05 B Annexe CAPM partie 1

Théorie monétaire (99-2004) Annexe ECON M831 partie 1 « Financement » La valeur des actifs 8-1
Chapitre 8 : la valeur des actifs
= Annexe au Chapitre 1 d’Analyse de l’intermédiation financière
Références : Hull (2009) Risk Management and Financial Institutions : Chap 1 ;
Levasseur M. et Quintart A.(1992), Finance, Economica (2ème Ed.) ;
Siaens A., monnaie et Finance, 2ème E., De Boeck 1988.
PEROLD, André F. (2004) « The Capital Asset Pricing Model” Journal of Economic Perspectives, 18, 3
(Summer), 3-24,
BROQUET, COBBAUT, GILLET, van den BERG (1997) Gestion de Portefeuille (3e Ed.), De Boeck, 478 pp.
8.1. Actifs monétaires
8.1.1. Valeur future
a) versement initial unique
Le rendement d’un placement est déterminé par sa valeur future. Si nous plaçons M
aujourd’hui à un taux d’intérêt annuel constant i et pour un nombre d’années n, la valeur
future du placement vaut :
si le placement dure un nombre entier d'années. Si le nombre d'années n'est pas entier, on
remplace n par le nombre de fractions d'années (7 trimestres : z=7/4) que dure le placement.
Mais si le taux d’intérêt est versé à terme bisannuel, mensuel, hebdomadaire,… alors
on utilise la formule des intérêts composés :
où m est le nombre de fois dans une année que l’intérêt est payé et n est le nombre d'années
entières que la somme a été placée au taux i. Si la durée du placement n'égale pas un nombre
entier d'années on remplace nm par z ou z est le nombre de fractions d'années que dure le
placement. Et si le versement des intérêts est continu, la valeur future du placement devient :
(8.1) )1(.. n iMFV 
(8.2) )1(.. nm
m
i
MFV 
innm
in
e
m
i
MeFV
 )1(lim que donnéétant
(8.3) ..
m

Théorie monétaire (99-2004) Annexe ECON M831 partie 1 « Financement » La valeur des actifs 8-2
Notons l'importance du rythme de versement de l'intérêt. Si l'intérêt est versé
plusieurs fois par an, il est possible d'accumuler des intérêts sur l'intérêt versé dans les
premières fractions de l'année. Un taux facial de 10% par an versé par quart chaque trimestre
(taux trimestriel de 2,5%) permettra d'accumuler au bout d'un an plus de 10 centimes par franc
investi au début de l'année. Ainsi, au bout d'un an, le taux d'intérêt annuel effectif k, issu
d'un taux facial i payé m fois dans l'année sera
11 
 m
m
i
k
Notons l'importance de la formule de l'intérêt composé (V.F.) et distinguons-la de
l'intérêt simple ou linéaire (V.L):
V.L. = M (1+ z(i/m))
où z est le nombre de fractions m d'années écoulées (z peut être plus grand que m). Un
graphique peut illustrer la différence entre la forme exponentielle de l'intérêt composé (on
obtient des intérêts sur l'intérêt annuel déjà obtenu) et la forme linéaire de l'intérêt simple (on
obtient autant de fois l'intérêt qu'il y a d'années de placement).
b) placement répété
Une accumulation d’une annuité constante (épargne constante) est le cas où pendant
une certaine période (nombre d’années n), on fait un placement constant et on réinvestit
automatiquement les intérêts qu’il rapporte. La valeur future d’une annuité A se définit de la
manière suivante (Levasseur et Quintart, p.313) et est déduite d’une suite géométrique (cfr.
Partie VIII) :
(8.4)
1)1(
)1( 1
11
1
i
i
AiAVF n
n
t
tn
A
temps = z
Valeur
M
V.L.=M(1+z(i/m))
V.F.=M(1+i)z
1 an

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Voici un exemple concret d’une annuité de 10 000FB avec un taux d’intérêt annuel de
6% :
Schéma 8.1 : représentation de l’accumulation d’annuités constantes, n=3
Si l'objectif de l'épargnant est d'atteindre une valeur future précise au bout de n années
et qu'il désire connaître le montant A à épargner chaque année et à placer au taux i, il peut
calculer A à partir de 8.4. comme
(8.5)
Et le rendement d’un placement se mesure de la façon suivante :
10 000FB
10 000FB
10 000FB
Année 3
Année 2
Année 1
Temps 3
Temps 1
Temps 2
Temps 0
11 236 = 10 000 (1+0.06)²
10 600 = 10 000 (1+0.06)
10 000 = 10 000 (1+0.06)°
06.0 1)³06.01( 1000031836
(8.6)
) ( actuellevaleur actuellevaleurfuturevaleur 
1)1(
1
1
n
Aii
VFA

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8.1.2 Valeur présente
a) versement final unique
La valeur présente se déduit facilement de ce que nous venons de voir ci-dessus (cfr.
équation 8.2):
b) versement répété
La valeur présente d’une annuité constante (cfr. 8.4) versée pendant n périodes (du
point de vue du débiteur) ou perçue pendant n périodes (du point de vue du créditeur) c’est à
dire d’une annuité replacée au taux i jusqu’au versement de la tranche n est :
Pour connaître le montant A que l'on doit verser chaque année pendant n années
compte tenu d'un taux i, on trouve A dans (8.8.a). Par exemple, le remboursement fractionné
par annuités constantes de l’emprunt VP2 est :
Enfin, si ce versement du type A2 est une perpétuité P, sa valeur actualisée est :
La partie 8 sur les séries géométriques donne une solution pour passer des sommes finies ou
infinies aux formules présentées ici.
(8.7) M
)1(
..
.. )1(..   nm
nm
m
i
FV
PV
m
i
MFV
(8.8.a.)
)1(1
)1(
12
2
2
n
t
n
tii
A
i
A
VP
(8.8.b)
)1(1
22 n
i
i
VPA
(8.8.c)
)1(
1
2
tti
P
i
P
VP

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8.2 La valeur d’une obligation
Comment évaluer une obligation coupon zéro ? Ce type d’obligation ne comporte
pas de coupons et donc, le seul flux est le flux final lorsque l’obligation tombe à échéance. Il
suffit de savoir combien un investisseur va accepter de payer pour recevoir un montant
nominal Ft à l’échéance. Cela dépendra de l’horizon qu’il reste à courir et du taux d’intérêt
que l’investisseur exige :
Ce qui devient en temps continu :
Quant aux obligations avec coupons, elles sont évaluées de la manière suivante et
leur valeur correspond à la valeur actualisée des flux futurs attendus :
Ou
Avec n = le nombre de périodes ;
C = le payement périodique du coupon ;
r = le rendement exigé correspondant à la période et à l’horizon (maturité) ;
M = la valeur faciale (nominale) ;
t = la période considérée.
Dans certains cas, le temps restant ne correspond pas exactement avec la fréquence
d’une année. Dès lors, la formule d’évaluation du prix d’une obligation devient (la fraction
d'année est notée v):
)(8.7'
)1(
0t
t
t
r
F
P
(8.10)
)1()1(
...
)1()1( 2
21
0n
n
n
nr
M
r
C
r
C
r
C
P
(8.12)
)1()1()1()1( 1
11
nv
n
ttv rr M
rr C
P
(8.9) P0rt
teF 
(8.11)
)1()1(
1
0n
n
n
tt
tr
M
r
C
P