Chapitre 3 : Polynôme du second degré a x² + b x + c ( a * 0)
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Chapitre 3 : Polynôme du second degré a x² + b x + c ( a 0)
1) Transformation d’écriture
Exemples :
x² - 2x + 1 = ( x – 1 )²
x² - 4 = ( x-2) ( x+2)
x² + 2x – 8 = ( x² + 2x + 1 ) – 1 – 8 = ( x+1)² - 9 = ( (x + 1 )-3) ( (x + 1) + 3 ) = ( x-2) ( x + 4 )
Cas général :
ax²+bx+c = a[ x² + Error! x + Error! ]= a [ ( x + Error! )² - Error!² +Error!] =a[( x + Error! )² - Error! ] :
forme canonique (factorisée)
= a( x + Error! )² - Error! : forme canonique
2) Discriminant
= b² - 4ac est appelé discriminant du trinôme a x² + b x + c
3) Résolution de l’équation ax²+bx+c = 0
Trois cas se présentent :
si = 0 alors a x² + b x + c = 0 admet une seule solution (appelée racine) : - Error!
si > 0 alors a x² + b x + c = 0 admet deux racines réelles distinctes : x1 = Error! et x2 = Error!
si < 0 alors a x² + b x + c = 0 n’admet aucune racine.
exemple : résoudre 2 x² - x + 1 =0 : = (-1)² - 4 *2*1 = 1-8 = -7 <0 donc n’admet aucune racine.
-2x² + x + 6 = 0 : = 49 ; x1 = Error! = -Error! et x2 = Error! = 2
4) Factorisation :
si = 0 alors a x² + b x + c = (x - Error!)²
si > 0 alors a x² + b x + c = a( x – x1 ) ( x – x2) :
si < 0 alors a x² + b x + c ne peut pas se factoriser.
5) Signe d’un polynôme du second degré
Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12 : = (-2)² -4 x(-2)x12 = 10² > 0
- 2 x ² - 2 x + 12 = - 2 ( x + 3)( 4 – 2x )>0
x
-2
x+3
4–2x
2
-2.x - 2.x + 12
-3
2
+
0
+
+
0
+
–
–
0
+
0
–
Cas général : si > 0, on suppose que x1 < x2
x
x1
a x2 + b x + c
signe de a
x2
0
signe de (-a)
0
signe de a
Exemple 2 : P(x) = x² + 6 x + 9 : = 6² - 4x1x9 = 36 – 36 = 0
Donc P(x) admet une racine : -Error! = -3 donc P(x) = ( x – (-3) )2 =( x + 3 )2 .
P(x) est donc toujours positif et s’annule en –3.
Cas général : si = 0 alors a x² + b x + c est du signe de a et s’annule en – Error!
Exemple 3 : P(x) = x² + 2x + 3 : = 2² - 4x3 = 4-12 = -8 < 0.
P(x) = ( x + 1 )2 + 2 2 Donc P(x) > 0
Cas général : si < 0 alors a x² + b x + c est du signe de a.
Application à la résolution d’inéquation :
Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12 < 0
S=]– ;-3 []2;+[
Exemple 2 : P(x) = x² + 6 x + 9 0
S={3}
Exemple 3 : P(x) = x² + 2x + 3 > 0
S = I; R
Récapitulatif :
Signe de f ( x ) = a x² + b x + c ( a 0 )
>0
Racines de f
x1 =
Error!
et
x
Signe de f ( x )
signe
de
f (x)
-
x1
signe
de a
x2
signe
0
<0
x0 = – Error!
Pas de racine
f ( x ) = a ( x - x0 ) ² = a ( x + Error! ) ²
Pas de factorisation
x2 = Error!
f ( x ) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
Factorisation
=0
+
signe
0
de (- a )
de a
x
signe
de
f (x)
-
+
x0
signe
signe
0
de a
de a
6) Courbe représentative de la fonction f(x) = ax²+bx+c
x
signe
de
f (x)
+
-
signe de a
Allure de la courbe avec fiche récapitulative :
>0
Racines de f
Error!
x1 =
et
<0
x0 = – Error!
Pas de racine
f ( x ) = a ( x - x0 ) ² = a ( x + Error! ) ²
Pas de factorisation
x2 = Error!
f ( x ) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
Factorisation
=0
x’
x
a>0
x’
x
x’
x2
x1
Signe de f ( x )
+
–
0
x
x0
0
+
+
0
+
x’
x’
+
x
x
x’
x
a<0
x1
Signe de f ( x )
–
0
x0
x2
+
0
–
–
0
–
–
Propriété : la courbe d’équation y = a x² + b x + c est une parabole, dont l’abscisse du sommet est –Error! .
Exemples : tracer les courbes représentatives des fonctions définies par :
f(x) = -2 x² - 2 x + 4 et
g(x) = 0,5 x² - x –1,5
f = (-2)² - 4 x (-2) x 4 = 4 + 32 = 36 = 6²
x1 = Error! = Error! = Error! = 1
x2 = Error! = Error! = -2
- Error! = - Error! = - Error!
x2 = Error! = 3
- Error! = - Error! = 1
g = (-1)² - 4 x 0,5 x (- 1,5) =1 + 3 = 4 = 2²
- ( -1) - 2;2 x 0
x1 =
= Error! = -1
5
7) Somme et produit des racines
Lorsque l’équation a x² + b x + c = 0 admet deux racines x1 et x2 , alors :
Error!
Application :
x1 + x2 = – Error!
et
x1 x2 =
- Trouver une racine connaissant l’autre . ( ex : 1 est une solution évidente de 2 x² – 5 x + 3 = 0 , donc
l’autre racine est Error! = Error! )
- Déterminer le signe des racines sans en connaître les valeurs
- Eviter quelques étapes lors de la résolution d’un système d’équation : { x + y = 3 ;x x y = -4
x et y sont solution d’une éqaution du second degré a x² + bx + c,
en choisissant a = 1, on trouve b = -3 et c = - 4
