CIRCUIT RLC SERIE I°/ REGIMES DE DECHARGE D`UN

CIRCUIT RLC SERIE
I°/ REGIMES DE DECHARGE D’UN CONDENSATEUR
1) Régime de décharge pseudopériodique
Lorsqu’un condensateur se décharge dans un circuit RL,
on observe sur les enregistrements que la tension u passe
par un maximum à intervalles de temps égaux. Cependant,
ce maximum diminue au cours du temps : le circuit RLC
est le siège d’oscillations libres amorties : on dit alors
que le régime est pseudopériodique.
L’amortissement est d’autant plus important que la
résistance R du circuit est grande.
La pseudo période T est la durée séparant, par exemple,
deux passages par zéro dans le même sens.
2) Régime apériodique
Pour de grandes valeurs de la résistance R du circuit, il
n’y a pas d’oscillations : le régime de décharge est alors
dit apériodique.
3) Régime périodique
Lorsque la résistance globale du circuit est négligeable, l’amortissement devient nul : les
oscillation sont non amorties, le régime est alors périodique.
En pratique, il est impossible d’obtenir un régime périodique, la résistance n’étant jamais tout
à fait négligeable
II°/ ETUDE THEORIQUE D’UN REGIME PERIODIQUE
1) Equation différentielle
D’après la loi d’additivité des tensions :
uC  uR  ub  0
d 2u
di
d 2q
 L 2  LC 2C
dt
dt
dt
du
dq
 RC C
et uR  Ri  R
dt
dt
Dans l’hypothèse où la résistance globale du circuit est négligeable, on a alors : et uR  0
On a : ub  L
D’où on a : LC
d 2uC
 uC  0
dt 2
Divisons par LC, cela donne :
d 2uC
1

uC  0
2
dt
LC
2) Solution de l’équation différentielle
L’équation
y   cos

différentielle
ax  

de
la
forme :
y ''  ay a
une
solution
de
la
forme :
 1

 t    .
D’où ici : uC   cos 
 LC

  représente la plus grande valeur que peut prendre uC : c'est-à-dire l’amplitude
 Pour des conditions initiales telles que à t  0 : uC  E et i  0 ,   0 .
1
La solution de l’équation différentielle est alors : uC  E cos
t
LC
3) Expression de l’intensité i dans le circuit
De l’équation précédente, on déduit l’expression de l’intensité i en fonction du temps dans le
du
duC
dq
E
 1

 C C et
circuit. En effet : i 

sin 
t 
dt
dt
dt
LC
 LC 
CE
 1

D’où : i 
sin 
t 
LC
 LC 
4) Période Propre T0
La période propre du circuit vaut :
T0  2 LC
Avec : - L : inductance de la bobine en Henrys (H)
- C : capacité du condensateur en Farads (F)
III°/ ASPECT ENERGETIQUE
1) Energie emmagasinée dans un condensateur
On démontre que :
1
EC  CuC 2
2
2) Energie emmagasinée dans une bobine
On démontre que :
1
Eb  Li 2
2
3) Energie emmagasinée dans un circuit RLC à un moment donné
A chaque instant t, l’énergie emmagasinée dans le circuit RLC a pour valeur :
E  t   EC  t   Eb  t 
1
1
 Cuc 2  Li 2
2
2
Remarque : un conducteur ohmique n’emmagasine aucune énergie : il ne fait que convertir
l’énergie électrique en énergie thermique.
4) Evolution de l’énergie au cours du temps
 En régime pseudopériodique
Au cours du temps, EC et Eb évoluent de façon périodique mais avec une diminution
d’amplitude. L’énergie totale E  EC  Eb décroît donc au cours du temps pendant la décharge
du condensateur. Cette diminution de E s’explique par une conversion partielle de l’énergiedu
système en chaleur à chaque oscillation.
En régime pseudopériodique, la décharge est oscillante : cela signifie qu’il y a transfert
d’énergie du condensateur vers la bobine, puis de la bobine vers le condensateur et ainsi de
suite. Ainsi, quand EC est maximum, Eb est nulle et vice versa.
 En régime apériodique
En régime apériodique, il y a seulement transfert du condensateur vers la bobine avec
dissipation de l’énergie par effet Joule dans le conducteur ohmique : l’énergie du
condensateur décroît au cours du temps
 En régime périodique
En régime périodique, l’amortissement est négligeable, ainsi que la résistance globale du
circuit et donc la dissipation d’énergie par effet Joule est négligeable. Il y a donc transfert
continuel d’énergie entre le condensateur et la bobine : l’énergie totale est constante (elle se
conserve)
5) Entretien des oscillations d’un circuit RLC
Pour compenser les pertes d’énergie par effet Joule, il suffit d’adjoindre au circuit RLC un
générateur particulier qui fournit une énergie équivalente aux pertes par effet Joule.
En effet, la puissance perdue par effet Joule est de : RT i 2 , avec RT résistance totale du circuit.
Pour compenser ces pertes, le générateur doit donc fournir Pg  RT i 2 . Or l’énergie fournie par
un générateur est de Pg  u g i
Donc : ug i  RT i 2  ug  RT i
Les oscillations entretenues sont sinusoïdales. Leur période T est égale à la période propre
T0 des oscillations du circuit RLC d’amortissement négligeable : T  T0  2 LC
L’énergie totale est donc constante, les pertes par effet Joule étant intégralement compensées
à chaque instant par la source d’énergie.