concept de couche limite

ENSAM – C.E.R. d’Angers Professeur : M. AMBARI
DODÉ Stéphane
HARDY Sylvain
LECADRE Cédric
LOISEAU Loïc
PINGEAUD Rodolphe
PITON Benoît
ROBERT Félicien
ROCHE Jean Jérôme
Projet de
Mécanique des Fluides
Thème :
Couches limites

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I- Rappel sur le nombre de Reynolds :
Osborne Reynolds, ingénieur anglais né à Belfast (Irlande) en 1842 et mort à Somerset
(Angleterre) en 1912.
Suite des études expérimentales sur divers types d'écoulements, il introduisit un paramètre
sans dimension (Re) qui permet de comparer les transferts d'impulsion du fluide dus aux
mouvements convectifs à ceux dus aux processus de diffusion.
La valeur de ce paramètre indique si l'écoulement du fluide est laminaire ou turbulent. Il
énonça une loi de similitude : "Deux écoulements de même géométrie qui possèdent le même
nombre de Reynolds sont semblables".
Il est le rapport de la force d'inertie sur la force de viscosité. Un nombre de Reynolds peu
élevé indique que les forces de viscosité prédominent. Un nombre de Reynolds élevé indique
que les forces d'inertie dominent le mouvement.
Re = Vmoy D / 
Re = Vmoy D / 
  : masse volumique, en kg/m3
 Vmoy : vitesse moyenne de l'eau, en m/s
 D : diamètre interne de la conduite ou hauteur d'eau dans le canal, en m
  : viscosité dynamique, en Pascal.seconde (Pa.s)
  : viscosité cinématique, en m²/s
Exploitation du nombre de Reynolds :
Si dans une conduite,
 Re 2000 : régime d'écoulement laminaire,
 2000 < Re 3000 : régime d'écoulement transitoire,
 Re  3000 : régime d'écoulement turbulent,
Si dans un canal (écoulement par tranches) Re > 500, on est en régime turbulent et pour Re £
500 en régime laminaire.

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II- concept de couche limite
2.1 Approche historique.
La faible valeur du terme de viscosité pour les fluides usuels et la bonne concordance
loin des obstacles, entre les écoulements en fluide parfait et les écoulements réel, ont conduit
Prandtl à envisager en 1904 l’hypothèse suivante : dans un écoulement suffisamment rapide
ou suffisamment étendu (nombre de Reynolds élevé), les forces de viscosités ne jouent que
dans un très petit domaine au voisinage des surfaces fixes qui limitent l’écoulement. Sur ces
surfaces fixes, la vitesse du fluide est nulle. A l’extérieur du domaine appelé couche limite,
les vitesses du fluide sont celles de l’écoulement en fluide parfait qui ne tient pas compte des
forces de viscosités. Ainsi en dehors de la couche limite, l’écoulement est l’écoulement du
fluide parfait, mais les actions exercées par le fluide sur les obstacles dépendent, elles,
essentiellement de la couche limite.
2.2 Description de l’écoulement au voisinage d’une paroi.
L’approche pratique de la couche limite peut se faire de la façon suivante : on
considère une plaque plane et l’écoulement d’un fluide visqueux parallèlement à cette plaque.
Avant que le fluide n’atteigne la plaque, celui-ci est la vitesse uniforme U.
Lorsque le fluide atteint la plaque, la condition de vitesse nulle fait qu’il se crée de
grands efforts tangentiels qui retardent une couche de plus en plus épaisse de fluide comme
cela est représenté sur le schéma ci-dessous.
Description de l’écoulement au voisinage d’une paroi.

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Ainsi, il existe donc entre la plaque et la zone où le fluide peut être considéré comme
libre, une zone dans laquelle la vitesse varie progressivement depuis 0 jusqu’à la vitesse du
fluide libre. Dans cette zone, le gradient de vitesse est élevé et les forces de viscosités sont
prépondérantes. Cette zone est appelée « couche limite ».
Cette couche limite est fonction du nombre de Reynolds, c'est-à-dire qu’une
augmentation du nombre de Reynolds induit une diminution des forces de viscosités et donc
une diminution de la couche limite.
Conventionnellement, on définit son épaisseur δ à l’endroit où la vitesse atteint 99%
de la vitesse maxi de l’écoulement.
2.3- Facteurs déterminant la couche limite
Pour la recherche de ces facteurs, il faut distinguer deux cas :
- Sous l’hypothèse d’un fluide parfait
- Pour un fluide réel
a. Cas d’un fluide parfait
Si on fait l’hypothèse que le fluide est parfait, on néglige le frottement entre le fluide et
l’obstacle : on se situe dans un fluide libre en n’importe quel point de l’écoulement. Il n’y a
donc pas de couche limite.
La vitesse du fluide ne dépend donc que de la vitesse du fluide à l’infini (U) et de la
géométrie de l’obstacle. Pour définir cette surface on utilise la courbure, noté : ρ.
b. Cas d’un fluide réel
Lorsqu’on considère un fluide réel, il faut tenir compte de sa viscosité, noté : μ. On
distingue alors deux zones : l’écoulement en fluide libre et la couche limite.
A l’intérieur du fluide libre, on se trouve dans le même cas que pour un fluide parfait.
A l’intérieur de la couche limite, la vitesse du fluide est fonction de :
- la géométrie de l’obstacle
- la position du point considéré (distance sur l’obstacle et la hauteur par rapport à la
surface
- la vitesse du fluide à l’infini
- la nature du fluide (viscosité, masse volumique)
U(x)
U(x)
U

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Notation :
- La distance du point sur l’obstacle est notée : x
- La hauteur par rapport à l’obstacle est notée : y
- La limite de la couche limite suivant cet axe est appelé : δ.
2.3- Etude du décollement
Avant toute chose, il faut savoir que le phénomène de décollement est encore mal connu
en écoulement tridimensionnel et instationnaire.
a- Ecoulement de la couche limite
L’écoulement à l’intérieur de la couche limite peut se faire de deux façons :
- De façon laminaire : la trajectoire des particules est stable et régulière produisant des
couches de fluide contiguës qui glissent les unes par rapport aux autres et ne se
mélangent pas.
- De façon turbulente : l’écoulement est alors instationnaire et irrégulier. La vitesse, la
pression, etc, sont des variables aléatoires autour d’une valeur moyenne.
Valeur moyenne
Variable aléatoire par rapport
au temps
Fluide libre
Couche limite