Leçon 25

Leçon 25
Phénomènes linéaires de propagation unidimensionnelle dans un milieu
dispersif. Relation de dispersion. Paquet d'ondes. Vitesse de groupe (PC)
Bibliographie : le titre ne parle pas d'absorption, qu'il semble pourtant difficile d'occulter totalement.
Insister sur la signification de la dérivée première.
 Ellipses Ondes : bien pour les définitions, mais réparti sur plusieurs chapitres.
 Hachette Ondes : chapitre 7. Dit nombre d’ondes pour vecteur d’onde. Convenable.
 Tec & Doc Ondes : chapitre 7. Très bien.
 Dunod : Electromagnétisme II ou Ondes : très léger !
I. SOLUTIONS DE L'EQUATION D'ONDES : à une dimension (limite du programme).
1. Cas du vide : c'est un milieu ni absorbant, ni dispersif : donc : rapide ! ! Doit être vu dans une
leçon précédente. Alors l'équation d'onde (de d'Alembert) s'écrit pour des ondes électromagnétiques :
0
12
2
22
2
t
f
cx
f
. Cette équation sans second membre admet des solutions du type onde plane pro-
gressive harmonique (OPPH), donc sinusoïdale, se propageant suivant la direction Ox, de la forme :
).(exp.),( xktjftxf o
. Dans le cadre du programme, la pulsation  sera toujours réelle, ce qui ne
sera pas le cas du module k du vecteur d'onde. L'équation de d'Alembert étant linéaire, & le milieu non
dispersif, la vitesse de propagation c ne dépend pas de la fréquence de l'onde, & la solution générale est
donnée par une série de Fourier. Dans ce cas, les opérateurs différentiels valent :
j
t
&
jk
x
,
conduisant à la relation de dispersion
222 ck
du second degré :
cv 
traduit les ondes incidente &
réfléchie qui apparaissent nécessairement dans la solution mathématique de l'équation d'onde, des con-
traintes physiques (milieu ouvert ou fermé) conduisant à conserver ou non l'onde réfléchie. Pas de déri-
vée première : pas de pertes d’énergie.
2. Cas d'un milieu dispersif ou absorbant : l'équation d'onde peut présenter plusieurs formes :
 Milieu homogène dispersif : pas de second membre, pas de dérivée première. Alors la vitesse de pro-
pagation dépend de la fréquence,
)(
)(   nc v
donc :
0
)( 2
2
2
2
2
2
t
f
c
n
x
f
. Superposer les solu-
tions de chaque fréquence.
 Equation du type Klein - Gordon : second membre linéaire en f , absorption, présence d’une dérivée
première, donc de la forme :
f
ct
f
c
x
fp
2
2
2
2
2
2
²
1
. Caractéristique des plasmas.
 Milieu absorbant : on a un second membre présentant une dérivée première de f , éventuellement un
terme linéaire en f (type Klein - Gordon) : c'est la propagation dans un conducteur (effet de peau) dans le
premier cas, dans un supraconducteur pour le second. Il y a alors perte d'énergie par l'onde, & dans ces
conditions (comme pour un oscillateur, noter que ceci n'arrive qu'avec une dérivée première), le vecteur
d'onde devient complexe
"' jkkk 
, sa partie imaginaire k" traduisant les phénomènes d'absorption. On
a :
f
t
f
t
f
c
x
fo22
2
2
21
²
1
.
Remarque : la séparation des deux cas (absorption & dispersion) est formelle : ils sont simultanés.

II. VITESSE DE PHASE V, VITESSE DE GROUPE Vg, PAQUET D'ONDE :
1. Définitions : on a :
k
V
&
dk
d
Vg
. Les interpréter (V est la vitesse des surfaces d'onde, &
peut être supérieure à c, & Vg est la vitesse de l'énergie, nécessairement inférieure ou égale à c) avec la
chenille. Dans le cas d'une absorption : le vecteur d’onde est complexe :
''' jkkkz
pour une propaga-
tion suivant l’axe Oz. Alors
'k
V
&
"
1
k
si  est la distance caractéristique de l'absorption. Le pa-
quet d'ondes est défini comme un ensemble d'OPPH dont les pulsations appartiennent à la largeur de
bande , & donc vérifient :
22
 oo
.
2. Battements. Modulation : les battements correspondent à la superposition de 2 OPPH de fré-
quences différentes, soit :
)cos().cos(.2)cos(.)cos(.),( 2211 xktxktAxktAxktAtxf gg  
où l'on a posé :
221 
,
22
1
1kk
k
,
221 
g
,
221 kk
kg
. Si les deux pulsations sont proches ( &
+d), le premier terme correspond à une onde se déplaçant à la vitesse de phase
k
V
& le second à
une onde se déplaçant à la vitesse de groupe
dk
d
Vg
. Le second terme correspond à l'enveloppe (BF)
& le premier à l'oscillation HF. S'il y a plus de 2 fréquences, on a de la modulation, la porteuse (HF) se
déplace à V & l'enveloppe (donc le signal, BF) à la vitesse Vg.
3. Evolution du paquet d'ondes : dans une représentation f (t), à x fixé, le paquet d'onde a une ex-
tension temporelle (sa durée d'émission par exemple)
 1 t
(propriété de la transformée de Fou-
rier, conduit à la quatrième inégalité d'Heisenberg en Mécanique Quantique) : l'émission d'une onde pu-
rement sinusoïdale (
0
) nécessiterait un temps infini. Hors du vide, le paquet se propage dans un
milieu dispersif, de sorte que l'enveloppe se déplace plus lentement & le paquet s'étale, la relation précé-
dente n'est plus valable. Au départ (relation entre étendue spatiale & domaine de longueurs d'onde) :
k
zo  1
d'où la variation de vitesse de groupe
k
dk
d
k
dk
dV
Vg
g
0
2
2
0
conduisant à l'étale-
ment :
tVzz got .
.
III. EXEMPLE. PLASMA :
1. Equation du mouvement : l'électron de masse M est soumis au champ électrique
E
d'une
OPPH, & à une force de rappel
xM o
2
de la part de son noyau (modèle de Thomson de l'électron élas-
tiquement lié. Dans le cas d'un électron libre, on fera
0o
). On néglige la force de frottement vis-
queux qui conduirait à des grandeurs complexes & à l'absorption, ainsi que la force magnétique
c
v
FF EB
. On a donc :
eExMxM o 2
. Avec
j
t
on obtient :
)( 22 o M
eE
x
.
2. Relation de dispersion : le plasma est un milieu diélectrique linéaire, homogène & isotrope donc
on a :
PEED oro
, où la polarisation vaut (N est la densité électronique) :
rNqP
soit

22
2
1
2
22
2
1oo
p
r
avec
o
pM
Ne
 2
2
(pulsation plasma) &
222
1po 
. On en déduit en-
suite :
2
1
2
22
22
2
2
2222
 o
rck
n
c
kVk
donc :
22
2
1
2
o
c
k
. Tracer la courbe & expli-
quer le comportement du milieu suivant la fréquence. Les bandes interdites (k² < 0) correspondent à une
onde évanescente, donc à une absorption, mais ici on n'aura pas le phénomène de résonance puisqu'on a
ignoré les frottements.
Un exemple sur le paquet d'onde ou la modulation sera plus délicat à manipuler.
Expérience : montrer des battements ou de la modulation d’amplitude à l’oscillo.