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TS
Physique
Attention au portique…
Exercice résolu
- Enoncé –
Remarques :
- les 4 parties sont indépendantes,
- toutes les réponses seront justifiées.
A. Première partie : Constante de temps d'un circuit RL
On considère un circuit électrique en série comportant :
- un générateur idéal de tension (qui possède une prise de Terre) de force électromotrice
E=
10 V,
- une bobine d'inductance L = 1,0 H et de résistance interne r = 10 ,
- un conducteur ohmique de résistance R réglable,
- un interrupteur.
Un dispositif informatisé d'acquisition de données permet de visualiser la tension uR aux bornes du
conducteur ohmique en fonction du temps. A l'aide d'un logiciel de traitement de données, on peut
suivre l’évolution de l’intensité i du courant dans le circuit en fonction du temps. La fermeture de
l’interrupteur, à t = 0 s, déclenche l’acquisition.
1. Faites le schéma du montage. Vous indiquerez :
- l’orientation du circuit,
- la tension E (en convention générateur), ainsi que les tensions u R et uL (aux bornes de la bobine) en
convention récepteur,
- les connexions vers l’entrée du système d’acquisition et vers la masse M.
2. Avec R = 90 , on obtient l’enregistrement en annexe.
a) Établissez l'expression de l'intensité I du courant en régime permanent en fonction de E, R et r.
b) Vérifiez que la valeur de l’intensité du courant en régime permanent obtenue sur le graphe de la
figure en annexe est en accord avec l’expression trouvée à la question précédente.
c) Donnez l’expression de la constante de temps du circuit étudié.
d) Déterminez graphiquement la valeur de cette constante de temps et vérifiez que cette valeur est en
accord avec l’expression donnée à la question précédente.
3. On modifie la valeur de la résistance réglable : on a maintenant R = 190 .
a) Calculez la nouvelle valeur I’ de l’intensité du courant en régime permanent.
b) Calculez la nouvelle constante de temps ’ du circuit.
c) Sur l’enregistrement en annexe, représenter soigneusement la courbe de l’évolution de l’intensité i
du courant en fonction du temps.
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B. Deuxième partie : Étude d'un circuit oscillant
On réalise ensuite le montage schématisé ci-dessous :
1
2
Voie 1
K
Système
d’acquisition
de données
L, r
u1
C
E
Voie 2
R
u2
E = 10 V
R = 50 
L= 1,0 H
r = 10 
C = 10 µF
1. Le commutateur est d’abord basculé en position 1 et, ensuite, en position 2 : l'acquisition se
déclenche alors à cet instant. On obtient les courbes ci-dessous (les axes des ordonnées sont gradués
en volts, axe de gauche pour la courbe A et axe de droite pour la courbe B) :
Courbe A
Courbe B
a) Lorsque le commutateur bascule en position 1, le condensateur se charge de façon quasi-instantanée.
Pourquoi ce phénomène est-il très rapide?
b) Attribuez à chaque courbe la tension qui lui correspond.
c) Mesurez la valeur de la pseudo-période des oscillations.
d) Comment peut-on expliquer la diminution d'amplitude des oscillations au cours du temps ?
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2. On réalise à présent la même expérience en modifiant un seul des paramètres L ou C. Deux cas sont
proposés : dans l’un on a diminué la valeur de L et dans l’autre on a augmenté la valeur de C.
On obtient les enregistrements ci-dessous dessous (les axes des ordonnées sont gradués en volts, axe
de gauche pour la courbe A et axe de droite pour la courbe B) :

Courbe B
Courbe A

Courbe B
Courbe A
Attribuez à chaque cas proposé l’enregistrement (ou ) qui lui correspond.
C. Troisième partie : Oscillations non amorties
Le montage de la deuxième partie est modifié : on enlève la résistance R et on ajoute un dispositif
électronique qui permet de considérer que la résistance globale du circuit est maintenant nulle. Le
commutateur est d’abord placé en position 1 : le condensateur se charge. Le commutateur est ensuite
placé en position 2 : le circuit est le siège d’oscillations électriques non amorties. L’une des armatures
2p
du condensateur porte une charge q dont l'évolution temporelle est de la forme : q(t) = C.E. cos(
.t).
T0
1. En déduire l'expression de l'intensité i du courant en fonction du temps dans ce circuit.
2. Quelle est la valeur de l'intensité du courant à t = 0 s, instant où le commutateur vient de passer en
position 2 ?
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D. Quatrième partie : Application
La photo ci-contre montre un circuit électrique collé sous la couverture d'un
livre : c'est un oscillateur électrique du type LC, dont la période propre vaut
T0 = 2. LC .
Si le livre est tombé « par mégarde » dans le sac d'un client au lieu de passer par la caisse du magasin,
ce circuit va se retrouver, à la sortie, entre les portiques de sécurité. Ces portiques contiennent des
bobines émettant en permanence une onde radio de faible intensité mais de haute fréquence N = 10
MHz, exactement égale à la fréquence propre N0 du petit oscillateur. Dans ces conditions, le circuit
capte l'énergie émise, se met à osciller, et émet à son tour une onde qui vient perturber l'onde des
portiques. La détection de cette perturbation déclenche une alarme.
1. La capacité C du condensateur vaut 5,0 x 10 -1 nF. En déduire la valeur de l'inductance L de la bobine
(on prendra 2 = 10).
2. a) Calculez la longueur d'onde de l'onde radio émise par les portiques (on donne la célérité de la
lumière : c = 3,0 x 108 m.s-1).
b) Cette onde radio est-elle mieux diffractée par un obstacle de largeur a = 1 m ou de
largeur a =
100m ?
c) Quel est l'intérêt de la diffraction pour ce dispositif ?
ANNEXE
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- Corrigé –
A. Première partie : Constante de temps d'un circuit RL
1. Faites le schéma du montage.
uL
L, r
E
Entrée
uR
R
Masse
a) Établissez l'expression de l'intensité I du courant en régime permanent en fonction de E, R
et r.
D'après la loi d'additivité des tensions E = uR + uL et, d'après la loi d'Ohm uR = R.i
di
La tension aux bornes d'une bobine non idéale a pour expression uL = L.
+ r.i
dt
di
On en déduit : E = R.i + L.
+ r.i
dt
di
Lors du régime permanent, l'intensité du courant est constante : donc
= 0 et i = I.
dt
On a alors : E = R.I + r.I et I =
E
R+ r
b) Vérifiez que la valeur de l’intensité du courant en régime permanent obtenue sur le graphe de la figure en annexe est
en accord avec l’expression trouvée à la question précédente.
Graphiquement, on lit : I = 100 mA.
Avec l'expression précédente, on a : I =
10
= 1,0 x 10-1 A.
90  10
La valeur trouvée graphiquement est donc en accord avec l’expression trouvée précédemment.
c) Donnez l’expression de la constante de temps du circuit étudié.
La constante de temps du circuit RL a pour expression :  =
L
R+ r
d) Déterminez graphiquement la valeur de cette constante de temps et vérifiez que cette valeur est en ccord avec
l’expression donnée à la question précédente.
Avec l’expression précédente, on trouve :  =
1,0
= 1,0 x 10–2 s ou 10 ms.
90  10
Graphiquement, la constante de temps  est l’abscisse du point d’intersection de l’asymptote à la
courbe et de la tangente à t = 0 à cette même courbe. On trouve : = 10 ms.
La valeur trouvée graphiquement est donc en accord avec l’expression trouvée précédemment.
3. a) Calculez la nouvelle valeur I’ de l’intensité du courant en régime permanent.
I’ =
E
R+ r
soit : I’ =
10
= 5,0 x 10-2 A ou 50 mA.
190  10
b) Calculez la nouvelle constante de temps ’ du circuit.
’ =
L
R+ r
soit ’ =
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1,0
= 5,0 x 10-3 s ou 5,0 ms.
190  10
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c) Sur l’enregistrement en annexe, représentez soigneusement la courbe de l’évolution de l’intensité i du courant en
fonction du temps.
Doivent apparaître sur l’enregistrement :
- l'asymptote horizontale d'équation : I = 50 mA,
- la tangente à la courbe à t = 0 s, passant par le point de coordonnées :  = 5,0 ms et I = 50 mA,
- pour t = 5', on a : i  I.
B. Deuxième partie : Étude d'un circuit oscillant
1. a) Lorsque le commutateur bascule en position 1, le condensateur se charge de façon quasi-instantanée. Pourquoi ce
phénomène est-il très rapide?
La charge du condensateur est quasi-instantanée car le circuit de charge ne contient pas de résistance.
b) Attribuez à chaque courbe la tension qui lui correspond.
Courbe A : tension u1 aux bornes du condensateur. En effet, à t = 0 s, le condensateur est chargé et
donc u1(0) = E = 10 V.
Courbe B : tension u2 aux bornes du conducteur ohmique. En effet, à t = 0 s, l’intensité i du courant
dans le circuit est nulle et donc : u2 = R.i = 0.
c) Mesurez la valeur de la pseudo-période des oscillations.
On lit 2T = 40 ms, soit : T = 20 ms.
d) Comment peut-on expliquer la diminution d'amplitude des oscillations au cours du temps ?
L'amplitude des oscillations diminue au cours du temps car l’énergie électromagnétique ne se conserve
pas. A chaque oscillation, de l’énergie se dissipe sous forme calorifique dans les résistances R et r
(effet Joule).
2. Attribuez à chaque cas proposé l’enregistrement (ou ) qui lui correspond.
La pseudo-période a pour expression : T = 2. LC
Pour l’enregistrement , on lit T = 40 ms. La pseudo-période a augmenté : il s'agit donc du cas où la
valeur de la capacité C a augmenté.
Pour l’enregistrement , on lit T = 10 ms. La pseudo-période a diminué : il s’agit donc du cas où la valeur
de l’inductance L a diminué.
C. Troisième partie : Oscillations non amorties
1. En déduire l'expression de l'intensité i du courant en fonction du temps dans ce circuit.
On a q(t) = C.E. cos(
dq
2p
2p
2p
.t). Or : i(t) =
=> i(t)= – C.E.
sin(
.t)
dt
T0
T0
T0
2. Quelle est la valeur de l'intensité du courant à t = 0 s, instant où le commutateur vient de passer en
2p
Pour t = 0 s : i(0) = – C.E.
sin(0) => i(0) = 0 A
T0
position 2 ?
D. Quatrième partie : Application
1. La capacité C du condensateur vaut 5,0 x 10-1 nF. En déduire la valeur de l'inductance L de la bobine (on prendra 2 =
10).
T0 = 2. L.C => T02 = 42.L.C => L =
Soit : L =
T02
1
et L =
4p².C
4p².C.N02
1
= 5,0 x 10-7 H ou 5,0 x 10-1 µH.
4 ´ 10 ´ 5, 0 ´ .10- 10 ´ (10 ´ 10 6 )²
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2. a) Calculez la longueur d'onde de l'onde radio émise par les portiques.
=
c
N
avec c = 3,0 x 108 m.s-1 (célérité de la lumière).
Soit :  =
3, 0 ´ 108
= 3,0 x 101 m ou 30 m.
10 ´ 106
b) Cette onde radio est-elle mieux diffractée par un obstacle de largeur a = 1 m ou de largeur a = 100m ?
Plus la largeur de l'obstacle est faible face à la longueur d'onde et plus le phénomène de diffraction
est important : l'onde sera mieux diffractée par un obstacle de largeur a = 1 m.
c) Quel est l'intérêt de la diffraction pour ce dispositif ?
L'intérêt de la diffraction dans ce dispositif est que l'onde émise par le portique se propage dans de
nombreuses directions (pas uniquement en ligne droite) et, ainsi, a plus de chance de rencontrer le
circuit antivol lors du passage par le portique.
De même, l'onde émise par l'antivol ne se propageant pas en ligne droite a plus de chance de faire
sonner le portique.
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