Angles particuliers

Angles particuliers
I) Angles complémentaires et supplémentaires…
;c
;a
;b
angles supplémentaires
;d
angles complémentaires
1) Mesurer ;aet ;b : Mesure de ;a= ……° ; Mesure de ;b= ……° . Donc ;a+ ;b= ……..°
On dit que des angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures donne …….
2) Mesurer ;cet ;d : Mesure de ;c= ……° ; Mesure de ;d= ……° . Donc ;c+ ;d= …….°
On dit que des angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures donne …….
3) Sans utiliser le rapporteur, compléter :
Ici, les angles ;a, ;bet ;csont …………………..
car la somme de leurs angles donne ……..°.
Donc mesure (;b) = 180 - (38 + ….) = ……..°.
Remarque : Puisque mesure(;a) + mesure (;c) =
….. + ….. = …..°, les angles ;aet ;c sont ………………………. .
;a = 38°
;b
;c = 52°
4) Dans le cadre ci-contre, tracer un
triangle ABC. A l'aide du rapporteur,
mesurer le plus soigneusement
possible les angles ;ABC, ;ACB et
;BAC.
;ABC = …..° ; ;ACB = …..° ; ;BAC =
…..°.
;ABC + ;ACB + ;BAC= ….. + ….. +
…..
= ……. °.
Lorsqu'on additionne les trois angles
d'un triangle, on trouve toujours ….. °.
Donc on peut dire que les trois angles
d'un triangle sont
………………………… .
Maths à Harry
5) Dans le dessin ci-contre, les points A, C et D sont
A
alignés. On sait que ;ACB = 40°, ;CDB = 20°et
;ABC= 95°. Calculez les angles ;BAC, ;CBD et
;BCD.
95° 40°
(N'essayez pas de mesurer sur le dessin : celui ci est
volontairement faux !)
B
C
20°
D
II) Angles opposés par le sommet :
Sur la figure ci-contre, placer le point A' symétrique de A
par rapport à O, et le point B' symétrique de B par rapport à O.
Le symétrique de ;AOB par rapport à O est ;....... Et comme
A
la symétrie conserve les …………, ;AOB =;.......
Vérifiez en mesurant sur le dessin: ;AOB = …….° et
;......= …….°.
B
O
Dans ce cas, lorsque les angles sont symétriques par rapport à leur sommet commun, on dit
qu'ils sont opposés par le sommet. Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même
……………… .
Dans chacun des cas suivants, dire si les angles ;a et ;bsont opposés par le sommet, et s'ils
sont égaux :
;a
;a
;b
;a
;a
;b
O
;b
;b
opposés par le sommet
égaux
III) Internes, externes, alternes ?
(s)
Dans le dessin ci-contre, deux droites (d1) et (d2)
sont coupées par une droite sécante (s). On sait
(d1)
que ;a= 70° et ;f= 120°.
Si possible
compléter :
sans
utiliser
le
rapporteur,
(d2)
;a= 70°
;b
;c
;d
;e
;h
angle
;a ;b ;c ;d ;e
mesure en degrés 70°
;f
;f= 120°
;g
;g ;h
120°
Maths à Harry
On dit qu'un angle est interne si il est à l'intérieur de l'espace compris
entre les droites (d1) et (d2).
Ici, les angles internes sont ;……, ;……, ;…… et;…….
(d1)
(d2)
On dit qu'un angle est externe si il est à l'extérieur de l'espace compris
entre les droites (d1) et (d2).
Ici, les angles externes sont ;……, ;……, ;…… et ;…….
(d1)
(d2)
Enfin, ont dit que deux angles sont alternes si l’un touche (d1) et l’autre
(d2), et que de plus ils ne sont pas du même côté de la droite sécante. Par exemple, dans le
dessin ci-dessus, ;aest alterne avec les angles ;…… et ;……, mais il n'est pas alterne
avec;……, ;……, ;……, ;…… et ;…….
;best alterne avec ;…… et ;……, ;cest alterne avec ;…… et ;……, ;dest alterne avec
;…… et ;……, ;eest alterne avec ;…… et ;……, ;fest alterne avec ;…… et ;……, ;g
est alterne avec ;…… et ;……, et enfin ;hest alterne avec ;…… et ;…… .
On dit que des angles sont alternes-internes si ils sont à la fois alternes et …………….
Par exemple, ;dest alterne-interne avec ;…… et ;cest alterne-interne avec ;…….
De même, deux angles sont alternes-externes si ils sont à la fois …………….. et ……………..
Par exemple, ;aest alterne-externe avec ;…… et ;best alterne-externe avec ;…….
IV) Cas où (d1) et (d2) sont
parallèles.
Ici les droites (d1) et (d2) sont
parallèles.
On sait que ;a= 30°.
(s)
;b
;a= 30°
U
T
;d
Puisque ;aet ;bsont
(d1)
;c
;f
;e
…………………
;b= 180° - 30° = …..°.
V
;g
(d2)
;h
Les angles ;aet ;csont
………………. par le …………… donc ;c= ;a= …..°.
;d et ;……sont opposés par le sommet, donc ;d= ;……= …..°.
Comme dans tous les triangles, la somme des angles du triangle TUV donne …..°,
donc ;UTV+ ;TUV+ ;UVT= 180°, donc …..° + 90° + ;UVT= 180°.
Donc ;UVT= 180° - (…..° + …..°) = 180° - …..° = …..°. Donc ;f= …..° + 90° = …..° .
;fet ;esont ………………………. donc ;e= 180° - …..° = …..°.
Maths à Harry
;fet ;hsont ……………………………………………….. donc ;h= ;f= …..°.
;……et ;esont opposés par le sommet donc ;……= ;e= …..°.
;aet ;……sont alternes-externes et ;a= ;……= 30°.
;det ;fsont ………………-……………… et ;d= ;f= …..°.
;het ;bsont ………………-……………… et ;h= ;b= …..°.
Enfin, ;cet ;……sont alternes-internes et ;c= ;……= …..°.
Donc, si les droites (d1) et (d2) sont parallèles, les angles alternes-internes sont ………,
de même que les angles ………………-…………………. .
Reprenez les résultats du III).
Dans le III), ;aet ;gétaient alternes-externes, mais ;a= …..° et ;g= …..°.
;det ;fétaient alternes-internes, mais ;d= …..° et ;f= …..°.
;eet ;cétaient ………………-…………………….. mais ;e= …..° et ;c= …..°.
;bet ;…… étaient alternes-externes, mais ;b= …..° et ;…… = …..°.
Donc deux angles alternes-internes ou alternes-externes ne sont égaux que si les droites
(d1) et (…..) sont …………………….
Dans le dessin du haut de cette page, observons l'angle;a.
;a= ;ccar ils sont ………………………………………………………………
;a= ;gcar ils sont …………………-………………. et que (d1) et (d2) sont ……………….. .
Mais il y a un troisième angle qui a la même mesure que l’angle;a! C'est ;…….
On obtient l'angle ;…… en faisant "glisser" l'angle ;a le long de
(d1)
la droite (s).
Dans
ce
cas,
on
dit
que
les
angles
correspondants
;aet
;esont
(d2)
(s)
De même, l'angle ;dest correspondant avec ;…… car on passe de ;d à ;…… en "glissant"
le long de la droite (s); l'angle ;best correspondant avec ;…… et l'angle ;…… est
correspondant avec ;…….
Observez maintenant les résultats du III)…
Maths à Harry
Pour
que
deux
angles
correspondants
soient
égaux,
il
est
indispensable
que…………………..………………………………………………………………………………………
……………….
V) Récapitulons :
Dans le dessin ci-dessous, les droites (d1) et (d2) sont parallèles, les droites (s) et (t) sont
perpendiculaires. On donne ;a= 35°.
Sans justifier, compléter:;b = …..°, ;c= …..°, ;d= …..°, ;e= …..°, ;f= …..°, ;g= …..°, ;h=
…..° et ;i= …..°.
Puis, en utilisant les abréviations suivantes:AI: Alternes-internes; AE: Alternes-externes,
CT: Correspondants, O: Opposés par le sommet, CE: Complémentaires et S: Supplémentaires,
compléter le tableau ci-dessous:
(s)
(t)
angles ;a ;b ;c ;d ;e ;f ;g ;h ;i
;b
;a = 35°
;a
;e
;b
(d1)
;d
;c
;c
;d
;e
;f
;g
;g
;h
(d2)
;h
;f
;i
;i
B
VI)
Les droites (EA) et (BC) sont-elles
parallèles ? et les droites (AB) et (CD) ?
Justifier.
(Ne vous fiez pas à l'aspect du dessin : les
dimensions ne sont pas respectées)
44°
C
44°
E
53°
F
D
A
VII) Dans un triangle isocèle, les angles de la base opposée au sommet principal sont toujours
égaux.
A
A
M
105°
I
H
(d)
G
?
B
B
C
C
(e) Maths à Harry
Les droites (d) et (e) sont parallèles. Déterminer sans justifier l'angle ;GBA (inutile d'essayer
de mesurer: Les dimensions du dessin ne sont pas respectées…) .
VIII) ABCD est un parallélogramme.
N'essayez pas de mesurer au rapporteur :
ce dessin n'est pas en dimensions réelles !
Dès que vous aurez calculé la mesure d'un
angle, indiquez-le sur le dessin en traçant
l'arc de cercle. Complétez le texte cidessous :
A
Puisque ABCD est un parallélogramme, (AB) D
B
52°
37°
66°
E
C
est parallèle à (…..) et (…..) est parallèle à
(BC).
Puisque (AB) parallèle à (…..), les angles …………………………. ;BAC et ;ACD sont égaux,
donc ;ACD = …..°.
Les angles ;AED et ;DEC sont …………………………., donc ;DEC = …….° - 66° = …….°.
Les angles ;DEC et ;AEB sont égaux car ils sont …………………………………..,
donc ;AEB = ……°
Comme dans tous les triangles, la somme des angles du triangle AEB donne …..°, donc
;ABE = 180° - (……° + ……°) = 180° - …..° = …..°.
Puisque (AB) parallèle à (…..), les angles alternes internes ;ABD et ;…… sont égaux,
donc ;……= …..°.
;BEC = ……° car il est opposé par le sommet avec;…….
Comme dans tous les triangles, la somme des angles du triangle BEC donne ……°,
donc ;BCE = ……° - ( ……° + ……°) = 180° - ……° = ……°.
Puisque (……) parallèle à (……), les angles ………………………….. ;ADB et ;DBC sont
égaux, donc ;ADB = ……°. D'autre part, les angles alternes internes ;…… et ;DAC sont
égaux,
donc ;DAC = …..°.
Maintenant, quelques calculs….
Maths à Harry
;DAB = ;DAC + ;CAB = ……° + ……° = ……°;
;ABC = ;…… + ;…… = …..° +
…..° = …..°.
;ADC = ;…… + ;…… = …..° + …..° = …..°;
;DCB = ;…… + ;…… = …..° +
…..° = …..°.
;DAB + ;ABC = …..° + …..° = …..°.
;ABC + ;BCD = …..° + …..° = …..°.
;BCD + ;CDA = …..° + …..° = …..°.
;CDA + ;DAB = …..° + …..° = …..°.
Dans un parallélogramme, la somme de deux angles consécutifs (qui se suivent) donne
toujours …..°.
Donc les angles consécutifs d'un parallélogramme sont toujours ………………….. .
D'autre part, ;ABC + ;BCD + ;CDA + ;DAB = …..° + …..° + …..° + …..° = …..°
La somme des angles d'un parallélogramme donne toujours ……°.
IX) En rédigeant le mieux possible
(inspirez vous de l'exercice ci-dessus), et
en détaillant les calculs, déterminez la
C
mesure de l’angle ;DBE.
A un moment donné, on pourra utiliser la
phrase :
"Dans un triangle isocèle, les deux angles
de la base opposée au sommet principal
A
sont égaux…".
D
76°
58°
?
B
E
Maths à Harry