D3 – Quel est le mouvement d`un solide en chute dans l`air

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Introduction à la problématique de l’activité
On montre aux élèves la chute dans l'air d'un objet familier léger : par exemple, une feuille de
papier. On constate que son mouvement est complexe (trajectoire du centre d’inertie non
rectiligne, rotations autour du centre d’inertie, déformations, etc.). Visiblement, l'air intervient
fortement dans le mouvement : une analyse des interactions concernant la feuille de papier en
chute montre que celle-ci est soumise, outre l'action de la pesanteur, à des frottements de la part
de l'air.
On annonce alors aux élèves que l’objectif des séances relatives à l’étude des chutes d’objets dans
les fluides est de modéliser les frottements subis par ces objets de la part des fluides dans lequel
ils tombent.
La question posée aux élèves est alors la suivante :
« À votre avis, est-il toujours possible de modéliser ces frottements par une force unique ? Si
oui, quels en sont les caractéristiques ? Sinon, pourquoi ? »
La discussion a pour but de montrer aux élèves que les frottements – ici de l'air – sur un objet en
chute ne peuvent, en règle générale, être représentés par une force unique f de direction
constante que si l'objet a un mouvement de translation rectiligne.
On peut vérifier, sur différents exemples d’objets légers en chute, que ceci n'est en général pas le
cas ; de plus, pour une feuille de papier par exemple, le mouvement s'accompagne de
déformations.
On précise alors aux élèves que, pour réaliser une modélisation simple des frottements de l’air,
nous devrons construire une expérience s’appuyant sur la chute d'objets bien particuliers, dont la
forme a été choisie afin de pouvoir obtenir des mouvements de translation rectilignes verticaux, et
que, pour cette raison, nous utilisons ici comme objet en chute un ensemble de quatre ballons de
baudruche attachés et plus ou moins lesté1.
Étude expérimentale du mouvement vertical de translation d'un solide en chute dans l’air
On montre aux élèves, sans l’enregistrer, la chute de l’ensemble des quatre ballons dans l’air en
leur demandant de caractériser le type de mouvement de l’objet en chute.
On pose ensuite aux élèves, travaillant en petits groupes, les questions suivantes :
« v étant la vitesse d’un point de l’objet à l’instant t, essayez de prévoir quelle sera l’allure de
la courbe représentative de la fonction v  f(t) . Donnez-en un tracé vraisemblable sur une
feuille de papier et argumentez en termes de forces pour en justifier la forme.
À votre avis, comment peut-on caractériser sur cette courbe l’évolution de la vitesse de chute ?
De quels paramètres dépend cette évolution ? »
1. Les caractéristiques de cet objet sont données en annexe dans la fiche technique.
Il est possible que tous les élèves ne fassent pas une étude complète des actions qui agissent sur le
solide en mouvement (poids, poussée d’Archimède et frottements). On pourra, bien entendu, leur
conseiller de s’aider d’un diagramme objet-interactions. Mais l’essentiel est ici que les élèves se
posent la question du mouvement d’un corps soumis, d’une part à une force constante verticale
(le poids apparent dirigé ici vers le bas), et, d’autre part, à une force, ici verticale ascendante de
valeur croissante liée à celle de la vitesse. Ils peuvent alors appliquer le principe de l’inertie pour
comprendre qu’après une phase de vitesse croissante, le solide adopte un mouvement rectiligne
uniforme lorsque ces deux forces se compensent. En leur demandant de prévoir l’allure de la
courbe v  f(t) , l’objectif est de les inciter à réfléchir aux particularités des forces susceptibles de
rendre compte du mouvement observé ainsi qu’à la question du raccordement des phases de
démarrage et de mouvement uniforme.
Concernant les valeurs caractéristiques, on peut imaginer que des élèves proposent la valeur de la
vitesse limite et le temps mis pour atteindre cette vitesse. Même si la question de la détermination
du temps caractéristique devra être reposée plus tard en raison du caractère asymptotique de
l’évolution de la vitesse, on pourra se contenter, à ce stade de ces réponses.
S’agissant des paramètres susceptibles d’agir sur ces valeurs, on peut raisonnablement s’attendre
à ce que des élèves proposent : le poids, la forme du solide et ses dimensions (une discussion
portant sur la nature de fluide, qui peut ne pas apparaître ici compte tenu du titre de l’activité,
pourra être repoussée à la fin de la séance).
Vérification expérimentale
On enregistre2 ensuite le mouvement de chute pour des objets de masses, de volumes et de formes
différents (un objet par groupe). Les images vidéo obtenues sont traitées au moyen d’un logiciel
adapté de manière à obtenir les coordonnées successives d’un point de l’objet en chute. Ces
coordonnées sont ensuite copiées dans une feuille de tableur.
La consigne est alors la suivante :
Calculez les valeurs de la vitesse aux différentes dates.
Reportez dans le plan (t , v) les points correspondants à ces différentes vitesses.
Vos prévisions concernant la courbe v  f(t) sont-elles compatibles avec les points obtenus ?
À votre avis, existe-t-il une valeur pour v et une valeur pour t qui vous paraissent
caractéristiques du mouvement que vous avez étudié ? Comment pouvez-vous les déterminer ?
Une discussion des propositions des différents groupes concernant les valeurs caractéristiques de
v et de t est alors organisée. On choisit comme valeur limite de la vitesse la valeur de l’asymptote
horizontale et pour le temps caractéristique l’abscisse du point de concours de cette asymptote
avec la tangente à l’origine.
Les figures ci-dessous donnent les résultats que nous avons obtenus avec les enregistrements
fournis dans le cédérom. Il s’agit des chutes de grappes de quatre ballons de formes et de volumes
identiques mais de masses différentes.
2. Les enregistrements des chutes sont effectués au moyen d’une caméra vidéo ou d’une webcam. On
pourra utiliser si nécessaire, les trois enregistrements vidéo « chutair » fournis sur le cédérom.
On obtient le tableau de valeurs caractéristiques
suivant3 :
Masse
(g)

vlim
(m/s)
(s)
19 g
2,0
0,32
22 g
2,45
0,38
27 g
3,0
0,41
Influence de la nature du fluide
À la fin de cette étude dans l’air, on pourra poser la question de l’influence de la nature du fluide.
Celle-ci agissant aussi bien sur les frottements que sur la poussée d’Archimède, différentes
observations qualitatives pourront être effectuées. On comparera, notamment la chute d’un même
objet dans l’air, dans l’eau et dans un autre liquide (par exemple, détergent liquide en solution
aqueuse plus ou moins concentrée).
3. Dans le dernier cas ( m  27 g ), la valeur de la vitesse limite est plus difficile à évaluer. Nous l’avons
estimée à environs 3,0 m/s. Cette valeur, ainsi que les autres valeurs de l’asymptote, sera confirmée au
cours de l’activité suivante lors du travail de modélisation.
Annexe – Fiche technique de l’étude de la chute verticale
d’un solide dans l’air
Nous donnons ici une illustration complète des techniques utilisées dans la séance pour réaliser
une manipulation capable de mettre en évidence les diverses phases du mouvement, puis utiliser,
après enregistrement vidéo et pointage, les valeurs obtenues pour t et y dans le but de déterminer
numériquement la série des valeurs de la vitesse v et de tracer v  f(t) .
Ce document ne comporte pas d’indications sur l’acquisition vidéo ni sur le pointage en image
par image.
Choix du solide
Cette activité fait appel à l’utilisation de moyens vidéo et à l’usage d’un logiciel adéquat pour
pointer les coordonnées d’un point mobile image par image. Les élèves ont déjà abordé
l’utilisation d’une caméra et le traitement des enregistrements
vidéo à l’ordinateur en classe de première S.
Pour une étude dans l’air, le solide doit être très léger et de
taille suffisante pour que la vitesse limite puisse être atteinte
au bout d’une chute d’environ 2 m. De plus, sa forme doit
être telle que le mouvement reste bien rectiligne et vertical,
sans rotation du solide. Toutes ces conditions ne sont pas
faciles à satisfaire simultanément. Nous avons essayé
diverses boules de matière plastique ou de polystyrène, mais
la vitesse limite n’était atteinte que pour des chutes de plus
de 8 m. L’essai avec un ballon de baudruche gonflé à l’air et
éventuellement lesté s’est avéré décevant, le mouvement
n’étant pas rectiligne. Nous avons finalement opté pour un
assemblage de quatre ballons de baudruche, de deux tailles
différentes, réunis par leurs points de gonflage le tout étant
éventuellement lesté. L’ensemble est représenté sur la
photographie ci-contre. Il est alors facilement possible d’agir
sur la masse de l’ensemble, sur son volume, en gonflant plus
ou moins les ballons, et éventuellement sur la forme en
modifiant le rapport des volumes des ballons.
Nous donnons sur le cédérom quelques exemples de
mouvements de chutes enregistrés (clips vidéo « chutair »).
Ils correspondent à une grappe de forme constante dont le volume4 est d’environ 5,4 L. Les
ballons supérieurs, rose et rouge, sont un peu plus gonflés (2 L) que les ballons inférieurs vert et
bleu (0,7 L) de sorte que l’ensemble descende de manière très stable.
La masse de l’ensemble non gonflé (quatre ballons + le lien de fil de fer) est 10 g. La masse d’air
introduite est d’environ 7 g (masse volumique de l’air : 1,29 g.L–1)
Nous avons utilisé des lests de 2 g, 5 g et 10 g. Les masses M des solides en chute sont donc sont
donc 19 g, 22 g et 27 g.
Les chutes, effectuées sans vitesse initiale sur environ 3 m, ont été enregistrées en vidéo. La durée
entre deux images consécutive est 40 ms. Les documents obtenus sont donnés dans le cédérom.
La taille du manipulateur figurant sur les documents est 1,85 m (ce qui permet l’étalonnage).
4. La mesure du volume peut être effectuée simplement avec un double décimètre en appréciant le rayon
moyen de chaque ballon et en assimilant la forme de chacun à une sphère.
Traitement des images vidéo obtenues
Quel que soit le logiciel utilisé, les positions repérées étant relativement rapprochées du fait des
frottements, il convient de travailler sur des images aussi grandes ou aussi agrandies que possible.
Après pointage, les coordonnées des points sont transférées dans un tableur ou dans un logiciel
plus spécialement dédié au traitement des données en physique.
Nous prendrons comme exemple le traitement du document « chutair 22g F1 », et nous
utiliserons un tableur.
La figure ci-dessous montre les premières lignes de la feuille obtenue. Les coordonnées obtenues
sont représentées par les colonnes bleues (B, C et D).
Il est important de repérer l’image la plus proche du
démarrage de la chute, image à laquelle on attribuera
les valeurs t  0 s et v  0 m . s 1 .
La première image correspondant au début de la
chute5 ayant, ici, été enregistrée à la date t  0,76 s ,
une nouvelle échelle des temps to (colonne A à
gauche en jaune) doit donc être construite à partir de
celle qui est fournie par le pointage en déduisant des
valeurs de t la première valeur donnée (0,76 s).
La vitesse peut ensuite être calculée (en valeur
absolue).
Dans certains logiciels, le calcul se résume à l’entrée
d’une formule et, pour un tableur, en posant la valeur
0 comme première valeur (dans la cellule E5). La
formule, introduite en classe de première comme
approximation
de
la
vitesse
instantanée,
(D5-D7)/0,08
E 3
2

t

80
v  (y 1  y 1 ) / 2 t , avec
, est d’abord
écrite dans la cellule E6, puis en la recopiant vers le
bas jusqu’à l’avant-dernière ligne.
On peut alors construire le graphe représentant les points expérimentaux dans le plan (t, v). On
constate que les points obtenus se distribuent assez bien sur une courbe non rectiligne partant de
l’origine et tendant vers une valeur asymptotique voisine, ici, de 2,5 ms–1.
5. Cette première image est la plus proche de l’instant t = 0 que nous ayons mais ne correspond pas en
règle générale exactement à t = 0. Cela explique les éventuels petits défauts susceptibles d’apparaître,
dans certains cas, au début des courbes.