Volume du projectile V = 50 L

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LE TREBUCHET
Le trébuchet est une machine de guerre utilisée au Moyen
Âge au cours des sièges de châteaux forts. Le projectile
pouvait faire des brèches dans les murailles des châteaux
forts situés à plus de 200 m du trébuchet. Son principe de
fonctionnement est le suivant :
Un contrepoids relié à un levier est maintenu à une
certaine hauteur par des cordages. Il est brusquement
libéré. Au cours de sa chute, il agit sur un levier au bout
duquel se trouve une poche en cuir dans laquelle est placé
le projectile.
Lors de sa libération, le projectile de la poche se trouve à
une hauteur H = 10 m et est projeté avec une vitesse ;v0
faisant un angle avec l'horizontale (voir la figure 1)
Les mouvements du contrepoids et du projectile s'effectuent dans un champ de pesanteur uniforme.
Données :
Masse du projectile m = 130 kg.
Intensité du champ de pesanteur g 10 m.s-2.
Hauteur du projectile au moment du lancer : H = 10 m.
Masse volumique de l'air
air = 1,3 kg.m -3.
Volume du projectile V = 50 L
Étude du mouvement du projectile après libération
Le système étudié est le projectile. Les frottements de l'air sur le projectile seront négligés dans cette
étude. Le champ de pesanteur ;g est parallèle à l'axe Oz. La situation est représentée sur la figure 1)
1. Donner les caractéristiques (sens, direction et valeur) du poids ;P et de la poussée d'Archimède ;PA
qui s'exercent sur le projectile.
2. Est-il judicieux de négliger par la suite la poussée d'Archimède ?
3. En appliquant la 2nde loi de Newton dans le cadre de la chute libre, déterminer les coordonnées ax et az
du vecteur accélération du centre d'inertie du projectile dans le repère indiqué.
4. Donner l'expression des coordonnées du vecteur vitesse initiale ;v0, notées V0X et v0z, en fonction de
V0 et .
5. On appelle composante horizontale de la vitesse la coordonnée vx(t) du vecteur ;v et composante
verticale la coordonnée vz(t).
Déterminer l'expression des composantes horizontale et verticale vx(t) et vz(t) du vecteur vitesse ;v
du système au cours de son mouvement.
6. En déduire la nature du mouvement du projectile en projection sur l'axe horizontal. Justifier.
7. Déterminer l'expression des équations horaires du mouvement du projectile : x(t) et z(t).
z
v0
Sol
x
H
O
Figure 1.

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8. Montrer que l'équation de la trajectoire du projectile est la suivante :
9. Quelle est la nature de la trajectoire du projectile? Représenter qualitativement l'allure de la trajectoire
sur la figure 1 .
10. En utilisant l'expression de l'équation de la trajectoire obtenue à la question 8., indiquer les paramètres
de lancement qui jouent un rôle dans le mouvement du projectile.
11. Dans le cas où le projectile est lancé avec une vitesse initiale horizontale, montrer que l'abscisse de
son point de chute est :
02H
xv g
.
12. Avec quelle vitesse initiale v0 horizontale, le projectile doit-il être lancé pour atteindre la base du mur
du château situé à une distance x = 100 m ?
SATURNE, SES SATELLITES, SES ANNEAUX
La planète Saturne est entourée de nombreux satellites et d'anneaux. Voici
quelques données relatives à cette planète, à ses anneaux et à ses principaux
satellites.
Données :
- Distance Soleil Saturne : DSS = 1,425×109 km.
- Rayon de Saturne : RS = 60×103 km .
- Les anneaux sont formés de divers éléments (cailloux, poussières et blocs de glace) non
regroupés entre eux et tournant autour de Saturne.
- Rayon intérieur du premier anneau : 74 milliers de kilomètres.
- Rayon extérieur du dernier anneau : 136 milliers de kilomètres.
- La constante de gravitation universelle sera notée G avec : G = 6,67×10-11 u.S.I.
Dans la partie A, on considérera que les astres sont ponctuels et que les trajectoires sont circulaires.
I - Masse de Saturne
Pour étudier le mouvement des satellites de Saturne, il convient de se placer dans un référentiel particulier
que l'on peut appeler « saturnocentrique » par analogie à « géocentrique ».
1. Comment définir le référentiel « saturnocentrique » ?
2. À partir du bilan de forces exercées sur un satellite par Saturne (on
néglige l'action des autres astres), démontrer la relation
²S
GM
vr
qui
lie la vitesse v du satellite, le rayon r de son orbite, la masse de Saturne
MS et la constante de gravitation universelle G.
3. La 3e loi de Kepler peut s'énoncer ainsi : le carré de la période de révo-
lution d'un satellite d'un astre est proportionnel au cube du rayon de sa
Satellites
Durée de révolution
Rayon de l'orbite (milliers de km)
JANUS
17 h 58 min
159
MIMAS
22 h 37 min
185,8
ENCELADE
1 j 8 h 53 min
238,3
TÉTHIS
1 j 21 h 18 min
294,9
DIONE
2 j 17 h 41 min
377,9
2
0
1²
z = - g + tan α + H
2 v cos²α
xx.

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trajectoire circulaire, soit : T2 = k r3. Déterminer à partir du résultat de la 2e question,
l'expression de la constante de proportionnalité k en fonction de MS et G.
4. En utilisant les données relatives à l'un des satellites, déduire la masse de Saturne.
5. On néglige l'action des éléments les uns sur les autres devant l'action de l'astre sur chacun des
éléments. A et B étant deux éléments de deux anneaux différents initialement alignés avec
Saturne, cet alignement sera-t-il conservé ? On justifiera la réponse.
II - Sphère de Roche
Il existe une distance Ro, appelée rayon de la sphère de Roche qui marque la limite entre une zone
où des satellites peuvent se former par assemblage de poussière, cailloux... qui s'étaient formés en
même temps que l'astre et une zone où cet assemblage est rendu impossible par l'action de l'astre. Il
s'agit dans la partie suivante de déterminer les raisons de l'existence de cette limite qui explique en
partie l'existence des anneaux de Saturne.
1. On considère donc deux sphères homogènes identiques en contact de masse m et de rayon ρ telles
que la distance de leurs centres A et B soit AB = 2ρ. Le centre d’inertie P de l'ensemble des deux
sphères tourne à une distance r du centre S de Saturne. Les points S, A, P et B sont alignés (voir
figure ci-après). Exprimer en fonction des paramètres utiles choisis parmi m, Ms, G, ρ, RS, r la
valeur de la force d'attraction FAB qui s'exerce entre les sphères de centres A et B.
2. Les deux sphères sont attirées par Saturne par deux forces
S/A
F
et
S/B
F
On montre que la valeur de
la différence de ces forces est
// 3
..
4S
S A S B G M m
FF r
et que cette différence d'attraction a
tendance à séparer les deux sphères. Pourquoi les deux sphères ne sont-elles pas attirées de la même
façon par Saturne ?
3. Ro, le rayon de la sphère de Roche, est tel que pour r = Ro, FAB = FS/A – FS/B . L'espace où les deux
éléments A et B peuvent se regrouper pour donner naissance à un élément plus gros est-il défini par
r < Ro ou par r > Ro ? Justifier la réponse. Les données fournies au début du texte sont-elles en
accord avec l'existence de la sphère de Roche ?