Chapitre 10
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MPSI Chapitre 10 CONDUCTEURS OHMIQUES, LOI D'OHM, LOI DE JOULE 10-1 Conductivité, loi d'Ohm locale 10-1-1 Conducteur ohmique, mobilités des porteurs de charge On considère un conducteur homogène, électriquement isotrope, immobile et à température constante et uniforme. Dans un tel conducteur, le mouvement d'ensemble des porteurs de charge est dû à une seule cause, le champ électrique créé par le reste du circuit. Le conducteur étant isotrope, il n'existe aucune direction privilégiée, mise à part celle du champ électrique. La vitesse moyenne (vitesse de leur mouvement d'ensemble) de chaque type de porteurs de charge est donc parallèle à E . Les lignes du champ électrique sont donc les lignes de courant. La mobilité µi du ième type de porteurs de charge est définie par v i µ i E lorsque le régime stationnaire (ou quasi stationnaire) est atteint. µi > 0 si qi > 0 et µi < 0 si qi < 0. La limitation de la vitesse moyenne d'un porteur de charge est due aux interactions avec les obstacles. Dans un conducteur métallique, ces obstacles sont les défauts du réseau cristallin et les impuretés, c'est-àdire tout ce qui rompt la périodicité spatiale du cristal. Dans un électrolyte ce sont les ions de charge opposée et éventuellement les molécules du solvant. La mobilité d'un porteur de charge dépend de la température. Pour un métal elle décroît si T croît, car les défauts cristallins sont en nombre croissant avec T. Par contre, pour un électrolyte, elle croît avec T. La densité volumique de courant est j i v i iµ i E . i i 10-1-2 Loi d'Ohm locale Un conducteur suit la loi d'Ohm locale si et seulement si µi est indépendant de E. Les métaux suivent la loi d'Ohm locale, même pour des champs électriques intenses. Dans ce cas, le conducteur considéré est un conducteur ohmique. Sa conductivité est définie par iµ i . Elle est indépendante de E et uniforme dans tout le i conducteur. Elle est de plus indépendante du temps en régime stationnaire ou elle en dépend très peu en ARQS. Son unité SI est le siemens par mètre : S.m–1. La loi d'Ohm locale se traduit donc par la formule j E avec constant. 1 L'inverse de la conductivité est la résistivité , son unité SI est l'ohm-mètre : .m. (le siemens est l'inverse de l'ohm). La loi d'Ohm locale s'écrit donc encore E j . 10-2 Résistance électrique d'un conducteur ohmique, loi d'Ohm 10-2-1 Loi d'Ohm Pour un conducteur ohmique, c'est-à-dire un conducteur homogène, isotrope, immobile, en régime stationnaire ou en ARQS (donc en particulier à T constante), la loi d'Ohm s'écrit : u = R i avec R constante, si l'on utilise la convention récepteur : i R u R est la résistance du conducteur ohmique, son unité SI est l'ohm : . Son inverse est la conductance G 1 . Son unité SI est le siemens: S. La loi d'Ohm s'écrit donc R aussi i G u La loi d'Ohm est bien entendue une conséquence de la loi d'Ohm locale : Soit un conducteur ohmique traversé par un courant en régime stationnaire, limité par deux équipotentielles A et B. Sa surface latérale est un tube de courant puisque aucun courant n'en sort. i S A j E B dS u S étant une section quelconque du conducteur, l'intensité du courant est i j .d S E .d S et la S B S tension est u A E .d M . Si en chaque point du conducteur E est multiplié par k, alors u est multiplié par k et, étant inchangé, i est aussi multiplié par k. Le rapport R u reste bien constant. i 10-2-2 Résistances d'un conducteur ohmique élémentaire et d'un conducteur ohmique cylindrique di dL dS du Soit un tube de courant élémentaire de longueur dL et de section dS, limité par deux équipotentielles entre lesquelles la tension est du et parcouru par le courant d'intensité di. Le champ électrique E est comme les lignes de courant normal aux équipotentielles et il est donc parallèle au vecteur d L et au vecteur d S . On a alors di = E dS et du = E dL d'où la conductance de cet élément de conducteur ohmique : dS dL dG (c'est un infiniment petit) et sa résistance (infiniment grande) : R . dL dS Par intégration, on obtient la résistance d'un conducteur ohmique cylindrique limité par deux L équipotentielles, si la densité volumique de courant est bien parallèle à l'axe du cylindre : R . S Si un conducteur est filiforme, de section constante, chaque petite portion du fil est assimilable à un cylindre, la formule ci-dessus s'applique aussi. Pour une forme quelconque du conducteur ohmique, on peut calculer sa résistance ou sa conductance en le décomposant en tubes de courant élémentaires et en appliquant les lois sur les associations de résistances ou de conductances. 10-3 Étude physique de la conductivité 10-3-1 Cas des métaux, des alliages métalliques Pour un métal pur : - aux températures ordinaires : = 0 (1 + a ). Dans cette formule, représente la température en °C et a est de l'ordre de 3,7.10–3 K–1. - à des températures basses (20 K à 100 K. environ) la résistivité varie plus rapidement et non linéairement. Les alliages métalliques ont souvent des coefficients a bien plus faibles, parfois même très faibles (constantan, manganine). 10-3-2 Supraconducteurs Il existe une température critique en dessous de laquelle la résistivité s'annule pour certains matériaux. En dessous de cette température critique, le matériau est "supraconducteur". Pour les métaux, la température critique est toujours très basse : quelques kelvins pour la plupart, mais il n'y a pas de température critique pour les meilleurs conducteurs (cuivre, argent). T TC 10-3-3 Électrolytes La conductivité d'un électrolyte est une fonction croissante de la température, (la mobilité des ions croît avec T). z Soit un électrolyte dans lequel les porteurs de charge sont les ions libres X i i (zi > 0 ou zi < 0 suivant si l'on a affaire à un cation ou à un anion). z La charge de l'ion est qi = zi e. La concentration molaire volumique de cet ion étant ci (ou [ X i i ] ), la concentration volumique de ces ions est ni = N ci. La densité volumique de charge mobile pour ces ions est donc i = N ci zi e. En utilisant la constante de Faraday F '= N e = 96,5 kC.mol–1, on obtient : i = zi F ci. On a donc : j i v i i µ i E z iµ i c i F E . i i i Avec la loi d'Ohm locale j E , on obtient z i µ i c i F i zi La conductivité molaire des ions X i est définie par i z iµi F , son unité SI est : S.m2.mol–1. (i > 0 car zi et i sont de même signe). D'où l'expression de la conductivité de l'électrolyte : i c i i Les conductivités molaires des ions, comme leurs mobilités, dépendent de la température et des concentrations. Pour une solution suffisamment diluée, la conductivité molaire de chaque ion tend vers une limite appelée conductivité molaire limite, notée 0, qui croît avec la température. 0 Pour une solution très diluée : i c i i 10-4 Associations de résistances 10-4-1 Association en série Des dipôles sont en série s'ils sont traversés par le même courant. Soit i l'intensité de ce courant, R la résistance électrique du kème conducteur et uk = Rk i la tension entre les équipotentielles qui le limitent. n n k 1 k 1 La tension entre les bornes de l'association des n conducteurs ohmiques est u u k R k i . n La résistance du conducteur ohmique équivalent au groupement en série est donc R R k . k 1 10-4-2 Association en parallèle Des dipôles sont en parallèle s'ils sont placés entre les deux mêmes équipotentielles, donc sous la même tension. Soit u la tension entre ces deux équipotentielles, Gk la conductance électrique du kème conducteur et ik = Gk u l'intensité du courant qui le traverse. n n k 1 k 1 L'intensité du courant qui traverse l'ensemble des, n conducteurs ohmiques est i i k G k u . La conductance du conducteur ohmique équivalent au groupement en parallèle est donc n G Gk . k 1 10-4-3 Cas de deux conducteurs ohmiques Pour deux conducteurs ohmiques en série R = R1 + R2 et G G 1G 2 . G1 G 2 Pour deux conducteurs ohmiques en parallèle G = G1 + G2 et R R 1R 2 R1 R 2 10-4-4 Théorème de Kennely (équivalence triangle, étoile) On admettra qu'il y a équivalence entre les deux réseaux ci-dessous et on cherchera les relations entre les résistances de l'étoile et celles du triangle: i12 A12 R12 R1 R2 R31 A31 R23 A23 R3 i31 i23 Si i12 = 0, on peut supprimer la branche correspondante, entre A31 et A23 on a, d'après les lois sur les (R 1 R 2 )R 3 associations de résistances : R 31 R 23 (1). R1 R 2 R 3 En répétant le même raisonnement pour i31 = 0 puis pour i23 = 0 ou en permutant circulairement les (R 2 R 3 )R 1 (R 3 R 1 )R 2 indices, on obtient : R 12 R 31 (2) et R 23 R 12 (3). R1 R 2 R 3 R1 R 2 R 3 R 1R 2 (2) (3) (1) (3) (1) (2) (1) (2) (3) donne R 12 . Avec et ou par permutation R1 R 2 R 3 2 2 2 R 2R 3 R 3R1 et R 31 . R1 R 2 R 3 R1 R 2 R 3 Si V31 = V23, on peut réunir les nœuds A31 et A23 (on supprime R3 où ne passe aucun courant) on a (G12 G 31 )G 23 alors G 2 G 3 (I) G 31 G 23 G12 (G 23 G12 )G 31 (G 31 G 23 )G12 De même G 3 G1 (II) et G1 G 2 (III). G 31 G 23 G12 G 31 G 23 G12 circulaire des indices, on obtient : R 23 G12 G 31 (II) (III) (I) donne G1 . G12 G 23 G 31 2 De même G 2 G 23G12 G 31G 23 et G 3 . G12 G 23 G 31 G12 G 23 G 31 10-5 Théorème de Millman j ik V Rk Vk Soit un nœud au potentiel V ou aboutissent : - n branches passives, par la branche de numéro k de conductance Gk arrive au nœud considéré le courant d'intensité ik et son autre extrémité étant au potentiel Vk, - m branches comportant des sources de courant, j étant l'intensité du courant électromoteur de la branche de numéro j fléché vers le nœud considéré. La loi d'Ohm donne : ik = Gk (Vk – V). La loi des nœuds donne n m k 1 j1 [G k (Vk V)] k 0 n D'où le théorème de Millman : V m (G k Vk ) j k 1 j1 n Gk k 1 Le théorème de Millman, comme on le verra en exercices, est très pratique à utiliser dans les montages à amplificateurs opérationnels. 10-6 Ponts diviseur de tension et diviseur de courant 10-6-1 Pont diviseur de tension R1 R1 uE uE R2 uS R2 uS RC RC Les deux schémas sont équivalents, le second présente le diviseur de tension sous la forme d'un quadripôle; le quadripôle est le réseau à 4 bornes entouré en pointillés. RC est la résistance de charge, ou résistance utile. En son absence (RC = ∞), on dit que le diviseur de tension est en sortie ouverte. Les formules du diviseurs de tension s'obtiennent simplement avec la loi d'Ohm : pour une même intensité, les tensions sont proportionnelles aux résistances. uS R2 u G1 En sortie ouverte : , ou , en divisant haut et bas par R1R2 : S u E R1 R 2 u E G1 G 2 Avec une résistance de charge, il faut remplacer R2 par la résistance équivalente à R2 en parallèle uS R 2R C G1 R 2R C avec RC : ce qui donne u E R 1R 2 R 1R C R 2 R C G1 G 2 G C R2 RC 10-6-2 Pont diviseur de courant iE iE G1 G2 iS G2 iS GC G1 GC Les deux schémas sont équivalents, le second présente le diviseur de courant sous la forme d'un quadripôle; le quadripôle est le réseau à 4 bornes entouré en pointillés. GC est la conductance de charge, ou conductance utile. En son absence (GC = ∞), on dit que le diviseur de courant est en sortie court-circuitée. Les formules du diviseurs de courant s'obtiennent simplement avec la loi d'Ohm : pour une même tension, les intensités sont proportionnelles aux conductances. iS G2 i R1 En sortie court-circuitée : , ou , en divisant haut et bas par G1G2 : S i E G1 G 2 i E R1 R 2 Avec une conductance de charge, il faut remplacer G2 par la conductance équivalente à G2 en série iS G 2G C R1 G 2G C avec GC : ce qui donne i E G 1G 2 G 1G C G 2 G C R 1 R 2 R C G2 GC 10-7 Loi de Joule 10-7-1 Cas du conducteur ohmique Dans un conducteur ohmique toute l'énergie électrocinétique reçue est transformée en énergie thermique. En régime stationnaire, cette énergie thermique est intégralement cédée au milieu extérieur (chaleur) puisque la température du conducteur est fixe de même bien sûr que l'état physique et la composition chimique du conducteur). Par contre, en régime variable une partie de l'énergie thermique peut être conservée par le conducteur qui voit alors sa température varier. La résistance du conducteur est alors une variable... La puissance électrocinétique reçue par un conducteur ohmique est, avec la convention récepteur P = u i, soit, avec u = R i ou i = G u soit P = R i2 = G u2. La puissance thermique produite dans un conducteur ohmique est donc Pth R i2 G u 2 . 2 2 L'énergie thermique produite pendant dt est donc Wth Ri dt G u dt . Si le régime est stationnaire, T, i, u , R et G sont des constantes, la chaleur reçue par le conducteur 2 2 ohmique est alors Q R i t G u t . 10-7-2 Cas d'un dipôle quelconque L'effet Joule est la production d'énergie thermique dans un dipôle. Il concerne tous les dipôles. Par définition, la résistance d'un dipôle dans lequel la puissance thermique produite est Pth pour une intensité i traversant ce dipôle est R Pth i2 . La loi de Joule s'écrit donc pour un dipôle quelconque Pth R i 2 , mais elle ne s'écrit Pth G u 2 que 2 pour un conducteur ohmique. De même, en régime stationnaire Q R i t , mais Q G u 2 t n'est valable que pour le conducteur ohmique.
