Pound Drever-Hall technique
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Olivier
DEBIEU
DEA : Haute Résolution Angulaire, Image et Gravitation.
Université de Nice Sophia-Antipolis
Observatoire de la Côte d’Azur
Rapport de stage
Détermination de méthodes de mesure précise des modes dans une cavité FabryPérot
Interférométrie Laser pour la Gravitation et l’Astrophysique
0
Introduction ____________________________________________________________________ 2
1. Contexte ___________________________________________________________________ 3
1.1.
Le laboratoire ILGA ____________________________________________________________ 3
1.2.
Les ondes gravitationnelles _______________________________________________________ 4
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.
1.3.
4
4
5
6
6
Détection interférométrique des ondes gravitationnelles _______________________________ 8
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.4.
La théorie de la Relativité Générale _____________________________________________________
Equations des ondes gravitationnelles ___________________________________________________
Effets des ondes gravitationnelles sur des masses libres ______________________________________
Les sources probables d’ondes gravitationnelles ___________________________________________
Les sources astrophysiques ____________________________________________________________
Interféromètre de Michelson ___________________________________________________________ 8
Effet d’une onde gravitationnelle sur l’interféromètre _______________________________________ 9
Interféromètre de Michelson avec des cavités Fabry-Pérot ___________________________________ 9
Le projet VIRGO ______________________________________________________________ 10
1.4.1.
1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
1.4.4.
L’optique _________________________________________________________________________
de VIRGO ________________________________________________________________________
Bruit de photons ___________________________________________________________________
Bruits limitant la sensibilité de VIRGO _________________________________________________
Un réseau d’interféromètres __________________________________________________________
11
11
12
13
14
2. L’état de l’art ______________________________________________________________ 15
2.1.
Introduction __________________________________________________________________ 15
2.2.
Stabilisation en fréquence : technique Pound Drever Hall ____________________________ 15
2.3.
Alignement de cavités optiques résonantes : la méthode Anderson et la méthode Ward ____ 16
2.3.1.
2.3.2.
La méthode Anderson _______________________________________________________________ 16
La méthode Ward __________________________________________________________________ 16
3. Les travaux spécifiques de recherche ___________________________________________ 17
3.1.
Technique Pound Drever Hall ___________________________________________________ 17
3.1.1.
3.1.2.
3.2.
Signal d’erreur ____________________________________________________________________ 17
Fonction de transfert entre bruit de fréquence et signal d’erreur ______________________________ 17
Méthodes de mesure de la fréquence du TEM01 _____________________________________ 17
3.2.1.
3.2.2.
Signal d’erreur ____________________________________________________________________ 18
Fonction de transfert entre bruit de fréquence et signal d’erreur ______________________________ 18
4. Les résultats _______________________________________________________________ 19
4.1.
Modélisation de la technique Pound Drever Hall ____________________________________ 19
4.1.1.
4.1.2.
4.2.
Modélisation du signal d’erreur _______________________________________________________ 19
Modélisation de la fonction de transfert entre bruit de fréquence et signal d’erreur ________________ 20
Modélisation des méthodes de mesure de la fréquence du TEM01 ______________________ 21
4.2.1.
4.2.2.
Modélisation de signaux d’erreur ______________________________________________________ 21
Modélisation de la fonction de transfert entre bruit de fréquence et signal d’erreur ________________ 22
Conclusions et perspectives_______________________________________________________ 24
Annexe A : Les modes Hermite-Gauss de propagation libre ____________________________ 25
Annexe B : Les cavités Fabry-Pérot ________________________________________________ 29
Annexe C : La technique Pound Drever Hall ________________________________________ 34
Annexe D : Méthodes de détermination du premier mode transverse _____________________ 44
Bibliographie _______________________________________________________________________ 54
1
Introduction
Le sujet de stage de Détermination de méthodes de mesure précise des modes dans une cavité Fabry-Pérot m’a
été proposé par François Bondu du laboratoire ILGA (INTERFEROMETRIE LASER POUR LA GRAVITATION ET
L’ASTROPHYSIQUE) du CNRS dans le cadre de ces travaux de recherche et de développement sur l’optique du projet de
détecteur interférométrique d’ondes gravitationnelles franco-italien VIRGO. (((CCChhhaaappp...111)))
Ces méthodes sont le prolongement d’une technique de métrologie optique – la technique Pound Drever Hall
[7] – qui détermine l’écart entre la fréquence d’une source laser et la fréquence de résonance d’une cavité optique
Fabry-Pérot. Elles s’apparentent également à deux méthodes issues de cette même technique, qui permettent d’aligner
une source laser sur une cavité Fabry-Pérot. Le laboratoire met au point et utilise ces techniques à différents emplois
pour le projet VIRGO : de la stabilisation en fréquence de laser, à l’alignement de l’optique de l’interféromètre, jusqu’à
l’extraction du signal d’onde gravitationnelle lui-même.
A la suite d’expérimentations menées sur la technique Pound Drever Hall, François Bondu a imaginé tirer
profit du désalignement de la source laser par rapport à la cavité Fabry-Pérot pour mesurer de manière la fréquence du
premier mode transverse TEM01 de la cavité. (((CCChhhaaappp...222)))
Les travaux menés au cours de ce stage portaient sur la définition théorique d’une ou plusieurs méthodes
permettant d’obtenir la fréquence du TEM 01. Pour cela il a fallut au préalable créer un premier modèle sur les cavités
Fabry-Pérot (annexe B), et construire un second modèle qui permette de simuler totalement la technique Pound Drever
Hall du décalage de fréquence entre la source laser et la résonance de la cavité, jusqu’à l’obtention du signal d’erreur
correspondant (annexe C-1à7 ). Cette première réalisation fut complétée par la modélisation originale de la fonction de
transfert entre un bruit sur la fréquence du laser et le signal d’erreur, afin d’apporter de nouvelles perspectives à la
technique (annexe C-8 ).
Enfin, il a fallut prendre en compte le couplage entre le mode fondamental TEM 00 de la cavité et le TEM01
généré par le désalignement (annexe D-1) pour pouvoir décrire totalement les conditions de départ du sujet. Deux voies
purent alors être explorées : - l’une concerne l’obtention d’un signal d’erreur permettant de déterminer la position en
fréquence du TEM01 par rapport à une fréquence de référence – l’autre porte sur les conséquences du couplage sur la
fonction de transfert entre un bruit sur la fréquence du laser et le signal d’erreur. (((CCChhhaaappp...333)))
Des ces simulations réalisées sous Matlab, ressortent plusieurs méthodes répondant à l’objectif fixé. La réalisation
de leur modélisation et l’extraction de relations analytiques approchées les décrivant, permettent de les comparer et
d’alimenter une discussion sur leur réalisabilité expérimentale (annexe D). (((CCChhhaaappp...444)))
2
1. Contexte
1.1. Le laboratoire ILGA
Le laboratoire ILGA (Interférométrie Laser pour la Gravitation et l’Astrophysique) est une unité du CNRS
appartenant au département Fresnel de l’Observatoire de la Côte d’Azur ( OCA). Il contribue à la réalisation du projet
franco-italien du détecteur interférométrique d’onde gravitationnelle VIRGO qui est implanté à Cascina prés de Pise en
Italie. Le projet VIRGO fait appel aux compétences de plus de 150 chercheurs répartis dans 13 laboratoires du CNRS
et de l’INFN (Instituto Nationale di Fisica Nucleare) :
-
-
Laboratoire d'Annecy-le-Vieux de physique des particules (LAPP)
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare - Sezione di Firenze
Laboratori Nazionali di Frascati, INFN (Roma)
Institut de Physique Nucléaire de Lyon (IPN)
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Napoli
Laboratoire de l'Accélérateur Linéaire (Orsay )
Observatoire de la Côte d'Azur - Interférométrie Laser pour la Gravitation et l'Astrophysique (ILGA)
Ecole Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles (ESPCI)
Laboratoire d'Optique Physique (Paris)
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Perugia
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Pisa
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Roma
Le laboratoire participe également à au projet d’interféromètre spatial LISA de l’ESA et de la NASA.
Les activités de recherche du laboratoire sont réparties en trois équipes :
Une partie expérimentation (3 chercheurs, 4 ingénieurs, 1 doctorant, 1 technicien) est dédiée à la conception et à la
réalisation du système laser et du banc optique d’entrée de VIRGO :
- Lasers de puissance : 10 et 25 W ultra-stabilisés en fréquence sur une cavité Fabry-Pérot en anneau,
- Banc d’entré suspendu sous vide,
- Cavité de filtrage (Mode Cleaner) : suspendue sous vide de 144m de long,
- Système de contrôle et de correction de la position des miroirs suspendus sous vide,
- Amélioration des techniques de contrôle du laser.
Elle est complétée par une activité de recherche et développement en optique :
- Etudes des effets thermiques induits par les lasers de puissance sur les miroirs : modélisation et simulation,
- Mesures de fronts d’onde par Shack-Hartmann, et correction par optique adaptative.
Et par une activité de recherche et développement lié au projet LISA :
- Stabilisation à long terme de lasers,
- Stabilisation par interrogation de l’iode moléculaire avec doublage de fréquence.
Cette équipe participe également à l’assemblage, intégration et recette de l'interféromètre sur site.
Une partie études théoriques consacrées à la modélisation et à la simulation de l'interféromètre, ainsi qu’à l’analyse
de données pour le projet VIRGO et pour le projet LISA (4 chercheurs, 1 ingénieur, 1 doctorant),
- Modélisations optiques,
- Estimation des sources de bruits,
- Collaboration avec d’autres détecteurs interférométriques : LIGO, GEO, TAMA.
Et enfin une partie consacrée aux études astrophysiques (sources d'ondes gravitationnelles) qui fait appel à une
collaboration avec des chercheurs de l’OCA (5 chercheurs).
Le sujet de stage s´inscrit dans les travaux de l´équipe expérimentation menés sur la caractérisation de l´optique de
l´interféromètre VIRGO. La mesure de la fréquence du premier mode transverse permet de retrouver indirectement le
rayon de courbure des miroirs de fond de l´interféromètre. Ainsi la création d´une méthode sans contact permettant de
suivre la variation du rayon de courbure des miroirs de fond face aux effets thermiques induits par la source laser,
complétera l´activité de recherche et développement sur le sujet.
3
1.2. Les ondes gravitationnelles
Dans la suite seront présentées les bases sur la théorie des ondes gravitationnelles prévues par A. Einstein dans sa
théorie de la Relativité Générale, et seront brièvement décrites les principales sources d’ondes gravitationnelles que l’on
puisse espérer détecter.
1.2.1. La théorie de la Relativité Générale
La théorie de la relativité générale est fondée sur l’idée de base que la matière courbe l’espace-temps et qu’un
corps soumis aux seules forces gravitationnelles suit nécessairement la courbure de l’espace. Les propriétés physiques
des champs gravitationnels sont donc ramenées aux propriétés géométriques de l’espace-temps que l’on définit par sa
métrique.
L’élément infinitésimal de distance ds est donné par :
ds ² g dx dx
(1-1)
où g est le tenseur métrique décrivant la courbure de l’espace-temps.
Cette relation entre métrique et sources (masse-energie) présentes dans le système considéré prends corps dans les
équations d’Einstein [1] :
G
8G
T
c4
(1-2)
où G est le tenseur d’Einstein (qui contient la métrique de l’espace-temps g ) et T est le tenseur énergie-impulsion
qui contient la distribution de matière-énergie).
1.2.2. Equations des ondes gravitationnelles
Les équations d’Einstein données par (1-1) sont non linéaires et du second ordre en g . Toutefois, dans le cas où
les champs gravitationnels sont faibles, on peut écrire la métrique de l’espace-temps comme celle d’un espace plat de
Minkowsky, perturbé faiblement par les effets gravitationnels. Dans le cadre de cette approximation dite de champ
faible, le tenseur métrique s’écrit :
g h
(1-3)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(1-4)
où est la métrique de Minkowsky :
et h est la perturbation gravitationnelle, h<< 1. Dans ce cas particulier et en choisissant un système de
coordonnées opportun, les équations d’Einstein dans le vide {T =0 }, prennent la forme d’une équation de propagation
d’onde :
1 ²
²
h 0
c
² t ²
(1-5)
dont les solutions peuvent s’écrire sous la forme d’ondes planes de fréquence υ (fréquence la perturbation
gravitationnelle) se propageant suivant la direction k à la vitesse de la lumière :
h e
i(2t k .x )
(1-6)
où ε est un tenseur symétrique décrivant la polarisation de l’onde :
h h
(1-7)
4
avec :
0
0
0
0
0
0
et
0
0 (1-8_a)
0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
(1-8_b)
1.2.3. Effets des ondes gravitationnelles sur des masses libres
Dans le cadre de la Relativité Générale une particule qui est soumise aux seules forces gravitationnelles est dite en
chute libre. Elle suit une courbe de l’espace-temps appelée géodésique.
Si l’on considère deux masses en chute libre séparées de ξ l’écart entre les deux géodésiques suivies par ces deux
masses est régi par l’équation différentielle suivante :
² 1 ² h
t ²
2 t ²
(1-9)
où h est l’amplitude de l’onde gravitationnelle agissant sur les deux masses.
Soit deux masses séparées d’une distance l et une onde gravitationnelle se propageant suivant l’axe Oz telle que son
amplitude soit :
h
0 0
0 h
0 h
0 0
0
h
h
0
0
0
0
0
(1-10)
D’après les équations (1-9) et en considérant la longueur d’onde de l’onde gravitationnelle λog >> l , on peut montrer
que les variations de distances des masses libres suivants les axes x, y et z s’écrivent :
1
l h (t )
2
1
y (t ) l h (t )
2
z (t ) 0
x (t )
(1-11_a)
(1-11_b)
(1-11_c)
La variation de distance entre les deux géodésique est proportionnelle à leur distance.
Figure 1.1 – Effet d’une onde gravitationnelle sinusoïdale de période T sur an anneau de particules- test
Chaque masse libre placée sur le cercle subit un déplacement d’amplitude identique mais suivant des directions
différentes.
5
1.2.4. Les sources probables d’ondes gravitationnelles
Les solutions des équations linéarisées d’Einstein avec source se présentent de façon similaire à celle qui donne le
potentiel-vecteur en électromagnétisme [1] :
h
8G
c4
source
4T ct ' , '
'
d 3'
(1-14)
Cette équation montre que seuls les signaux provenant d’événements violents dans l’univers sont susceptibles de donner
des ondes d’amplitude appréciable. Pour que la quantité h(t) soit détectable (au sens des détecteurs actuels ou de leurs
extensions), il faut des masses considérables en mouvement (de l’ordre d’une masse solaire) et des vitesses relativistes
(de l’ordre de la vitesse de la lumière).
Ainsi les seules sources susceptibles d’émettre des ondes gravitationnelles détectables sont d’origine
astrophysique.
1.2.5. Les sources astrophysiques
Les paramètres importants pour la caractérisation d’une source astrophysique sont : l’amplitude et la fréquence des
ondes émises, et la statistique de la source (c’est-à-dire le nombre de sources dans une région de l’espace définie). Pour
que les ondes soient détectées, leur amplitude doit être plus grande que le bruit de l’instrument de mesure et la
fréquence d’émission doit être incluse dans la bande passante de l’appareil (pour les interféromètres à grande base sur
Terre, elle s’étend de 10 Hz à quelques kHz).
a) Supernovae
Si la masse d’une étoile est suffisamment grande, la combustion thermonucléaire à
l’origine de la lumière de l’étoile peut atteindre le stade avancé de la fusion des éléments
légers jusqu’au fer. L’étoile s’effondre sur elle-même et explose en supernova. Pendant cette
phase d’effondrement, une bouffée (burst) d’ondes gravitationnelles peut être émise si la
dynamique est non sphérique. Comme la physique de l’effondrement d’une étoile est très mal
connue, les amplitudes et les formes des ondes émises par des supernovae varient de plusieurs
ordres de grandeur selon les modèles théoriques. Selon certains modèles, on devrait s’attendre
à des amplitudes comprises entre h 10-23 – 10-22 [2], et à une fréquence comprise entre 100
Hz et 1 kHz pour une distance de 20 Mpc (amas de galaxie de la Vierge).
L’estimation de l’amplitude du rayonnement gravitationnel émis à la fréquence υ par
l’effondrement d’une étoile situé à la distance r est donnée par :
(photo : SN1987A)
h
og 1kHz
2.7.10 20
Supernovae
Msol c ²
1/ 2
10Mpc
r
(1-15)
où Δεog est l’énergie consacrée à la production d’onde gravitationnelle.
La statistique est de quelques événements par siècle et par galaxie, ce qui rend très rare la détection d’une
supernova galactique, mais qui fait espérer une détection pour les ondes qui arrivent de l’amas de la Vierge, qui contient
environ 2500 galaxies. C’est cet amas qui donne son nom au projet VIRGO.
b) Pulsars
Selon la théorie d’évolution des étoiles, l’explosion en supernovae d’une étoile suffisamment massive donne une
étoile à neutrons (ou un trou noir si la masse initiale est plus élevée). Ces étoiles à neutrons très denses peuvent être
pourvues d’une très grande vitesse de rotation et d’un moment magnétique non parallèle à l’axe de rotation. C’est ce
que l’on appelle un pulsar. Ils sont observés depuis les années 60 comme des sources radio-pulsées, d’où leur nom. Une
asymétrie de la distribution de masse par rapport à l’axe de rotation de l’étoile peut engendrer une onde gravitationnelle.
L’amplitude du rayonnement gravitationnel émis à la fréquence υ par un pulsar situé à la distance r de la terre et
tournant autour d’axe z est donnée par [3] :
6
h pulsars 8.10
24
100 Hz 2 10 Kpc
Izz
10 38 kgm² r 10 6
(1-16)
où Izz est le moment quadrupolaire d’inertie du pulsar autour de son axe de rotation, υ est la fréquence
de l’onde gravitationnelle émise (qui est égale au double de la fréquence de rotation du pulsar) et ε un facteur décrivant
l’asymétrie.
Par exemple pour le pulsar Véla (υ = 22 Hz) et celui de la nébuleuse du Crabe (υ = 60 Hz) situés dans notre
galaxie, les valeurs maximales de l’amplitude de l’onde sont respectivement h = 3.10 -24 et h = 8.10-25 qui sont faibles,
mais peuvent être détectées par un interféromètre comme VIRGO en intégrant le signal sur plusieurs années.
c)
Coalescence d’étoiles binaires
Selon des estimations théoriques, une grande partie des objets stellaires est sous
la forme de systèmes binaires. Si deux astres sont des corps compacts, comme un trou
noir ou une étoile à neutrons, le système peut émettre une grande quantité d’énergie
sous la forme de rayonnement gravitationnel. La période du système diminue donc, et
les deux astres se mettent à spiraler. C’est le phénomène de coalescence. C’est
d’ailleurs grâce à un système binaire (le pulsar binaire PSR 1916 + 13) qu’on a eu
la première évidence indirecte de l’existence des d’ondes gravitationnelles [3].
L’émission gravitationnelle est très faible pendant la vie normale du système, et
la fréquence d’émission (qui est le double de la fréquence orbitale) trop basse pour
être détectée par un interféromètre sur Terre (mHz). Toutefois, pendant la phase finale
(la coalescence), la distance entre les deux étoiles diminuant, la fréquence orbitale et
l’amplitude des ondes gravitationnelles augmentent. L’interféromètre peut alors
détecter les ondes émises pendant les dernières minutes.
Figure 1.2 –Vue d´artiste d´un
système binaire
Pour un système binaire de deux étoiles à neutrons de M = 1.4 Ms (Ms est la
masse solaire), l’amplitude de l’onde gravitationnelle est donnée par :
h syst.bin 10
23
1 / 5
2 1.4Ms
5/3
100 Hz
3/ 2
10Mpc
r
(1-17_a)
où M est définie comme :
M 3 / 5m2 / 5
(1-17_b)
où est la masse réduite du système et m la masse totale :
m1 m2
m1 m2
et
m m1 m2
(1-17_c)
d) Fond diffus
De manière analogue au bruit de fond cosmique dans le domaine de fréquence des micro-ondes, issue du big
bang, on s’attend aussi à un fond d’ondes gravitationnelles[4].
L’amplitude d’un tel fond est très incertaine en raison essentiellement de la mauvaise connaissance des étapes initiales
de l’univers. L’estimation de l’amplitude du bruit de fond dans le domaine de très basse fréquence donne :
h fond.diffus 10 17 Hz
à 10 17 Hz
(1-18)
La possibilité de faire de s mesures à des fréquences aussi basses, n’est probablement accessible que dans un milieu où
les perturbations de la gravité locale sont très faibles, par exemple en utilisant un interféromètre loin de la terre en orbite
autour du soleil (cf 1.4.4 : projet LISA).
7
1.3. Détection interférométrique des ondes gravitationnelles
Les ondes gravitationnelles peuvent être observées par leurs effets indirects, par exemple les modifications de
période d’un système binaire. Elles ont d’ailleurs été mises en évidence pour la première fois par les diminutions de
période du pulsar binaire PSR 1916 + 13 découvert par Hulse et Taylor en 1974 [5], et par les calculs effectués qui ont
permis de vérifier l’adéquation entre les variations de période mesurées et celles calculées.
Il est possible de construire en laboratoire des appareils directement sensibles aux perturbations h(t) qu’elles
engendrent sur la métrique de l’espace-temps. Ces déformations peuvent être détectées en mesurant la variation de
distance entre deux masses libres qui peut être obtenue par un interféromètre de type Michelson. Pour que cette
technique qui permet une mesure différentielle de longueur dans deux axes orthogonaux, soit appropriée, il est
nécessaire que l’ensemble des éléments de l’interféromètre (miroirs et lames séparatrices) puissent être considéré
comme libres : i.e. ils doivent être suspendus.
Une amélioration de la sensibilité de ce type de détecteur d’onde gravitationnelle est apportée par l’utilisation
de cavités Fabry-Pérot dans chacun des bras de l’interféromètre.
1.3.1. Interféromètre de Michelson
Une onde plane monochromatique E(in) de longueur d’onde λ est envoyée à l’entrée d’un interféromètre de type
Michelson constitué de deux de miroirs M1 et M2 de coefficient de réflexion r1 et r2 distants de l et l+Δ l de la lame
séparatrice Mbs de coefficient de transmission et de réflexion tbs et rbs.
E (int) E 0 e
i (2t k .z )
k
avec :
y
2
c
(1-19)
M1
M2
l
E(in)
Mbs
x
l+Δl
E(out)
Photodiode
Figure 1.3 – Interféromètre de Michelson
La différence de chemin optique entre les deux bras crée un déphasage Δφ = k Δ l entre l’onde qui s’est réfléchie
sur le miroir M1 et l’onde qui s’est réfléchie sur le second miroir M2 . L’onde plane en sortie de l’interféromètre E(out)
est le résultat de l’interférence des ces deux ondes, elle s’exprime par :
E ( out ) E 0 e
i (2t )
rbs tbs(r1 r 2 e
2i
(1-20)
)
où φ = k l est la phase commune aux deux ondes.
La puissance reçue par la photodiode peut s’exprimer par :
P ( out) P 0 1 c cos( 2kl )
avec :
P 0 Pin r ² bst ² bs(r ²1 r ²2)
(1-21)
où c est le contraste de frange qui est défini par :
P min
P max P min
c P
max
(1-22)
La variation de la puissance en fonction de la différence de chemin optique s’écrit :
dP ( out)
dl
P 0ck sin( 2kl )
(1-23)
8
La variation de puissance sur la photodiode permet donc de mesurer la variation de longueur d’un bras de
l’interféromètre de Michelson. Le maximum de sensibilité est obtenu en se plaçant sur la frange noire 2 k l = λ , dans
ce cas en supposant Δ l petit devant la longueur d’onde λ :
dP ( out )
P 0ck ² l
dl
(1-24)
Le passage d’une onde gravitationnelle sur l’interféromètre produit un déplacement des miroirs M1 et M2
modifiant donc la puissance de sortie qui contient l’information sur l’onde gravitationnelle.
A noter que la sensibilité de ce détecteur est d’autant plus grande que la source de lumière cohérente (un laser)
utilisée est puissante.
1.3.2. Effet d’une onde gravitationnelle sur l’interféromètre
Dans le cas d’un passage d’une onde polarisée (+), la variation de la longueur des bras s’écrit :
l (t )
1
l h (t )
2
(1-25)
ainsi, pour amplifier l’effet de la déformation de la métrique h+, l’augmentation de la longueur des bras de
l’interféromètre apparaît comme étant une solution simple pour améliorer la sensibilité de ce type de détecteur d’onde
gravitationnelle.
L’utilisation de lignes retard permet d’augmenter le chemin optique parcouru par le photon, c’est une des
propriétés des cavités Fabry-Pérot présentées dans le chapitre suivant.
1.3.3. Interféromètre de Michelson avec des cavités Fabry-Pérot
Une méthode pour augmenter la longueur l consiste à introduire une cavité Fabry-Pérot résonnante dans chacun
des bras de l’interféromètre.
Les cavités Fabry-Pérot résonantes permettent d’augmenter le temps de présence du photon τ dans les bras de
l’interféromètre. Ce qui a pour conséquence d’augmenter également sa distance effective de parcours :
l eff c
2F
l
(1-26)
M1
Cavités
Fabry-Pérot
Laser
Mb
M2
s
Figure 1.4 – Interféromètre de Michelson
avec des cavités Fabry-Perot
Photodiod
e
C’est cette configuration qui a été choisie par le projet VIRGO avec des bras de 3 km et une finesse F des cavités est de
l’ordre de 50.
9
1.4. Le projet VIRGO
L’expérience VIRGO, approuvée en 1993, est une
collaboration entre le Centre National pour la Recherche
Scientifique (CNRS) français et l’Instituto Nazionale di Fisica
Nucleare (INFN) italien, pour la construction d'une antenne
interférométrique ayant des bras de 3km de long qui devrait
s’achever en 2003. Le site choisi se trouve à proximité d'une
petite ville italienne Cascina près de Pise en Italie.
BBrraass
Un consortium de droit italien, EGO (Eropean Gravitational
Observatory), a été créé pour assurer le fonctionnement du site de
VIRGO et préparer la recherche et le développement pour de
nouvelles antennes gravitationnelles.
Figure 1.4 – Vue du ciel de VIRGO avec le
Le premier objectif scientifique de VIRGO est la détection
bâtiment central et les deux bras
des ondes gravitationnelles. Avec sa sensibilité, VIRGO sera
capable de détecter par exemple des effondrements asymétriques dans notre galaxie et les amas les plus proches de
nous, comme l'amas de la Vierge qui a donne son nom au projet. A partir des spectres des ondes on peut obtenir des
informations sur les sources d'ondes gravitationnelles et donc vérifier les modèles physiques qui les décrivent. Une des
étapes suivantes pourra être la mesure des paramètres de l'éventuel médiateur de la force gravitationnelle, le graviton.
Il s’agit donc d’un interféromètre de Michelson avec des cavités Fabry-Pérot [15] dans chacun des bras, auquel est
ajouté un miroir de recyclage situé en amont de la séparatrice qui permet d’augmenter la puissance effective dans les
bras et donc de diminuer le bruit de photons (1.4.2).
Le faisceau lumineux provient d’un laser infrarouge ND :YAG à 1.06 μm d’une puissance de 20 W sur le mode
fondamental. Cette source ND :YAG a été préférée à d’autres sources comme l’Argon, à 514 nm, pour ses
caractéristiques de stabilité en fréquence et géométriques.
Tous les miroirs sont suspendus à des chaînes de pendules de 8m de haut appelé super-atténuateurs. Ces derniers
garantissent une isolation sismique exceptionnelle et constituent un des points forts de VIRGO par rapport aux autres
détecteurs interféromètriques que nous verrons par la suite (1.4.4).
Figure1.5 – Schéma de l’interféromètre VIRGO
10
1.4.1. L’optique de VIRGO
La source laser est stabilisée en puissance, fréquence et position, par des systèmes actifs (asservissements) et par
filtrage passif, en utilisant une cavité triangulaire appelée mode-cleaner d’entrée.
Le mode-cleaner est une longue cavité Fabry-Perot triangulaire de 144m de longueur, et avec une finesse F=1000.
Sa fonction principale est de filtrer les défauts spatiaux du faisceau, ainsi que son bruit de position. La cavité est
constituée de trois miroirs : les deux miroirs d’entrée et de sortie qui sont reliés optiquement aux dièdre qui se trouve
sur le banc d’entrée qui assure l’adaptation du faisceau à l’interféromètre. Le troisième miroir est suspendu à un superatténuateur sismique situé à 144 de distance.
Quand le mode fondamental du laser est en résonance avec celui de la cavité mode-cleaner, les modes d’ordres
supérieurs sont réfléchis et seul le TEM00 est transmis et rentre dans l’interféromètre. Les fluctuations de position du
laser sont aussi vues par la cavité comme la présence de modes supérieurs et sont ainsi filtrées. Le mode-cleaner est un
filtre passe bas du premier ordre pour le bruit de fréquence et de puissance du laser.
Les 6 miroirs de l’interféromètre sont des cylindres de silice de diamètre compris entre 35 et 12 cm. Puisque le
faisceau laser doit passer à travers presque tous les miroirs, les substrats ont un coefficient d’absorption très bas de
l’ordre de 1 ppm. Cela empêche leur déformation thermique, donc la déformation du front d’onde.
Le banc de détection du signal contient toutes les optiques nécessaires au filtrage spatial du faisceau et à sa
focalisation sur les photodiodes. Afin de ‘augmenter le contraste, le faisceau de sortie passe par une cavité optique
monolithique d’environ 4 cm de longueur (mode-cleaner de sortie).
Figure 1.6 – Schéma optique de VIRGO (actuellement laser de 10W)
11
1.4.2. Bruit de photons
Le bruit de photons ou shot noise est lié à la nature corpusculaire de la lumière [6]. La distribution des photons
issus d’une source de lumière cohérente tel un laser, qui arrivent sur un détecteur est Poisonienne. Si le détecteur
compte en moyenne N photons, la variance de la distribution est donc :
² N N
(1-27)
Etant donné que le nombre moyen de photons fourni par la source laser de puissance P pendant un temps
N
P
t est :
t
(1-28)
h
la fluctuation du nombre de photon est directement liée à la puissance du laser :
P
² N
t
(1-29)
h
où h est la constante de Planck et υ la fréquence de la source laser.
D’après le principe d’incertitude d’Heisenberg qui lie l’incertitude sur le nombre de photons à l’incertitude sur la
phase :
.N
1
2
(1-30)
l’erreur sur la phase issue du comptage de N photons est donc :
12
h
P
(1-31)
t
ce qui s’écrit en terme de densité spectrale :
~
(f ) 12
2h
P
(1-32)
f
Pour un interféromètre de longueur effective Leff ,on a :
~
h (f )
4Leff
2h
P
f
(1-33)
ainsi, pour diminuer le bruit de photon on a également intérêt d’augmenter la longueur effective des bras de
l’interféromètre ainsi que la puissance de la source laser.
A.N. : Leff = 150 km ; P = 10 kW ; λ = 1.06 μm (paramètres de VIRGO)
~
h (f ) 10 23
Hz
@ f 10 Hz
12
1.4.3. Bruits limitant la sensibilité de VIRGO
Les sources de bruit de VIRGO sont liées soit au problème de mesure des distances, dont le principal est le bruit
de photon, soit aux mouvements aléatoires des miroirs liés à l’activité thermique et sismique.
Bruit de photon :
Le bruit de photon est du à la fluctuation du nombre de photons observés.
Bruit thermique :
Les miroirs sont suspendus par des fils, accrochés à l’étage final d’un superatténuateur, et
plongés dans le vide poussé. Ce sont donc des pendules qui dissipent l’énergie thermique
soit par rayonnement, soit par des mouvements aléatoires.
Bruit sismique:
Le bruit sismique provient des mouvements aléatoires du sol provoqués par le vent, les bruits
acoustiques, l’activité humaine et tellurique.
Pression de radiation :
Le faisceau laser exerce sur les miroirs une force de pression et celle-ci fluctue au gré des
fluctuations de la puissance du laser.
Figure 1.7 – Densité spectrale estimée des sources de bruit attendue pour VIRGO
Le but de VIRGO est la détection des ondes gravitationnelles produites par des sources astrophysiques, dans
une bande de fréquence comprise entre 10 Hz et 10 kHz. L’utilisation des superatténuateurs permet l’élargissement de
la fenêtre de détection jusqu’à 10 Hz, avec une sensibilité prévue de :
~
h 6.10 21
Hz
limitée par le bruit thermique. Ceci augmente les chances de détection de signaux produits par la coalescence d’étoiles
binaires, et éventuellement de signaux périodiques, comme les pulsars. La sensibilité prévue à 1 kHz est :
~
h 6.10 23
Hz
qui devrait permettre la détection des signaux impulsifs, comme les supernovae, en coïncidence avec d’autres détecteurs
dans le monde.
13
1.4.4. Un réseau d’interféromètres
Un réseau d’antennes interférométriques permet d’éviter les faux signaux par corrélation. De plus, il autorise la
détermination des coordonnées de la source par triangulation.
Deux autres grands interféromètres de type VIRGO sont en cours de construction :
~
LIGO, aux Etats-Unis, constitué par deux interféromètres de 4 km de long
dans les états de Washington et de Louisiane. La construction de LIGO a
débuté en juin en 1995 et la
toute première acquisition des
franges d’interférence a eu lieu
en janvier 2002. Mais le
détecteur n’a pas encore atteint
sa sensibilité maximale : la
sensibilité effective mesurée à
300 Hz est de h 4.10 21 Hz alors que sa sensibilité finale devrait être
du même ordre de grandeur que VIRGO i.e. deux ordres de grandeurs plus
bas.
Et d’autres interféromètres légèrement plus courts compléteront le réseau :
GEO600 , prés de Hanovre en Allemagne, est un projet anglo-allemand. Il
s’agit d’un interféromètre de 600 m de long. La sensibilité attendue est
environ trois fois moindre que celle de VIRGO ou LIGO autour de 200 Hz.
Les premières données ont été acquises en
janvier 2002, en coïncidence avec LIGO.
TAMA, est un projet japonais d’un interféromètre
d7e 300 m de long, prés de Tokyo. Sa
construction a été achevée en 1999 et il a acquis
plusieurs séries de données, dont une de plus de
~
1000 heures en 2001. Sa sensibilité est actuellement de h 5.10 21
Hz à 1 KHz.
AIGO, est un interféromètre australien de 80m en
projet, implanté sut le site de Wallingup Plain
prés de Perth. La sensibilité est plus faible que
~
les autres interféromètres : h 10 19
Hz à 1 KHz.
Enfin on peut citer le projet de l’ESA et de la NASA d’interféromètre spatial : LISA.
En se libérant à la fois du bruit terrestre et des limitations d'emprise au sol le
projet LISA détectera les ondes gravitationnelles dans la bande de fréquence
entre 10-1 et 10-4 Hz inaccessible depuis le sol. LISA consiste en trois satellites
contenant chacun deux masses inertielles associées à deux télescopes de 38cm
d'ouverture et disposés aux sommets d'un triangle équilatéral de 5.106 km de
côté. La configuration des trois satellites est sur une orbite héliocentrique de
rayon 1 UA, suivant la Terre avec un retard de 20 jours.
14
2. L’état de l’art
2.1. Introduction
Une partie de l’activité du laboratoire ILGA est consacrée à des travaux de recherche sur l’optique de
l’interféromètre VIRGO. Le laboratoire travaille notamment sur la stabilisation en fréquence de la source laser et
l’alignement du faisceau laser dans l’interféromètre.
Il utilise notamment pour ce faire une technique de mesure d’écart de fréquence entre une source laser et une
cavité optique résonnante de référence utilisée pour stabiliser un laser en fréquence : la technique Pound Drever Hall
[7], et deux techniques de mesure du désalignement entre une source laser et une cavité optique résonnante : la
méthode Anderson [8] et la méthode Ward [9].
2.2. Stabilisation en fréquence : technique Pound Drever Hall
Cette méthode a été inventée pour stabiliser un laser en fréquence sur une cavité Fabry-Pérot de référence, et c’est
encore sa fonction première. Elle a été inventée par Ron Drever qui s’est basé à la fois sur les techniques micro-ondes
inventées par R.V. Pound, et sur les travaux de Jan Hall [10].
Un laser « light amplification by stimulated emission of radiation » est constitué d’une diode de pompage qui
agit sur un milieu actif placé dans un résonateur optique permettant l’amplification de la lumière. Le milieu actif, un
cristal ND :YAG par exemple, génère de la lumière cohérente par émission stimulée. Le résonateur optique qui est une
cavité optique résonante de type Fabry-Pérot. Elle permet de sélectionner la fréquence du laser comme étant la
fréquence de résonance de la cavité qui dépend du chemin optique à l´intérieur la cavité. Il est donc possible de régler la
fréquence du laser en agissant soit sur la longueur de la cavité, soit sur le chemin optique du cristal par effet thermique
par exemple. Une cavité Fabry-Pérot détermine également la nature gaussienne du faisceau (annexe A).
Etant donné que la réflectance et la transmittance d’une cavité Fabry-Pérot (annexe A) sont des fonctions paires de
la fréquence, l’intensité réfléchie ou transmise ne peut nous renseigner si la fréquence du laser est située avant ou après
la résonance de la cavité. De sorte qu’il est nécessaire que le système soit capable de donner la dérivée de l’intensité.
Un faisceau laser est modulé en phase par une cellule électro-optique à effet Pockels[x], la lumière réfléchie (ou
transmise) est recueillie par une photodiode rapide. Le signal d’erreur qui provient de la démodulation du signal
électrique issu de la photodiode est obtenu en faisant varier la fréquence du laser. Le procédé de démodulation consiste
à mélanger le signal de la photodiode avec le signal de modulation issu de l’oscillateur dont le déphasage est réglable,
auquel est ensuite appliqué un filtre passe-bas [11].
POCKELS CELL
LASER
LOCAL
OSCILATOR
PHASE SHIFTER
BEAM SPLITTER CAVITE OPTIQUE
PHOTODIODE
φ
Error signal
MIXER
LOW-PASS
FILTER
Figure 2.1 – Schéma de principe de la technique Pound DreverHall
Le signal d’erreur est une fonction impaire de l’écart de fréquence entre la fréquence du faisceau laser et la
fréquence de référence.
15
2.3. Alignement de cavités optiques résonantes : la méthode Anderson et la méthode Ward
Ces deux méthodes d’alignement sont des extensions de la méthode utilisée pour bloquer la fréquence d’un laser
sur une cavité (Pound Drever Hall), cette condition doit d’ailleurs être préalablement remplie pour ce faire.
Ces deux méthodes utilisent le même dispositif expérimental à l’exception du détecteur qui est ici une
photodiode à quadrant recueillant la lumière en réflexion de la cavité. Elles sont basées sur la modulation en phase du
faisceau laser incident sur la cavité. La première méthode a été développée à Caltech par D.Z.Anderson et la seconde
qui a été suggérée par Ron Drever à Caltech et a été démontrée expérimentalement par H.Ward de l’université de
Glasgow.
Un faisceau laser dans son mode fondamental TEM 00 (annexe A) qui est légèrement désaligné par rapport à la cavité,
crée un couplage à l'intérieur de la cavité entre le mode fondamental TEM 00 et le mode transverse TEM01 (annexe B)
avec un coefficient de couplage α qui dépend du
Z
déplacement transverse et de l’angle entre les axes de la
o
cavité et celui du faisceau laser [x].
a
w 0
( a, )
i
w0
(2-1)
Zc
a
où w0 est le paramètre de taille minimale du
col du faisceau de la cavité (annexe B).
Figure 2.2 – Désalignement transverse et angulaire d’un
faisceau laser par rapport à une cavité Fabry-Pérot
La distribution transverse de l’onde à l’intérieur de la cavité s’écrit comme une combinaison linéaire des deux modes de
la cavité.
( x, t )
0
U 0 ( x) e
2i 0 t
U 1 ( x) e
2i 0 t
(2-2)
2.3.1. La méthode Anderson
Pour cette méthode la fréquence de modulation de phase est choisie comme étant l’écart de fréquence δυ01 entre
le TEM00 et le TEM01 (annexe A). L’utilisation de la photodiode et de son électronique associée qui permet d’effectuer la
différence d’intensité Idiff entre les différents quadrants, donne accès au terme d’interférence entre le TEM 00 et le mode
transverse TEM01 [12]:
I
diff
I
0
a
w 0
cos( 201t )
sin( 201t )
w
0
(2-3)
Cette équation montre cette l’intensité à une composante en phase avec la démodulation en cos(01t ) proportionnelle
au désalignement transverse et une composante en phase avec la démodulation en sin( 01t ) proportionnelle au
désalignement angulaire. Ainsi on peut obtenir en démodulant le signal, i.e. en extraire le terme proportionnel à
cos(01t ) ou à sin( 01t ) chacun des désalignements.
2.3.2. La méthode Ward
Pour cette méthode, la fréquence de modulation de phase Ω n’est plus l’écart de fréquence δυ01. Dés lors un
terme supplémentaire intervient dans le procédé, c’est différence de phase de Gouy φ0(z) entre le mode fondamental
TEM00 et le mode transverse TEM01 (annexe B) qui dépend de la position longitudinale z du faisceau. L’intensité Idiff
dépend de la position de la photodiode, l’expression du signal démodulée en sin( 2t ) est [12]:
I
a
w 0
I 0
sin ( z )
cos ( z ) sin( 2t )
diff
w
0
avec
z
zR
0 arctan
(2-4)
Si l’origine du faisceau, où sin 0 , se situe sur le miroir de sortie de réflexion, le fait de positionner la photodiode
juste derrière ce miroir rend la technique uniquement sensible au désalignement angulaire. A une grande distance du
miroir, , le système devient sensible au déplacement seul.
2
16
3. Les travaux spécifiques de recherche
Les travaux présentés ici concernent la modélisation de procédés de métrologie optique visant à déterminer de
manière précise la fréquence du premier mode transverse d’une cavité Fabry-Pérot. Ces procédés sont basés sur la
technique Pound Drever Hall et utilisent pour cela la propriété de couplage entre le TEM 00 et le TEM01 générée par le
désalignement entre la source laser et la cavité. Ils s´apparentent en cela aux deux méthodes de mesure du
désalignement citées précédemment mais avec un but différent.
3.1. Technique Pound Drever Hall
3.1.1. Signal d’erreur
La première phase de ces travaux consiste à modéliser la technique Pound Drever Hall, étape après étape, de la
modulation de phase à la fréquence νm à l´obtention du signal d’erreur (annexe C), en considérant soit la lumière en
réflexion soit la lumière en transmission de la cavité. Le signal d’erreur doit permettre de donner l’écart de fréquence
υ(t)= υ0(t)-νp entre la fréquence υ0(t) que l’on fait varier et celle de la cavité de référence νp.
Cavité νp
Fabry-Pérot
υ0(t)
Technique
Pound Drever Hall
serreur [Δυ(t)]
νm
Laser
Cela nécessite de définir au préalable un modèle de comportement en fréquence de la cavité Fabry-Pérot en réflexion :
la réflectance de la cavité (annexe B-2), et en transmission : la transmittance (annexe B-3) qui dépendent des
transmitivités, réflexivités et pertes des deux miroirs, ainsi que des paramètres géométriques de la cavité.
Une forme analytique approchée dépendant des paramètres de la cavité et du choix sur la fréquence de modulation, avec
la condition où le faisceau laser est proche de la résonance de la cavité, est extraite de la modélisation de la technique.
Cette expression analytique approchée est fondée sur une forme approximée de la transmittance et de la réflectance de
la cavité au voisinage de la résonance.
Cette première modélisation définit également le raisonnement et la méthode de modélisation qui seront
appliqués dans la suite.
3.1.2. Fonction de transfert entre bruit de fréquence et signal d’erreur
Laser
υ0
υ0 υn(t)
Cavité υ0
Fabry-Pérot
Technique
Pound Drever Hall
νm
Cette première modélisation est complétée par la modélisation d’une méthode originale qui consiste à définir la
fonction de transfert entre un bruit de fréquence υn(t) sur le faisceau laser stabilisé sur une résonance de la cavité i.e.
υ0 = νp et le signal d’erreur de la technique Pound Drever Hall (annexe C-8). Cette fonction de transfert est un filtre dont
est également extrait une forme analytique approchée.
FT [υn(t)]
serreur
3.2. Méthodes de mesure de la fréquence du TEM01
Pour une cavité plano-concave, l’écart de fréquence ν01 est lié au rayon de courbure R du miroir non plan par
la relation :
1
L
(3-1)
01 ar cos 1 ISL
R
Le rayon de courbure peut évoluer au cours du temps sous l’effet de la dilatation de son matériau, dont l’une des causes
est le transfert thermique entre faisceau laser et le miroir. Ainsi on peut s’attendre à trouver dans le signal d’erreur ou
dans la fonction de transfert, une composante temporelle ν01(t) donnant indirectement la variation du rayon de
courbure du miroir au cours du temps. La variation de l’écart de fréquence entre les modes TEM01 et TEM00 est liée à
la variation du rayon de courbure par la relation:
R (t )
R
1
L ( 01 (t ))
R
ISL
(3-2)
17
3.2.1. Signal d’erreur
Dans le prolongement de cette première phase, une seconde phase de modélisation qui s’inspire des méthodes
Anderson et Ward de mesure de désalignement, a été menée dans le but de déterminer la fréquence du TEM 01 d’une
cavité Fabry-Pérot : νp + ν01(t). (annexe D-1-3)
Laser
υ0
α
Cavité
Fabry-Pérot
Technique
Pound Drever Hall
νm
Tout comme ces deux méthodes de mesure du désalignement, il est nécessaire que le faisceau laser soit
stabilisé sur la résonance de la cavité afin que le signal d’erreur ne soit sensible qu’aux variations de fréquence
ν01(t) entre le TEM01 et la fréquence de résonance de la cavité, et non pas aux variations de l’ensemble i.e.
υ(t)+ ν01(t). De plus, tout comme les méthodes Anderson et Ward, on s’attend à ce que le signal d’erreur
recherché soit proportionnel au coefficient de désalignement α (2-2) ou à sa valeur quadratique |α|² <<1 (2-3), ce qui
nécessite là encore, pour une question d’ordre de grandeur, que le laser soit stabilisé sur une fréquence de résonance de
la cavité, car cela se manifeste par un signal d’erreur inhérent à la stabilisation en fréquence nul.
serreur [δν01(t)]
ν01(t)
De la modélisation de cette seconde phase, sont extraites les expressions analytiques approchées qui dépendent les
possibilités offertes par le choix sur l’origine de la lumière (en réflexion ou en transmission) recueillie par la
photodiode (à quadrant ou pleine) .
3.2.2. Fonction de transfert entre bruit de fréquence et signal d’erreur
Laser
υ0
υ0 υn(t)
Cavité υ0
Fabry-Pérot
Technique
Pound Drever Hall
νm
Dans un premier temps, il s’agit de simuler grâce au modèle existant, la fonction transfert de la technique
Pound Drever Hall en procédant comme précédemment, et en prenant en compte le désalignement du faisceau laser sur
la cavité (annexe D-4).
La seconde étape consiste à identifier les conséquences de ce désalignement dans la modification du filtre, et
d’en tirer partie, puis d’en extraire une relation analytique approximée.
FT [υn(t)]
serreur
ν01(t)
Ces travaux ont été réalisés en explorant les possibilités offertes par le choix de l’origine de la lumière en sortie
de la cavité et du choix du type de photodiode et de son traitement associé.
18
4. Les résultats
4.1. Modélisation de la technique Pound Drever Hall
4.1.1. Modélisation du signal d’erreur
Le signal d’erreur modélisé est une fonction impaire de l‘écart de fréquence entre la fréquence du laser et la
fréquence de résonance de la cavité. Ce qui permet inversement en pratique, de retrouver la position de la fréquence du
laser par rapport à la cavité de références, sous réserve, comme on peut le voir ci-dessous, que l´écart soit inférieur à la
largeur de résonance δνFWHM .
ν0 -νm
ν0 +νm
δνFWHM
Figure 4.1 – Signal d’erreur en réflexion d’une cavité Fabry-Pérot: P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=210-4; νm=0.2 ΔνISL
On peut remarquer que l’on a deux autres signaux d’erreur aux fréquences ν0 νm, où νm est la fréquence de
modulation de phase du faisceau laser. Ce qui impose que les bandes en ν0 νm doivent être loin de la résonance, pour
qu’un signal d’erreur utilisable ressorte de la technique. Cette condition peut également être exprimer par le fait que la
fréquence νm doit être supérieur à la demi-largeur de la cavité δνHWHM . A noter également que le signal d’erreur est nul
lorsque le laser est stabilisé sur la résonance de la cavité Fabry-Pérot.
Cette modélisation donne des résultats semblables aux travaux présentés par E. Black dans sa note sur la
technique Pound Drever Hall [x]. Les caractéristiques pratiques énoncées ici sont semblables aux recommandations
présentées dans la note du laboratoire de Caltech présentant la technique [x].
Approximation prés de la résonance
Prés de la résonance de la cavité, il est possible de déterminer par développement limité, une forme analytique
approchée des signaux d’erreur en réflexion et en transmission de la cavité :
[démodulé en (sinus)]
δνFWHM
[démodulé en (cosinus)]
δνFWHM7
Figure 4.2 – Signaux d’erreur en réflexion et en transmission d’une cavité Fabry-Pérot :
P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=210-4; t2= 10-3 ; νm=0.2 ΔνISL
19
Les expressions analytiques approchées obtenues de la modélisation des signaux d’erreur en réflexion et en
transmission correspondent aux résultats proposés par E. Black [x], ainsi qu’à ceux issus des travaux de F. Bondu [x]
sur la stabilisation en fréquence du laser du détecteur interférométrique d’onde gravitationnelle VIRGO.
s ref ( ) mP 0
où
(2 ).2 F
1 4 F ² ²
(4-1_a)
et
strans()m
P
0
t2 ²
(2F )
14F²²
(4-1_b)
: écart aux résonances ;
F : finesse de la cavité ;
σ : couplage de la cavité ;
ISL
P0 : puissance de la source laser ;
m : indice de modulation.
Dans le domaine de fréquence limité par la largeur de résonance δνFWHM , les signaux d’erreur en réflexion et en
transmission peuvent être considérés comme linéaire avec des pentes respectives qui s’expriment en fonction des
paramètres de la cavité :
s
pente
ref
mP 0 ( 2 ) 2 F
(4-2_a)
s
et
pente
trans
m
P
0
t 2 ² (2 F )
(4-2_b)
Ainsi la connaissance de ces paramètres de la cavité de référence permet inversement de retrouver dans le signal
d’erreur la fréquence du laser.
4.1.2. Modélisation de la fonction de transfert entre bruit de fréquence et signal d’erreur
La modélisation de la fonction de transfert entre un bruit sur la fréquence de la source laser stabilisée sur la
résonance de la cavité de référence et le signal d’erreur (en bleu), est un filtre passe-bas dont la fréquence de coupure
δνHWHM est la demi-largeur du pic de réflexion de la cavité (annexe C-8-2). On peut remarquer qu’elle possède deux
trous aux fréquences issues des bandes de modulation en ν0 νm , ce qui est confirmé expérimentalement par des
mesures effectuées par le laboratoire.
Approximation
La forme analytique approximée (en rouge) qui est
extraite de cette modélisation décrit un filtre passe
bas :
~
H (
n
) mnP 0 ( 2 )2 F
1
1 2iF
(4-3)
n
dont la fréquence de coupure est également :
c
δνHWHM
ν0 - νm
ν0 + νm
ISL
2F
HW HM
Ce qui confirme l’idée que la technique Pound
Drever Hall délivre un signal sensible aux petits écart
de fréquence.
Figure –4.3 – Fonction de transfert du signal Pound Drever en réflexion :
P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=2 10-4 ; p=210-4
20
4.2. Modélisation des méthodes de mesure de la fréquence du TEM01
4.2.1. Modélisation de signaux d’erreur
En un point donné x de la surface de la photodiode, le signal d’erreur obtenu à l’issu de la modélisation de la
technique Pound Drever Hall, où le faisceau laser est désaligné par rapport à l’axe de la cavité, se présente sous la forme
d’une somme de trois signaux d’erreur :
2
2x
2x
S erreur ( 01(t ), m) 2
Fct[ S erreur ( 01(t ), m , , 0)
S erreur ( 01(t ), x) G( x) S erreur ( 0) ²
w( z )
w( z )
=0
(4-4)
Terme d’interférence
Où G(x) est le profil gaussien du mode fondamental et W(z) est la taille du faisceau.
Le premier signal correspond au signal donnant l’écart de fréquence entre le laser et la cavité, il est donc nul car on
a supposé que la fréquence de la source laser est parfaitement stabilisée sur la résonance de la cavité.
Le second signal qui est proportionnel à la valeur quadratique du coefficient de désalignement α, donne la position
de la fréquence du TEM01 par rapport à la fréquence υm de modulation de phase du laser.
Enfin le troisième signal est une forme plus complexe donnant également la position de la fréquence du TEM 01 par
rapport à υm , mais dépend d’une relation de phase entre le coefficient α et la différence de phase de Gouy φ0 entre le
mode fondamental et le premier mode transverse.
En intégrant sur toute la surface du détecteur
Si l’on intègre ce signal sur toute la surface du détecteur, le terme d’interférence le TEM 01 et le TEM01 disparaît
car seule sa composante décrivant son profil gaussien transverse est impaire. La modélisation montre que l’on peut
obtenir des signaux d’erreur te type Pound Drever Hall, en choisissant la phase de démodulation du signal ainsi :
Figure 4.4 – Signaux d’erreur en réflexion et en transmission obtenus en intégrant sur tout le détecteur en fonction de ε m
P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=2 10-4 ; t2= 10-3
Pour des petits écarts de fréquence, les signaux d’erreur peuvent là encore être considérés comme linéaires. Les
expressions analytiques approchées de cette modélisation montre que les pentes respectives en réflexion et en
transmission sont toutes deux négatives :
m
S pente
ref
2
P
avec
0
2 (2 )2 F
m
m 01
m
et
(4-5_a)
et
S pente
t 2 ² P 0 m ²(2 F )
trans
2
(4-5_b)
m
ISL
Le signal d’erreur de cette méthode présente le désavantage d’être proportionnelle à |α|² <<1, ce qui rend en pratique
son obtention par la technique Pound Drever Hall difficile.
21
En utilisant une photodiode à quadrant
L’utilisation d’une photodiode à quadrant permet de regarder
uniquement le terme d’interférence entre le mode fondamental et le premier
mode transverse. Ceci est possible grâce à l’électronique associée à la
photodiode qui effectue la différence entre les puissances recueillies des
parties 1 et 2. Le résultat ne contient dés lors que les termes de puissance
transverses impairs.
Les signaux d’erreur obtenus de cette modélisation dépendent de la
relation de phase entre le coefficient α qui est fixe et de la différence de
phase de Gouy φ0 qui dépend de la distance z entre la photodiode et le col du
faisceau de lumière en sortie de la cavité.
y
2
1
x
Figure 5 – Photodiode à quadrant
Figure 4.5 – Signal d’erreur en réflexion obtenu en utilisant une photodiode à quadrant en fonction de ε m et φ0
P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=2 10-4
L’extraction d’une forme analytique montre qu’il est possible d’obtenir un signal d’erreur de type Pound Drever Hall,
sous certaine condition variable selon la phase de démodulation, par exemple en réflexion de la cavité, issu de la
démodulation en sinus (υm)on peut avoir par exemple :
S erreur
ref
m
4
2
P
a
w 0
(2 ).2 F m
cos
sin
( 1)
0
0
0
w0
1 4 F ² ² m ²
si le déphasage de Gouy φ0 remplie la condition :
tan 0
aw 02
(4-6)
Le montage dit de télescope de phase de Gouy permet de régler ce déphasage, ce qui laisse penser que cette méthode est
expérimentalement réalisable.
4.2.2. Modélisation de la fonction de transfert entre bruit de fréquence et signal d’erreur
Technique Pound Drever Hall classique
La modélisation de la fonction de transfert entre un bruit sur la fréquence de la source laser et le signal d’erreur
de la technique Pound Drever Hall dans le cas où :
- le laser est stabilisé sur la résonance de la cavité de référence,
- le faisceau laser est désaligné par rapport à l’axe de celle-ci,
- le détecteur est une photodiode pleine.
Se présente sous la forme d’un filtre passe bas de même fréquence de coupure δνHWHM .
22
Elle possède des trous dont l’un notamment se situe à la fréquence du premier mode transverse en ν0 + δν01 que le
modèle permet d’identifier parfaitement. Ce type de trous a été constaté lors de la réalisation expérimentale de cette
fonction de transfert.
En opérant par identification de termes, il a été possible de déterminer une expression analytique approchée de
la valeur relative de ce trou [FTdésaligné/FTclassique] (annexe D-4-1) :
~
H
(
)
01
1
~
H
(
1
²
(4-7)
2
)
01
ce qui participe à son identification.
νp+1 - νm
νp+1 - νm - δν01 νp+1 - νm + δν01
νp + νm
νp + νm - δν01 νp + νm + δν01
νp + δν01
δνHWHM
Figure 4.6 – Fonction de transfert du signal Pound Drever en réflexion d’une cavité désalignée avec un coefficient de désalignement |α|² = 1.
Technique Pound Drever Hall avec photodiode à quadrant
La modélisation de cette fonction de transfert a également été réalisée, elle se présente comme un filtre passe
bas de même fréquence de coupure δνHWHM , mais dont il n’est pas simple de tirer une règle décrivant la distribution des
pics et bosses issus des combinaisons des fréquences en ν0 ,δν01 , νm , qui dépend du déphasage issu de la phase de
Gouy et du coefficient de désalignement. Extraire de cette modélisation une méthode de mesure de la fréquence du
TEM01 paraît donc difficile.
23
Conclusions et perspectives
Les simulations menées ici ont pu montrer qu’il était théoriquement possible de mettre la Technique Pound Drever
Hall au profit de la mesure de la fréquence du premier mode transverse d’une cavité Fabry-Pérot, et cela en employant
trois manières différentes au moins. Ces méthodes peuvent être également employées à la mesure du désalignement.
Dans le cadre d’une collaboration avec LIGO, l’équipe américaine comptait effectuer sur leur interféromètre, une
manipulation semblable à la méthode décrite en 3.2.2. Hélas, l’acquisition de la fonction de transfert (entre bruit sur la
fréquence du laser stabilisée et signal d’erreur de la technique Pound Drever Hall) n’a pu ce faire faute de temps.
Durant ce stage, j’ai pu me confronter à ce que peut être un travail de recherche théorique qui concerne la
modélisation de processus physique. C’est une tâche qui comporte des difficultés dans la définition et le développement
du sujet, mais qui en contre partie, permet d’acquérir des connaissances sur le domaine en particulier, et aussi sur les
outils mathématiques et informatiques employés pour cela. A mon grand regret, il n’a pas été possible de concevoir un
banc optique pour valider ces modélisations et apporter un aspect expérimental à ce stage.
24
Annexe A
Les modes Hermite-Gauss de propagation libre
A-1 Approximation paraxiale
Les champs électromagnétiques dans le vide obéissent à l’équation de diffraction de Helmholtz [6] :
² k ² ( x, y, z) 0
où E ( x, y , z ) est l’amplitude du champ électromagnétique. On considère ici des champs qui se propagent
selon la direction z. Il est alors pratique de réécrire l’équation précédente avec :
( x, y, z ) U ( x, y, z)e ikz
avec
k
2
où on extrait de E(x,y,z) l’opérateur de propagation e-ikz. Dans l’hypothèse où la dépendance en z de
( x, y, z) est faible devant la dépendance en x et y, on peut écrire l’équation de diffraction sous la forme suivante :
²U ²U
U
2ik
0
x ²
y ²
z
qui est appelée équation de diffraction dans l’approximation paraxiale.
A-2 Mode fondamental Gaussien
On peut chercher des solutions à symétrie cylindrique de l’équation de diffraction paraxiale sous la forme :
U ( x, y, z ) A( z )e
on trouve alors :
q( z ) z q 0
et :
A( z ) q( z )
A0
q0
ik
x² y ²
2q ( z )
où q(z) est le rayon de courbure complexe du faisceau, en posant :
q 0 iZ R i
où
zR
w 0 ²
w 0 ²
est longueur de Rayleigh et w col du faisceau.
0
On peut séparer la partie réelle et la partie imaginaire de la courbure du faisceau:
1
1
i
q ( z ) R( z )
w²( z )
Après normalisation la solution prend alors la forme [16] :
U ( x, y , z )
x² y ²
x² y ²
i ( z )
1
i
e
e 2w²( z ) e
2 R( z )
w( z )
2
25
Cette expression décrit les faisceaux de profil Gaussien qui s’exprime en fonction des paramètres le décrivant :
w( z ) w 0
R( z ) z
1
1
R
2
largeur de faisceau
z
z
2
z
z R
rayon de courbure de l’onde
z
( z ) arctan
zR
la phase de Gouy
En z = 0 la taille du faisceau est minimum w( z 0) w et le rayon de courbure est R ( z ) .
0
R(z)
W(z)
W0
Z
Z=0
Figure A-1 – Caustique du faisceau Gaussien
Intensité :
L’intensité d’une onde électromagnétique est définie comme étant le module au carré de l’amplitude de l’onde :
I ( x, y ) ( x, y ). * ( x, y )
2
0
U ( x, y ) 2
Ce qui permet de définir le profil Gaussien d’intensité (figure B-3) comme étant la fonction :
G ( x, y , z ) U ( x, y , z )
1
2
soit :
2
2 2
e
G( x, y )
w²( z )
x² y ²
w²( z)
L’amplitude suivant l’un des axes transverses de ce mode fondamental Gaussien ou TEM 00 est une fonction
paire (figure B-2) .
Figure A-2 – Amplitude de l’onde suivant l’axe Ox
Figure A-3 – Profil d’intensité du faisceau Gaussien en z=0
26
A-3 Modes Gaussien transverses
Les fonctions modales d’Hermite-Gauss sont solutions de l’équation de propagation libre des ondes électromagnétiques
dans l’approximation de l’enveloppe lentement variable. Une onde décrite suivant un mode électromagnétique
transverse {TEMmn}s’écrit sous la forme [16]:
mn
( x, y , z )
mn
U m ( x, z ) U n ( y , z ) e
0
ikz
Et où les termes spatiaux sont fonctions des polynômes d’Hermite H
U
2
( x, z )
m
w²( z )
1
4
1
1 2
H
2 m m!
m
avec
m
m,n entier.
x :
k .x ²
x²
1
i
2 x
i m ( z )
e
e
e
2
w( z) w²( z) 2R( z)
Relation d’orthogonalité des polynômes d’Hermite
U
( x ).U
m
( x)
n
*
dx mn
Ces deux remarques concernent le terme d’interférence entre le mode fondamental et le premier mode
transverse.
Remarque (1) : conventions de déphasage.
L’amplitude du mode fondamental TEM00 est déphasée de l’amplitude du TEM01 d’un angle φ0 tel que :
U
0
( x).U
*
1
2x
i 0
( x)
w( z )
G ( x)e
avec
0
z
arctan
zR
Remarque (2) : amplitude intégrée sur le demi-axe transverse :
Soit l’amplitude I intégrée sur le demi-axe x qui est définie par :
U
0
I
0
( x).U
1
( x)
*
dx
D’après () elle s’exprime par :
I
0
I
2
2x
w( z )
0
2
e
w²( z )
2x
e
w²( z )
en posant :
2 x²
w²( z )
dx
2 x²
w²( z )
dx
x²
w²( z )
soit :
d
2x
dx
w²( z )
on a :
I
2
0
e
2
d
1
2
2
27
Le premier mode transverse : TEM 01
Sachant que
H
1
x 2 x , le terme spatial suivant une direction transverse s’écrit :
1
U
4 2x
2
( x, z )
e
1
w
²(
z
)
w
(
z
)
k .x ²
x²
3
i
e
w²( z ) 2 R( z ) e i 2
( z)
x
W(z)
W0 / 2
R(z)
Z
Z=0
Figure A-4 – Caustique du premier mode transverse
L’amplitude suivant cette direction transverse est donc une fonction impaire (figure B-4) . Et le profil du
TEM01 (figure B-4) est défini comme étant la fonction :
2
2 x y
U ( x, y, z )
2 w( z )
G ( x)
Figure A-5 – Amplitude de l’onde suivant l’axe Ox du TEM01
Figure A-6 – Profil d’intensité du TEM01 en z=0
28
Annexe B
Les cavités Fabry-Pérot
Le but de cet appendice est d’énoncer les propriétés principales des cavités Fabry-Pérot et d’en établir les
expressions analytiques et leurs approximations.
B-1. Introduction
Considérons une cavité Fabry-Pérot formée par les par deux miroirs M1 et M2,de réflectivité et de transmittivité qui
sont respectivement r1, r2 , t1 et t2. Ces quantités sont liées aux pertes respectives p1 et p2 des deux miroirs par les
relations :
r1² t1² 1 p1
r 2² t 2² 1 p 2
et
Une onde monochromatique incidente de fréquence qui est décrite par le nombre complexe :
a( z, t )
e
o
i 2t
subit de la part des miroirs une succession de réflexions et transmissions où les termes de réflectivités sont
normalement des nombres complexes, chaque miroir produisant un déphasage fixe qui dépend du revêtement déposé.
Cette phase n’apportant rien à notre propos, r1 et r2 sont supposés réels. La figure suivante décrit les conventions de
signe pour la réflexion et la transmission en amplitude
ψa
r1
t1 ψb
r2
ψc
t2
ψd
2. L
L
-r1
Figure B-1 - Cavité Fabry-Pérot
La propagation simple de l’onde sur une distance L nous permet d’écrire la relation sur le terme d’amplitude :
a( z L)
a( z)
e ikL avec
Ce qui permet d’écrire les équations suivantes :
Il vient immédiatement :
b
t1
c
r1
d
t 2 e ikL
b
c
d
a
r1r 2 e 2ikL
a
t1r 2 e 2ikL
k
2
c
b
b
b
t1
1 r 1r 2 e 2ikL
a
r1 r 2(r1² t1²)e 2ikL
1 r1r 2 e 2ikL
t1t 2 e ikL
1 r1r 2 e 2ikL
a
a
29
B-2. Réflectance d’une cavité Fabry-Pérot
La réflectance est définie comme étant le rapport d’amplitude complexe entre l’onde incidente et l’onde réfléchie
par la cavité. Ce coéfficient dépend de la fréquence de l’onde incidente.
c
R
a
C’est une fonction qui traduit le phénomène de résonance et l’on définit l’écart entre deux résonances qui est appelé
intervalle spectral libre par :
ISL
C
2L
Elle peut s’exprimer sous la forme :
R( )
r1 (1 p1)r 2
1 r1r 2
A une résonance, i.e. où :
p ( p 1 )
2
e
e
2 i .
ISL
2 i .
ISL
ISL
la réflectance de la cavité est minimum :
R( ) r
p
1
(1 p1)r 2
1 r1r 2
Près d’une résonance :
Lorsque la fréquence du faisceau incident est proche d’une résonance, i.e. où p , la réflectance peut
s’exprimer par le développement limité au premier ordre en fonction du paramètre ε qui est l’écart aux résonances.
R( ) 1 2iF
1 2iF
r1r 2 1
Avec les approximations :
p
ISL
F : finesse de la cavité
F
(1 p1)r 2 2 (1 p)
et où :
avec
p : pertes de la cavité
F
σ : coefficient de couplage
r2 1
δνFWHM
On peut noter les expressions :
R( ) [ 1 4 F ² ²] i.[( 2 ).2 F ]
Partie réelle et partie imaginaire
R( ) ² 1 (2 )
Module au carré
1 4 F ² ²
1 4 F ² ²
Figure B-2 – Module et phase de la réflectance d’une cavité Fabry-Pérot: L=1m ; F =50 ; p=2 10-4
30
B-3. Transmittance d’une cavité Fabry-Pérot
La transmittance est définie comme étant le rapport d’amplitude complexe entre l’onde incidente et l’onde transmise par
la cavité.
T
d
a
La transmittance s’écrire sous la forme :
t 1t 2
e
T ( )
1 r1r 2.e
A une résonance la transmittance de la cavité est maximum :
T (p) (1) p 1i
i .
ISL
2 i .
ISL
t1t 2
1 r1r 2
Près d’une résonance :
De même que pour la réflectance, la transmittance peut s’exprimer par le développement limité au premier
ordre en fonction du petit paramètre ε :
T ( ) (1) p 1
On peut noter :
T ( ) (1) p 1
2F
2F
t2
t2 i
(1 i . )
1 2iF .
[( 2 F ) ] i[1 2F ²]
1 4 F ² ²
avec :
t1
2
F
Partie réelle et partie imaginaire
Loin d’une résonance :
Les ondes transmises loin des résonances n’ont pas le même déphasage selon leur position en fréquences :
- avant une résonance p :
T ( ) (1) p
-
après une résonance p :
T ( ) (1) p 1
avec t 2
2F
δνFWHM
Figure B-3 – Module et phase de la transmittance d’une cavité Fabry-Pérot: L=1m ; F =50 ; p=2 10-4 ; t2= 10-3
31
B-4. Conditions de résonance
Une onde incidente
-
a
résonne dans la cavité de longueur L, si elle satisfait aux deux conditions suivantes :
Condition sur la phase : L’onde à l’intérieur de la cavité doit interférer de manière constructive avec
b
elle-même au bout d’un aller retour.
-
Conditions géométriques : Les paramètres géométriques du faisceau incident doivent correspondre à ceux
de la cavité.
Condition sur la phase
Les ondes décrites par les modes Hermite-Gauss {TEMmn} (annexe A) sont solutions de l’équation de propagation à
l’intérieur de la cavité. La condition de résonance sur la phase qui en résulte peut s’écrire [16]:
( L)
2kL 2m n 1
où
2p
avec p entier.
(z ) est la phase de Gouy de l’onde.
Cette condition décrit les fréquences de résonances ainsi :
1
1
mnp p
m n 1
2
c
avec :
qui est appelé Intervalle Spectral Libre.
ISL
2L
( L)
ISL
ISL
m n 1
m n 2
mn 3
m n 1
m n 2
mn 3
p
p 1
Figure B-4 – Fréquences de résonance
On peut montrer que le décalage en fréquence entre deux modes successif dépend des paramètres de la cavité. La
fréquence du mode TEM01 est décalée du mode fondamental TEM00 :
01 001
avec
01
1
ar cos g 1 .g 2 ISL
et
g i 1
L
Ri
A noter que pour une cavité plano-concave où :
R1
la variation de l’écart de fréquence entre les modes TEM01 et TEM00 , est :
01
ISL 1
1
R
L
R 2
1
2
R2
32
Si l’on envoie un faisceau Hermite-Gauss dans un mode fondamental que l’on fait varier en fréquence, l’intensité
transmise traduit ce phénomène de résonance par des pics d’intensité de largeur à mi-hauteur δνFWHM qui dépend des
paramètres de la cavité.
Figure B-5 – Intensité transmise aux résonances d’une cavité Fabry-Perot
On définit la finesse de la cavité par le rapport :
F
ISL
FWHM
Conditions géométriques
Les cavités Fabry-Pérot sont en réalité formées de deux miroirs courbes. La caustique de l’onde à l’intérieur de la
cavité suit naturellement suivre les conditions imposées par les deux miroirs i.e. que le rayon de courbure R(z) de
l’onde en z1 et z2 doit correspondre aux rayons de courbures des deux miroirs.
W0
R1
R2
R(z)
Z1
Z2
Zc
Z=0
Figure B-6 – Géométrie de faisceau dans une Cavité Fabry-Perot
Dans une cavité Fabry-Pérot, la forme du faisceau passe par un col W0 dont la taille :
1
w0
et la position :
z1
L g 1 g 2(1 g 2 g 1) 4
g 2 g 1 2 g 1 g 2
g 2(1 g1)
L ;
g 2 g1 2 g1g 2
z2
g1(1 g 2)
L
g 2 g1 2 g1g 2
dépendent des paramètres géométriques de la cavité.
Les conditions géométriques de résonance imposées à l’onde incidente sont donc :
- l’alignement : son axe de propagation doit correspondre à l’axe optique de la cavité,
- le matching : la forme du faisceau doit correspondre aux conditions imposées par la géométrie de la cavité.
33
Annexe C
La technique Pound Drever Hall
Cet appendice concerne la modélisation de la méthode d’obtention d’un signal d’erreur permettant de mesurer
l’écart entre la fréquence d’une source laser et la fréquence du mode fondamental d’une cavité Fabry-Pérot résonante
appelée technique Pound-Drever-Hall [11]. Les modélisations présentées ici sont en partie basées sur les modèles
concernant les cavités Fabry-Pérot détaillées en annexe A.
C-1 Introduction
Un faisceau laser est modulé en phase par une cellule à effet Pockels [17], et la lumière réfléchie (ou
transmise) est recueillie par une photodiode rapide. Le signal d’erreur qui provient de la démodulation du signal
électrique issu de la photodiode est obtenu en faisant varier la fréquence du laser. Le procédé de démodulation consiste
à mélanger le signal de la photodiode avec le signal de modulation issu de l’oscillateur dont le déphasage est réglable,
auquel est ensuite appliqué un filtre passe-bas.
BEAM SPLITTER CAVITE OPTIQUE
POCKELS CELL
LASER
LOCAL
OSCILATOR
PHOTODIODE
φ
PHASE SHIFTER
Error signal
MIXER
LOW-PASS
FILTER
Figure C-1 – Schéma de principe de la technique Pound
Drever Hall
C-2 Modulation en phase du laser
L’onde modulée en phase par la cellule Pockels s’écrit sous la forme :
(t )
0
e
i 2 0 t m. sin( 2 m t )
m : indice de modulation
En utilisant le développement en fonction de Bessel, où :
e
i a sin( t )
J (a)
n
e
int
n
L’onde modulée s’écrit comme étant la somme de trois ondes, une porteuse et deux bandes latérales :
(t )
0
J 0(m) e
2i 0 t
J 1(m)e
2i ( 0 m)t
J 1(m)e
2i ( 0 m)t
0 m 0 0 m
Figure C-2 – Fréquence du laser et fréquences des bandes de modulation
34
Dans la suite on considérera que le facteur de modulation est petit : m<<1. Le développement au premier ordre des
fonctions de Bessel où :{ J 0 ( m) 1 et J 1( m) m }, permet d’écrire l’onde modulée sous la forme :
2
(t )
0
e
2i 0 t
m 2i ( )t
0
m
e
2
m 2i ( )t
0
m
e
2
C-3 Transmission et Réflexion par une cavité Fabry-Pérot
Prenons une fonction qui peut être soit la transmittance ou la réflectance de la cavité Fabry-Pérot. On peut
exprimer l’onde réfléchie ou transmise par la cavité par :
(t )
out
0
(
).e
0
2i 0 t
m
2i 0 m t
.( 0 m).e
2
m
2i 0 m t
.( 0 m).e
2
La puissance de sortie prend alors la forme:
P
out
P
0
2
2
2
m²
m²
( )
(
)
(
)
0
0
m
0
m
4
4
*
*
m
2i m t
(
).
(
)
(
).
(
)
e
2
0
0
m
0
0
m
*
m
*
*
2i m t
( 0). ( 0 m) ( 0).( 0 m) e
2
Sachant que :
*
z i z i
e
e
Re ( z ) cos Im ( z ) sin
2
2
et en posant :
(
0
termes ( 2 m )
*
*
, m ) ( 0). ( 0 m ) ( 0).( 0 m )
Et en ignorant les termes en ( 2 ) , on obtient l’expression de la puissance de sortie :
m
P
out
P
0
2
m²
( 0 m) 2 m² ( 0 m) 2
( 0)
4
4
Re ( 0 , m) cos( 2 . m t ) Im ( 0 , m) sin( 2 . m t )
m
C-4 Procédé de démodulation du signal
Afin d’extraire les parties non continues de la puissance de sortie, celle-ci est « mélangée » avec un autre signal
de même fréquence mais de phase qui peut être différente.
Si la puissance de sortie s’exprime comme étant la somme d’un terme continu et de deux termes non continus l’un
fonction d’un { sin( 2 . t ) }et l’autre d’un { cos( 2 . t ) }, alors le signal démodulé devient :
m
m
AC
AC
P sin cos P cos sin
P DC P AC sin( 2 . t ) P AC cos( 2 . t ) sin( 2 . t ) 1 P AC sin( 4 . t ) P AC cos( 4 . t )
sin
m
cos
m
m
cos
m
sin
m
2
P DC sin( 2 . t )
m
35
Ainsi en appliquant un filtre passe bas dont le pôle << νm à ce signal démodulé, on obtient un signal qui contient
uniquement la partie non continue de la puissance de sortie.
A noter que l’on peut retrouver plus facilement les coefficients en sin et en cos du signal démodulé-filtré
en développant les termes non continus.
P
AC
sin
: sin( 2 t ). cos cos( 2 t ). sin sin( 2 t ) 1 cos cos( 4 t )
m
m
m
m
P
AC
cos
: cos( 2 t ). cos sin( 2 t ). sin sin( 2 t ) 1 sin sin( 4 t )
m
m
m
m
2
2
C-5 Rapport signal à bruit
La source principale de bruit de cette technique est le bruit de photon exprimé en (1.4.2). On peut montrer que le rapport
signal/bruit s’exprime par :
R
S/B
P
1
2h 0
exprimé en
AC
P
Hz
DC
C-6 Signal d’erreur en réflexion
On se place dans le cas où la fréquence du laser est proche d’une résonance, et les bandes latérales de modulation
sont loin d’une résonance:
p
0 m
p 1
ISL
0 m
0
Figure C-3 – Fréquence du laser et bandes de modulation apposées aux fréquences de résonance de la cavité
0 p
Soit :
m FW HM
et
Dans ces conditions on peut approximer les réflexions des bandes latérales de modulations, ce qui permet d’extraire une
forme analytique du signal d’erreur.
Les bandes latérales sont quasiment totalement réfléchies sans déphasage.
R (
0
m
) 1
Dans ce cas :
(
0
*
, m) R( 0). R ( 0) 2
i Im R( )
0
Dans le cas où m<<1, la puissance de sortie s’écrit :
P
out
P
0
2
R( 0 ) 2 m
Im R(
0
) sin( 2m t )
soit en développant cette expression en fonction du petit écart aux résonances :
ISL
on trouve :
P
out
.(2)
(2).2F
P0 1
2m
sin( 2mt)
14F²²
14F²²
36
En démodulant-filtrant la puissance de sortie en sin(2πνmt) selon le procédé évoqué précédemment, on obtient le signal :
s ref ()mP0
(2).2F
14F²²
δνFWHM
Figure C-4 – Signal d’erreur en réflexion d’une cavité Fabry Perot: P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=210-4; νm=0.2 ΔνISL
Au voisinage d’une résonance, la pente du signal est :
s pente
mP0(2)2F
ref
Le rapport signal à bruit dans ce cas est :
R
S/B
m
P
( 2 ) F
0
2h
1 (2 )
0
A.N. : F = 50 ; υ0= 1.06 μm ; σ = 3.18 10-3 ; ε = 10-4 ; m=0.1 ;
R
S/B
2.67
10 16
Hz
C-7 Signal d’erreur en transmission
On se trouve dans le même cas où la fréquence du laser est proche d’une résonance de la cavité et les bandes
latérales de modulation sont loin d’une résonance. On peut tirer les approximations suivantes :
Les bandes latérales sont partiellement transmises.
T (
p
)
(
1
)
0
m
T (
et
0
m ) ( 1)
p 1
Dans ce cas :
(
0
, m) (1)
p 1
*
T ( 0) T ( 0) (1)
p 1
2
2F
t2
Re T (
0
)
Avec m<<1, la puissance de sortie devient :
P
out
P0
2
p 1
(1)
2m
t2
T ( 0)
2F
ReT (
0
) cos( 2 m t )
37
En développant :
P P
out
0
t2 ² 2F 2m t2 ² (2F ) cos(2 t)
m
14F²²
En démodulant-filtrant la puissance de sortie en cos(2πνmt) selon le procédé de démodulation, on obtient le signal :
strans()m
P
0
t2 ²
(2F )
14F²²
δνFWHM
Figure C-5 – Signal d’erreur en transmission d’une cavité Fabry Perot: P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=2 10-4 ; p=210-4; t2= 10-3 ;
νm=0.2 ΔνISL
Soit une pente au voisinage d’une résonance :
s pentem
P
0
t2 ² (2F )
Le rapport signal à bruit dans ce cas est :
R
S/B
m
P
0
2h 0
t2
2F
(2 F )
A.N. : F = 50 ; ; υ0= 1.06 μm ; σ = 3.18 10-3 ; ε = 10-4 ; m=0.1 ; : t2 = 10-3 ;
R
S/B
4.88
10 12
Hz
38
C-8 Fonction de transfert entre bruit de fréquence du laser et signal d’erreur
C-8-1 Méthode de modélisation
Définition
Cette fonction de transfert est la fonction liant le bruit sur la fréquence du laser au signal d’erreur dans l’espace
des fréquences. Elle dépend des différentes étapes du procédé d’obtention du signal d’erreur que l’on peut schématiser
ainsi :
υ0(t)
Modulation (1)
Cavité (2)
Démodulation (4)
Photodiode (3)
serreur (t)
On peut donc écrire symboliquement la fonction de transfert comme étant :
~
~
H:
~
o
( )
s
erreur
( )
avec les transformations de Fourier :
~
( ) TF [
o
~
et
(t )]
o
s
erreur
( n) TF [ s erreur (t )]
Bruit de fréquence
Etant donné que l’intervalle en fréquence qui nous intéresse se situe autour d’une résonance υp de la cavité, on
peut définir la fréquence du laser comme étant :
o
(t ) p (t )
où { δυ(t) << ΔνISL } peut être physiquement considéré comme étant un bruit sur la fréquence du laser.
Ce bruit est modélisé en affectant à la phase du laser un bruit de phase
(t ) n sin( 2
n
(t ) à la fréquence νn.
t)
De sorte que le l’amplitude complexe du faisceau laser s’écrit :
(t )
0
e
i 2 0 t n. sin( 2 n t )
0 n
0 n
0
n : indice de modulation
Etant donné la relation liant la phase à la fréquence :
(t ) 2 (t )
(t ) 21 ddt(t )
soit
ce qui s’écrit dans l’espace des fréquences :
~
(
)i
n
1
n
~
(
n
)
La fonction de transfert entre le bruit de fréquence et le signal d’erreur peut être déterminée ainsi :
~
s
~
H
( n ) i
erreur
( n )
1
~
n
(
n
)
39
Etapes de modélisation
La première étape du procédé consiste en la modulation en phase à la fréquence en νm du faisceau laser. Cette
seconde modulation en phase a pour conséquence de rajouter deux bandes de fréquences par fréquence initialement
présente à la composition en fréquences du faisceau laser. La fréquence ν0 de la source laser se retrouve donc
accompagnée de 8 fréquences de modulation à l’issue de la double modulation.
0 m n 0 m n
0 m n 0 m n
0 n
0 n
0 m
0 m
0
Figure C-6 – 9 fréquences résultantes de la double modulation en
νm et νn de la source laser.
L’expression de l’onde à l’issu de cette double modulation est :
0
e
m
2
m
2
n 2i
0 n
t
.e
2
2i 0 t
[
e
2i
0
[
e
2i
0
m
m
t
n 2i
0
.e
2
m
t
n 2i
0
.e
2
m
n 2i
0 n
t
.e
2
n t
n t
n 2i
0
.e
2
n 2i
0
.e
2
m
m
n t
]
]
n t
La seconde étape consiste en la détermination de l’amplitude complexe de ce faisceau modulé en sortie de la
cavité, soit en réflexion soit en transmission. Après réflexion ou transmission par la cavité, l’onde en sortie peut
s’écrire sous la forme :
out
0
e
i 0
m i
.e 0
2
m i
.e 0
2
avec :
(
[
n ,m
[
(
[
(
0
0
)
0
m ).e
A
m
).e
n
i
.( 0 n ).e n
2
n
i
.( 0 n ).e n
2
]
i m
n
i n
.( 0 m n ).e m
2
n
i n
.( 0 m n ).e m
2
]
i m
n
i n
.( 0 m n ).e m
2
n
i n
.( 0 m n ).e m
2
]
B
C
2n , m
La troisième étape consiste à relever sur la photodiode la puissance non continue contenant les termes en φn :
En posant :
(
et
C (
0
0
m ).e
i
m
( 0 m ).e
m n ).e
i m n
i
m
(
( 0 m n ).e
0
m n ).e
i m n
( 0 m n ).e
i m n
i m n
on trouve :
P AC
( m n) P0
out
m.n
*
i *
i
( 0 n ).e n A ( 0 n ).e n . A
2
m.n
*
i n *
i n
A ( 0 n).e . A
( 0 n ).e
2
m.n ( ).B * * ( ).B m.n ( ).C * * ( ).C
0
0
0
0
2
2
+ termes en 2φ
n
40
Soit en différenciant les différents termes :
Re( 0 , 0 m n) Re ( 0 m , 0 n) cos( 2 .( m n )t )
Im
( 0 , 0 m n ) Im ( 0 m , 0 n )
sin( 2 .( m n )t )
( 0 , 0 m n ) Re ( 0 m , 0 n )
cos( 2 .( m n )t )
Re
( 0 , 0 m n ) Im ( 0 m , 0 n )
sin( 2 .( m n )t )
Im
mn
P AC
P
n
out
m
2 0
avec :
(
(
0
0
m , 0 n )
,
0
m
n)
(
(
0
0
).
m
).
*
(
0
*
( 0 n )
m
n)
* (
* (
0
0
m
).(
).( 0 n )
0
m
n)
La dernière étape qui conclut le procédé par l’obtention d’un signal d’erreur temporel, consiste en la
démodulation à la fréquence en νm de la puissance non continue recueillie sur la photodiode. Il s’agit donc de
recueillir les termes qui dépendent de la fréquence νn de bruit de modulation afin d’établir la fonction de transfert.
On obtient après démodulation en sin νm :
P AC
out sin(2
m
t)
mn
P0
4
Re( 0 , 0 m n) Re ( 0 m , 0 n) sin n
Im
( 0 , 0 m n ) Im ( 0 m , 0 n ) cos n
Re( , ) Re ( , ) sin
0
0
m
n
0
m
0
n
n
Im ( 0 , 0 m n ) Im ( 0 m , 0 n ) cos n
On obtient après démodulation en cosin νm :
P AC
out cos(2
m
t)
mn
P
4 0
Re( 0 , 0 m n) Re ( 0 m , 0 n) cos n
Im
( 0 , 0 m n ) Im ( 0 m , 0 n )
sin n
( 0 , 0 m n ) Re ( 0 m , 0 n )
cos n
Re
Im ( 0 , 0 m n ) Im ( 0 m , 0 n ) sin n
41
C-8-2 Fonction de transfert du signal Pound Drever
La réalisation de la modélisation de la fonction de transfert du signal d’erreur est prise dans le cas où la fréquence
du laser est exactement à la résonance de la cavité {ν0 = νp,}, et où les bandes latérales de modulation sont loin de la
résonance {νm >> νFWHM,}.
On définit l’écart aux résonances des bandes de bruit de modulation par la variable sans dimension εn , tel que :
n
n
ISL
La fonction de transfert du signal Pound Drever (en bleu) est un filtre passe bas dont la fréquence de coupure est δνHWHM
la demi-largeur du pic de réflexion de la cavité, qui possède deux trous correspondant aux fréquences issues des bandes
de modulation en νp+1 - νm et νp + νm
νp+1 - νm
δνHWHM
νp + νm
Figure C -7 – Fonction de transfert du signal Pound Drever en réflexion. P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=2 10-4 ; p=210-4
La forme analytique approximée de ce filtre (en rouge) peut être obtenue en développant l’expression du signal
d’erreur issu du procédé de démodulation, en considérant d’une part que les bandes latérales en ν0 νm ,ν0 νm νn
sont totalement réfléchies et d’autre part en considérant εn << 1.
Dans ce cas on a :
(
0
(
et
(
0
0
*
m , 0 n) R ( n) R( n)
m , 0 n )
R * (
, 0 m n )
(
0
n
)
R(
n
)
, 0 m n ) 2( 1)
42
La puissance non continue contenant les termes en νn en sortie de la cavité s’écrit :
P AC
sin m
out
mn
P
4 0
*
*
4( 1) Re R ( n) R( n) R( n) R ( n) sin n
*
*
Im R( ) R ( ) R ( ) R( ) cos
n
n
n
n
n
Soit en prenant l’expression de la réflectance autour d’une résonance exprimée en annexe A :
(2 )4 F ² ²
(2 )2 F n
n
sin
cos
n
n
1 4 F ² ² n
1 4 F ² ² n
P AC
sin m mnP0
out
Ainsi l’expression de la fonction de transfert peut prendre la forme suivante :
~
1
H ( n) mnP 0 (2 )2 F
1 2iF
n
qui est la forme analytique d’un filtre passe bas de fréquence de coupure :
c
ISL
2F
HW HM
A noter que :
- pour εn < δνHWHM la fonction de transfert peut être aproximée par une constante dont la valeur
correspond à la pente du signal Pound-Drever lorsque l’on est proche d’une résonance :
~
H (
-
n
) mnP 0 (2 )2 F
pour εn > δνHWHM la fonction de transfert peut s’exprimer sous la forme linéaire (en échelle loglog):
~
H ( n) i mnP 0 (2 )( n) 1
43
Annexe D
Méthodes de détermination du premier mode transverse
Cet appendice traite du développement de la modélisation de méthodes de détermination du premier mode
transverse d’une cavité optique résonante Fabry-Pérot. Ces méthodes sont basées sur l’emploi de la technique Pound
Drever Hall dans l’hypothèse où le faisceau laser exactement à la résonance d’une cavité est désaligné sur celle-ci.
Après avoir énoncé le couplage entre le mode fondamental et le premier mode transverse généré par ce
désalignement, chacune des étapes de la technique Pound Drever Hall seront modélisées ici dans cette hypothèse
nouvelle de désalignement. Ce qui permettra de présenter deux méthodes d’obtention d’un signal d’erreur donnant
l’écart de fréquence entre le TEM01 et une fréquence de référence.
Enfin une autre méthode sera présentée ici, elle est basée sur la position d’un creux à la fréquence TEM 01 dans la
fonction de transfert entre bruit de fréquence sur le faisceau laser et signal d’erreur.
D-1 Désalignement et couplage
Un laser est aligné sur une cavité optique résonante si le mode de son faisceau correspond complètement et
exclusivement au mode fondamental de la cavité résonante. Lorsque que le faisceau incident est légèrement désaligné
par rapport à la cavité, il se crée un couplage entre le mode fondamental TEM 00 et le mode transverse TEM01 avec un
coefficient de couplage qui est fonction du déplacement transverse et de l’angle entre les axes de la cavité et celui du
faisceau laser.
Zo
a
w 0
( a, )
i
w0
Zc
a
Figure D -1 – Désalignement transverse et angulaire d’un faisceau laser par
rapport à une cavité Fabry-Pérot
Dans la suite, on s’intéresse au problème uniquement suivant une des deux directions transverses. L’onde couplée peut
alors s’écrire, en fonction des deux modes Hermite-Gauss cités en annexe A :
( x, t )
0
U 0 ( x) e
2i 0 t
U 1 ( x) e
2i 0 t
D-2 Les étapes de la technique Pound Drever Hall
D-2-1 Modulation en phase du laser
Le faisceau laser est modulé en fréquence, l’onde incidente prend donc la forme :
( x, t ) 0 U 0 ( x) J 0 me
in
2i 0 t
J 1 me
2i ( 0 m)t
J 1 me
2i ( 0 m)t
On se place dans le cas où le laser est exactement à la résonance de la cavité et où la fréquence de modulation est
proche du mode TEM01 de la cavité.
44
p 1
ISL
p
p 01
0
0 m
0 m
Figure D - 2 – Fréquence du laser et bandes de modulation apposées aux fréquences de résonance du mode fondamental
de la cavité et à leur premier mode transverse.
Les bandes latérales de modulation sont prises ici tel que :
m FW HM
01 (1 m) m
et
D-2-2 Transmission et Réflexion par une cavité Fabry-Pérot désalignée
En développant les fonctions de Bessel au premier ordre, l’onde peut s’écrire :
out
( x, t )
0
e
2i 0 t
U 0 ( x).( 0) .U 1 ( x).( 0 ( m 1) m)
m
2i m t
2i m t
U 0 ( x).( 0 m).e
.U 1 ( x).( 0 m m).e
2
m
2i m t
2i m t
.U 1 ( x).( 0 ( m 2) m)e
U 0 ( x).( 0 m).e
2
Et en prenant en compte les profils des deux modes qui sont déphasés d’un angle φ0 défini en annexe B , la puissance
continue en sortie de la cavité s’écrit :
P
DC
out
P
0
G ( x)
(
0
)
2
2x
²
w( z )
2
(
0
( m 1) m)
2
2x
2
w( z )
Re
Im
( m 1). m) cos 0
0
0
*
( 0).( 0 ( m 1). m)) sin 0
* ( ).(
et la puissance non-continue en sortie de la cavité prend la forme :
2
2x
Re M ( 0 ( m 1) m , m) cos( 2 m t )
Re M ( 0 , m) ²
w( z )
Re O( 0 , m , m) cos( 2 m t 0)
*
Re N ( , , ) cos( 2 t )
0
m
m
m
0
2 x
AC
P out ( x) mP 0 G ( x)
w( z )
Im O( 0 , m , m) sin( 2 m t 0)
*
Im N ( 0 , m , m) sin( 2 m t 0)
2
2
x
M ( , ) ²
M ( ( 1) , ) sin( 2 t )
Im
Im
0
m
0
m
m
m
m
w( z )
Avec :
M (
0
O(
0
N (
0
,
,
m
*
*
) ( 0). ( 0 m) ( 0).( 0 m)
*
*
m , m) ( 0 m).( 0 ( m 1) m) ( 0).( 0 ( m 2) m)
,
*
*
m , m) ( 0). ( 0 m m) ( 0 m). ( 0 ( m 1) m)
45
D-2-3 Démodulation de la puissance non continue
Les signaux démodulés soit en cos( 2 t ) soit en sin( 2 t ) s’écrivent :
m
m
S ( x) cos
S ( x) sin
m
2
m
2
P
P
0
0
G ( x)
G ( x)
Re M ( 0 , m)
2x
²
w( z )
2
Re M ( 0 (
1)
, m)
m
m
*
Re N ( 0 , m , m) Re O( 0 , m , m) cos 0
2 x
2
terme d ' int erférence
*
w( z )
Im N ( , , ) Im O( , , ) sin
0
m
m
0
m
m
0
Im M ( 0 , m)
2x
²
w( z )
2
Im M ( 0 (
*
Im N ( 0 , m , m) Im
2 x
2
*
w( z )
Re N ( , , ) Re
0
m
m
1)
, m)
m
m
, m , m) cos 0
terme d ' int erférence
O( 0 , m , m) sin 0
O(
0
D-3 Signaux d’erreur
D-3-1 En intégrant sur toute la surface du détecteur
Il s’agit de relever la puissance recueillie par la photodiode sur toute sa surface. Or, étant donné que le terme
d’interférence est une fonction impaire de la position transverse x (annexe A) , la puissance intégrée sur toute la surface
est donc :
P
AC
out
0
( x) mP
2
Re M ( 0 , m) ² 2 x
w( z )
2x
, m) ²
0
w( z )
Im M (
2
Re M (
Im M (
0
0
(
(
m
m
1 m , m) cos( 2 m t )
)
1 m , m) sin( 2 m t )
)
Signal d’erreur en réflexion
Le laser étant supposé stabilisé à une fréquence de résonance de la cavité, on a :
R(
0
)( 1)
Les bandes latérales en sont quasiment totalement réfléchies :
0
m
R(
0
m) 1
et les bandes en ( 1) et en ( 2) ne sont pas résonantes dans la cavité, on a donc :
0
m
m
0
m
m
R(
0
( m 1) m) 1
et
R(
0
( m 2) m) 1
Ce qui a pour conséquence :
( 0 , m )0
M
-
M (
0
N (
0
O(
,
0
*
( m 1) m , m) R ( 0 m m) 1
,
*
m , m) ( 1) R ( 0 m m) 1
m , m) 2
46
La réflectance
R(
0
m m) peut être exprimer en fonction de la réflectance approximée autour d’une résonance en
opérant le changement de variable :
m 01
m
m
m
elle s’écrit alors :
R(
m m)
0
avec
ISL
²
[ 1 4 F ²
m
soit :
m
m
ISL
²] i.[( 2 ).2 F m]
²
1 4F ²
m
²
Soit en utilisant les approximations précédentes, on obtient les expressions :
(2)2F m
(2)
cos(
2
t
)
sin(
2
t
)
0
m
m
14F² ² m²
14F² ² m²
P AC m ²P
ref
P DC P
et
ref
0
(1 )²
Dans ce cas le signal démodulé-filtré sous le terme en sinus est un signal de type Pound Drever Hall qui dépend du
désalignement de manière quadratique :
S erreur
ref
(2 ).2 F m
m
P0 ²
2
1 4 F ² ² m ²
Figure D -3 – Signal d’erreur en réflexion obtenu en intégrant sur tout le détecteur en fonction de εm
P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=2 10-4 ;
de pente négative autour de la fréquence de modulation :
m
S pente
ref
2
P
0
2
(2 )2 F
On peut montrer que le rapport signal à bruit dans ce cas est :
R
S/B
m
2
2
P
0
2h 0
(2 ) F
m
(1 )
A.N. : F = 50 ; υ0= 1.06 μm ; σ = 3.18 10-3 ; ε = 10-4 ; m=0.1 ; P0 = 1 W ; γ=0.2
R
S/B
2.67
10 11
Hz
47
Signal d’erreur en transmission
Le laser étant supposé stabilisé à une fréquence de résonance de la cavité, on a :
T (
0
) (1)
p 1
2F
i
t2
Les bandes latérales en sont partiellement transmises :
0
m
T (
0
m ) ( 1)
p 1
et
t2
2F
T (
0
m) (1)
p
2F
t2
et les bandes en ( 1) et en ( 2) ne sont pas résonantes dans la cavité, on a donc :
0
m
m
0
m
m
T (
0
(
1 m) (1)
)
m
p
2F
et
t2
T (
0
(
m
2) m) (1)
p
2F
t2
Ce qui a pour conséquence :
-
M(
-
M (
0
N (
,
-
-
0
0
m )0
,
( m 1) m , m) (1)
m , m) (1)
O(
0
,
t2
2F
p
p 1 2F
i
t2
m , m) t 2 ²(
2F
T * (
T * (
0
0
m m)
m m )
2F
2F
t 2²
t 2²
i)
De la même manière, la transmittance T(υ 0 +εm υ m) peut être exprimer par le développement limité en fonction des
paramètres εmet γ :
T (
m m) (1)
0
p 1 2F
t2
[( 2 F ) ] i[1 2F ² m ²]
1 4 F ² ² m ²
Soit en utilisant les approximations précédentes, on obtient les expressions :
(2 F ) m
AC
P trans m ²t 2 ² P 0
2
F
1 4 F ² ² m ²
et
²
²
1 2F
cos( 2 . m t )
1 4F ²
P DC P
trans
0
²
sin( 2 . m t )
²
m
m
2F
t 2²
Dans ce cas le signal démodulé-filtré sous le terme en cosinus est un signal de type Pound Drever Hall :
S erreur
trans
m
2
P
0
² t 2²
(2 F )
m
1 4 F ² ² m ²
48
Figure D -3 – Signal d’erreur en transmission obtenu en intégrant sur tout le détecteur en fonction de ε m
P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=2 10-4 ; t2= 10-3 ;
de pente négative autour de la fréquence de modulation :
m
S pente
P 0 ² t 2 ²(2 F )
trans
2
On peut montrer que le rapport signal à bruit dans ce cas est :
R
S/B
m
²
2
P
0
2h 0
2F
t 2 (2 F )
A.N. : F = 50 ; υ0= 1.06 μm ; σ = 3.18 10-3 ; ε = 10-4 ; m=0.1 ; P0 = 1 W ; γ=0.2
R
S/B
4.88
10 7
Hz
D-3-2 En utilisant une photodiode à quadrant
L’utilisation d’une photodiode à quadrant permet de regarder uniquement
le terme d’interférence entre le mode fondamental et le premier mode transverse.
Ceci est possible grâce à l’électronique associée à la photodiode qui effectue la
différence entre les puissances recueillies des parties 1 et 2. Ces deux parties
contiennent la tache de lumière du mode fondamental et les taches
correspondantes au premier mode transverse mais aussi le terme d’interférence
qui est une fonction impaire de la position transverse x . Ainsi seul le terme
d’interférence est pris en compte.
y
1
2
x
Figure D -5 – Photodiode à quadrant
Compte tenu de l’information apportée dans l’annexe A :
0
2x
G ( x )
w( z )
dx
1
2
2
la puissance non continue pris en compte dans ce cas s’écrit :
P
AC
out
mP 0
*
Re
N ( 0 , m , m )
Re
O ( 0 , m , m )
cos 0
cos( 2 m t )
*
N ( 0 , m , m )
Im
O( 0 , m , m )
Im
sin 0
2
*
Im N ( , , ) Im O( , , ) cos
0
m
m
0
m
m
0
sin( 2 m t )
*
N ( 0 , m , m )
Re
O ( 0 , m , m )
Re
sin 0
49
Signal d’erreur en réflexion
Avec les approximations précédentes, la forme analytique du signal démodulé en sinus par exemple peut s’écrire sous
la forme :
P
AC
out
sin
0
a [( 2 ).2 F ] w [ 1 4 F ² ² ²]
w 0
m
0
m
(
1
)
(
3
)
cos
0
w
1
4
F
²
²
²
1
4
F
²
²
²
0
m
m
m 2
P
2
a [ 1 4 F ² ² ²] w [( 2 ).2 F ]
a
m
0
m
(3 ) sin 0
( 1)
1 4 F ² ² m ²
w0
w 0 1 4 F ² ² m ²
Figure D -6 – Signal d’erreur en réflexion obtenu en utilisant une photodiode à quadrant en fonction de ε m et φ0
P0 = 1 W ; L=1m ; F =50 ; p=2 10-4
On peut donc dans ce cas obtenir un signal de type Pound Drever Hall :
S erreur
trans
si la condition
a
w
(2 ).2 F m
m 2
P 0 cos 0 0 sin 0 ( 1)
4
1 4 F ² ² m ²
w0
tan 0
aw 02
est remplie.
50
D-4 Fonctions de transfert
La modélisation de la fonction de transfert du signal d’erreur de type Pound Drever a été réalisée suivant la
méthode énoncée en Annexe C dont sont ici présentées les différentes étapes :
La première étape concerne la double modulation du faisceau laser :
0
e
m
2
m
2
n 2i t
n
.e
0
2
2i 0 t
n 2i t
n
.e
0
2
[
e
2i 0 m t
n 2i t
m
n
.e
0
2
n 2i t
m
n
.e
0
2
[
e
2i 0 m t
n 2i t
m
n
.e
0
2
n 2i t
m
n
.e
0
2
]
]
La seconde étape donne l’expression de l’onde en sortie de la cavité :
0
2i 0 t
2i 0 t
.U 1 ( x ).( 0 01)e
U 0 ( x ).( 0)e
2i ( 0 m )t
2i ( 0 m )t
.U 1 ( x ).( 0 m 01)e
U 0 ( x ).( 0 m )e
m
2i ( 0 m )t
2i ( 0 m )t
.U 1 ( x ).( 0 m 01)e
U ( x ).( 0 m )e
2 0
m
2
n
2i ( 0 n )t
2i ( 0 n )t
.U 1 ( x ).( 0 n 01)e
U ( x ).( 0 n )e
2 0
n
2i ( 0 n )t
2i ( 0 n )t
.U 1 ( x ).( 0 n 01)e
U ( x ).( 0 n )e
2 0
mn
4
2i ( 0 m n )t
2i ( 0 m n )t
.U 1 ( x ).( 0 m n 01)e
U 0 ( x ).( 0 m n )e
mn
4
2i ( 0 m n )t
2i ( 0 m n )t
.U 1 ( x ).( 0 m n 01)e
U 0 ( x ).( 0 m n )e
mn
2i ( 0 m n )t
2i ( 0 m n )t
.U 1 ( x ).( 0 m n 01)e
U ( x ).( 0 m n )e
4 0
mn
2i ( 0 m n )t
2i ( 0 m n )t
.U 1 ( x ).( 0 m n 01)e
U 0 ( x ).( 0 m n )e
4
La troisième étape donne l’expression du signal d’erreur à l’issue du procédé de démodulation :
On obtient après démodulation en sin(2πυmt) :
En intégrant sur toute la surface :
mn
P AC
P
out sin( 2 )
4
m
0
Re A( 0 , m n) B( 0 , m , n)
Im A( 0 , m n) B( 0 , m , n)
n
n
n
2
A( 0 01 , m n) B( 0 01 , m , n) sin 2 n t
2
A( 0 01 , m n) B( 0 01 , m , n) cos 2 t
2
Re A( 0 , m n) B( 0 , m , n) A( 0 01 , m n) B( 0 01 , m , n) sin 2 t
2
Im A( 0 , m n) B( 0 , m , n) A( 0 01 , m n) B( 0 01 , m , n) cos 2 t
avec :
A(
0
*
*
, m n) ( 0) ( 0 m n) ( 0) ( 0 m n)
B(
0
*
*
, m , n) ( 0 m) ( 0 n) ( 0 m) ( 0 n)
et pour le terme d’interférence, en procédant avec une photodiode à quadrant :
51
E( ,
ImE ( ,
0
Re
P AC
out
0
01
,
, ) cos 2 t
n
n
n
m n) F ( 0 , 01 , m n) G ( 0 , 01 , m , n) H ( 0 , 01 , m , n) sin 2 n t
, ) F ( , , ) G ( , , , ) H ( , ,
0
01 m
n
0
01 m
n
0
01 m
n
0
01 m
n
mn 2
P
sin( 2 m ) 4
Re E ( 0 , 01 , m n) F ( 0 , 01 , m n) G ( 0 , 01 , m , n) H ( 0 , 01 , m , n) sin 2 t
Im E (
0
, 01 , m n) F ( 0 , 01 , m n) G ( 0 , 01 , m , n) H ( 0 , 01 , m , n) cos 2 t
avec :
E (
0
* i
*
i 0
, 01 , m n) e 0 ( 0) ( 0 m n 01) e
* ( 0)( 0 m n 01)
F (
0
, 01 , m n) e
G(
0
H (
i 0
(
0
*
* i
*
01) ( 0 m n) e 0 ( 0 01) ( 0 m n)
* i
*
i 0 *
, 01 , m , n) e 0 ( 0 m) ( 0 n 01) e
( 0 m)( 0 n 01)
0
, 01 , m , n) e
i 0
(
0
* i
0
m 01) ( 0 n) e
*
* (
0
m 01) ( 0 n)
D-4-1 En intégrant sur toute la surface du détecteur
La réalisation de la modélisation de la fonction de transfert du signal d’erreur est prise dans le cas où la fréquence
du laser est exactement à la résonance de la cavité {ν0 = νp,}, et où les bandes latérales de modulation sont loin de la
résonance {νm >> νFWHM,}.
On définit l’écart aux résonances des bandes de bruit de modulation par la variable sans dimension εn , tel que :
n
n
ISL
νp+1 - νm
νp+1 - νm - δν01 νp+1 - νm + δν01
νp + νm
νp + νm - δν01 νp + νm + δν01
νp + δν01
δνHWHM
Figure D -7 – Fonction de transfert du signal Pound Drever en réflexion d’une cavité désalignée avec un coefficient de désalignement |α|² = 1.
52
La fonction de transfert du signal Pound Drever Hall dans ce cas (en bleu) est un filtre passe-bas de même
fréquence de coupure δνHWHM . Elle possède un trou correspondant à la fréquence du premier mode transverse en νp +
δν01 . Dans le développement de la modélisation, il apparaît que la fonction de transfert peut s’écrire comme étant la
somme de la fonction transfert de type Pound Drever (1) hors désalignement (en rouge) et du produit de la valeur
quadratique du coefficient de désalignement avec une seconde fonction de transfert (2) (en vert) qui est notamment à
l’origine du trou à la fréquence νp + δν01 .
~
~
~
H (
n
)
( n) ² H 2( n)
H
1
La connaissance de cette seconde fonction de transfert (2) permet donc de connaître la valeur quadratique du coefficient
de désalignement.
La forme analytique approximée (en vert discontinu) peut être obtenue en développant l’expression du signal d’erreur au
voisinage de la fréquence νp + δν01 en considérant que les bandes latérales en ν0 νm ,ν0 νm νn sont totalement
réfléchies.
On définit la variable sans dimension ε01 :
01
01
ISL
On obtient l’expression approchée en réflexion:
~
H (
)
01
mn
2
P
2
1
(
2
)
i
²
0
01
4 F (
i
)²
01
1
01
En considérant ε01 << 1 , le rapport entre les fonctions de transfert approximées du cas désaligné et du cas classique
peut s’exprimer par :
~
H
(
)
01
1
~
H
(
1
²
2
)
01
D-4-1 En utilisant une photodiode à quadrant
Cette fonction de transfert est
un filtre passe bas de même fréquence
de coupure δνHWHM dont il n’est pas
simple de tirer une règle décrivant la
distribution des pics et bosses issues
des combinaisons des fréquences en
νp ,δν01 , νm , qui dépend du
déphasage issu de la phase de Gouy et
du coefficient de désalignement.
φ0 = 0
α = 0.2 + 0.3 i
Figure D -8 – Fonction de transfert / photodiode à quadrant
53
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