1,85E+06
15,24
5,83
1,19E+00
5,45E-01
9,68E-02
3,11E-02
2,52
2,18
113,11
Bi_23112
23112,0
23112,0
CLAV
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
5,63
0,720
-0,930
3924
0,46 2,85
0,62
25,28%
386,1
240,0 100
2,32E+06
8,83
3,21
7,63E-01
3,44E-01
4,80E-02
1,96E-02
2,51
2,22
185,94
Bi_23112
23112,0
23112,0
CLAV
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
2,66
0,720
-0,930
3924
0,45 2,85
0,72
25,27%
754,4
237,4 140
3,24E+06
3,79
1,13
3,89E-01
1,77E-01
2,19E-02
1,26E-02
2,46
2,20
368,30
Bi_23112
23112,0
23112,0
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
5,58
0,850
-0,800
3924
0,48 2,84
0,52
29,94%
247,1
273,9
80
1,85E+06
13,27
7,70
1,06E+00
6,82E-01
7,99E-02
4,11E-02
1,74
1,56
66,79
Bi_23112
23112,0
23112,0
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
3,31
0,850
-0,800
3924
0,46 2,85
0,64
29,86%
386,4
230,5 100
2,32E+06
7,68
4,37
6,81E-01
4,34E-01
4,11E-02
2,43E-02
1,72
1,57
111,58
Bi_23112
23112,0
23112,0
CLAR
400 1,20 1,20
-0,90
-0,10
9,48 8,52
1,54
0,850
-0,800
3924
0,45 2,85
0,73
29,83%
755,2
233,5 140
3,24E+06
3,25
1,71
3,47E-01
2,24E-01
1,97E-02
1,43E-02
1,69
1,55
220,64
Men
Nac43013
Symétrique
CLAV
400 1,40 0,74
0,35
-0,18
9,80 1,75
14,97
0,315
-3,095
3924
2,05 4,15
-0,85
7,59%
385,9
445,9 100
2,70E+06
13,20
-1,77
1,06E+00
-1,42E-01
1,15E-01
1,42E-02
18,47
7,51
176,03
Men
Nac43013
Symétrique
CLAV
400 1,40 0,74
0,35
-0,18
9,80 1,75
3,09
0,315
-3,095
3924
2,01 4,15
-0,59
7,59%
754,6
212,6 140
3,78E+06
2,32
-0,77
5,43E-01
-7,00E-02
2,73E-02
8,25E-03
10,15
7,76
346,13
Men
Nac43013
Symétrique
CLAV
400 1,40 0,74
0,35
-0,18
9,80 1,75
1,00
0,315
-3,095
3924
2,01 4,15
-0,54
7,59%
989,6
202,9 160
4,33E+06
0,40
-0,60
4,15E-01
-5,75E-02
1,96E-02
7,26E-03
8,99
7,21
463,45
Men
Nac43013
Symétrique
CLAR
400 1,40 0,74
0,35
-0,18
9,80 1,75
12,00
0,400
-3,010
3924
2,04 4,15
-0,83
9,64%
385,7
401,3 100
2,70E+06
12,36
0,36
1,04E+00
1,57E-02
1,06E-01
1,74E-03
10,96
65,96
176,37
Men
Nac43013
Symétrique
CLAR
400 1,40 0,74
0,35
-0,18
9,80 1,75
1,83
0,400
-3,010
3924
2,01 4,15
-0,58
9,64%
755,4
197,4 140
3,78E+06
2,09
0,26
5,29E-01
7,78E-03
2,63E-02
2,32E-03
21,71
67,93
313,91
Men
Nac43013
Symétrique
CLAR
400 1,40 0,74
0,35
-0,18
9,80 1,75
0,06
0,400
-3,010
3924
2,01 4,15
-0,54
9,64%
990,5
190,2 160
4,33E+06
0,24
0,19
4,04E-01
1,89E-03
1,91E-02
2,75E-03
29,96
213,81
411,53
19