Chapitre 6

MPSI Chapitre 6
LES LOIS DE DESCARTES, LE PRISME
6-1 Nature de la lumière
6-1-1 vitesse de propagation, indices de réfraction
Une onde progressive électromagnétique monochromatique est constituée par un champ électrique
E
et un champ magnétique
B
vibrant en phase, perpendiculairement entre eux et perpendiculairement à la
direction de la propagation
Si la fréquence de la radiation électromagnétique est , la période est
 1
. Si la vitesse de propagation est
v, la longueur d'onde (période spatiale) est la distance dont l'onde progresse en une période  = v  soit
 v
, dans le vide v = c =2,998.108 m.s–1 et
 c
0
Pour un milieu isotrope. homogène. où la vitesse de propagation est v, on définit l'indice de
réfraction absolu du milieu pour la fréquence  par
v
c
N
d'où
N
0
.
Pour deux milieux (1) et (2), homogènes et optiquement isotropes, l'indice de réfraction du milieu
(2) par rapport au milieu (1) est le rapport
1
2
2
1
1/2 N
N
v
v
n
Les indices de réfraction dépendent de la fréquence de la radiation considérée.
6-1-2 les différents domaines des ondes électromagnétiques, la lumière
Suivant la longueur d'onde dans le vide (donc suivant la fréquence), on distingue différents domaines
de radiation. L'origine de cette distinction provient de ce que les radiations de ces différents domaines sont
produites par des sources de types différents, ou de leur action sur l'œil.
Seules les radiations dont les longueurs d'onde dans le vide sont comprises entre environ 400 nm et
environ 750 nm impressionnent l'œil et c'est aux vibrations du champ électrique que celui-ci est sensible.
La lumière (rayonnement visible) correspond à
nm750nm400 0 
On distingue différentes couleurs, dans l'ordre des longueurs d'onde dans le vide croissantes : violet,
indigo, bleu, vert, jaune, orangé, rouge.
Aux longueurs d'onde dans le vide inférieures à 400 nm. jusqu'à environ 1 nm, on trouve le domaine
de l'ultraviolet, puis les rayon X, les rayons gamma, les rayons cosmiques.
Aux longueurs d'onde dans le vide supérieures à 750 nm. jusqu'à environ 1 mm, on trouve le domaine
de l'infrarouge. puis celui des ondes radioélectriques.
x
Ey
Bz
E
B
x
Ey
Bz
E
B

Dans le domaine de la lumière proprement dite, des U.V. et de 1'I.R. l'indice absolu d'un milieu est
toujours supérieur à 1 et la vitesse de la lumière dans l'air est voisine de c. On utilise couramment les
indices par rapport à l'air, n, au lieu des indices absolus, N. On a
Nn 
(donc air 0) et pour l'indice du
milieu (2) par rapport au milieu (1) :
2
1
1
2
1
2
1/2 v
v
n
n
N
N
n
6-2 La propagation rectiligne
6-2-1 L'hypothèse de la propagation rectiligne
Toute l'optique géométrique repose sur l'hypothèse de la propagation rectiligne de la lumière issue
d'une source ponctuelle dans le cas d'un milieu de propagation homogène.
Cette hypothèse est remise en question par les phénomènes de diffraction qui deviennent
appréciables chaque fois que la lumière doit passer dans des fentes dont la largeur est du même ordre que la
longueur d'onde, ou inférieure à celle-ci.
6-2-2 Les rayons lumineux
Le trajet rectiligne de la lumière issue d'un point est un rayon lumineux.
Un faisceau isogène est formé par des rayons lumineux issu d'un point source. S'il est étroit, on parle
de pinceau lumineux.
Si la lumière est issue d'une source étendue. on a un faisceau complexe forme d'une infinité de
faisceaux isogènes.
Les phénomènes de réflexion et de réfraction permettant de modifier la direction des rayons
lumineux, on peut avoir des faisceaux lumineux divergents, convergents ou cylindriques.
6-3 Les lois de Descartes
6-3-1 Définitions
Elles précisent le comportement d'un rayon lumineux arrivant sur une surface réfléchissante et
réfringente  séparant deux milieux de propagation homogènes et isotropes.
On appelle point d'incidence le point d'intersection du rayon incident avec 1a surface . La normale à
 en ce point et le rayon incident déterminent le plan d'incidence. L'angle entre la normale au point
d'incidence et le rayon incident est l'angle d'incidence. Il y a deux rayons émergents.
Le rayon émergent dans le même milieu que le rayon incident est le rayon réfléchi, l'angle qu'il forme
avec la normale au point d'incidence est l'angle de réflexion.
R1
N
11
R'1
I
N'
R2
)(
(2)
(1)
i1
i'1
i2

Le rayon émergent dans le second milieu de propagation est le rayon réfracté, l'angle qu'il forme avec
la normale au point d'incidence est l'angle de réfraction.
6-3-2 Lois de Descartes pour la réflexion
1ère loi : Le rayon réfléchi appartient au plan d'incidence.
2ème loi : L'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion :
11 i'i 
6-3-3 Lois de Descartes pour la réfraction
1ère loi : Le rayon réfracté appartient au plan d'incidence.
2ème loi : Le rapport du sinus de l'angle d'incidence au sinus de l'angle de réfraction est égal à l'indice de
réfraction du second milieu traversé par la lumière par rapport au premier.
1
2
1/2
2
1n
n
n
)isin( )isin( 
La forme symétrique est souvent plus pratique :
)isin(n)isin(n 2211 
.
On remarquera que si une lumière monochromatique donnée est plus freinée par le milieu (2) que par
le milieu (1), on dit que le milieu (2) est plus réfringent que (1). On a alors v2 < v1 soit n2 > n1 et n2/1 >1. I1
en résulte que i2 < i1.
Si 1e milieu (2) est plus réfringent que 1e milieu (1), c'est-à-dire s'il freine plus la lumière
monochromatique considérée, le rayon lumineux se rapproche de la normale lors du passage de 1a
lumière du milieu (1) au milieu (2).
6-3-4 Loi du retour inverse de la lumière
Elle découle de la symétrie des lois de Descartes
Le trajet suivi par la lumière n'est pas modifié si le sens de sa propagation est inversé.
6-3-5 Réflexion totale et réfraction limite
Soit un rayon lumineux passant du milieu (1) à un milieu (2) plus réfringent. L'indice n2/1 est donc
supérieur à 1, l'angle de réfraction i2 est tel que n2/1 sin(i2) = sin(i1) < 1 soit
1/2
m2 n1
sinArcii
im est l'angle limite de réfraction, il correspond à un rayon incident longeant la surface réfringente,
donc à i1 = 90 °.
Inversement. si la lumière passe du milieu le plus réfringent (2) au milieu le moins réfringent (1),
l'angle d'incidence i2 ne dépassera pas la valeur im obtenue pour un angle de réfraction i1 = 90°. Si l'angle
d'incidence est supérieur à im, il y a réflexion totale.
Par exemple, si un verre a l'indice n = 1,50 par rapport l'air, pour une lumière monochromatique
donnée, l'angle limite de réfraction pour le passage de la lumière de l'air au verre, ou l'angle d'incidence à
partir duquel il y a réflexion totale pour le passage de cette lumière monochromatique du verre à l'air est
im =
5,11
sinArc
= 41,8°.
6-4 Le prisme
6-4-1 Définitions
Un prisme est un milieu transparent, homogène et optiquement isotrope, limité par deux faces
planes et une base. On s'intéressera uniquement ici à un prisme placé dans l'air et éclairé en lumière
monochromatique.
Le rectiligne du dièdre formé par les deux faces planes est nommé angle du prisme. noté souvent A.
L'indice du milieu transparent par rapport à l'air est l'indice du prisme, noté n. Il dépend de la longueur
d'onde dans le vide de la lumière. On s'intéresse uniquement ici au cas d'un rayon incident contenu dans un
plan de section droite du prisme c'est-à-dire dans un plan perpendiculaire à l'arête du dièdre.
La première loi de Descartes pour la réfraction implique que le trajet d'un tel rayon lumineux se fera
entièrement dans plan de section principale constitué par le plan d'incidence sur la face d'entrée.

L'angle d'incidence sur la face d'entrée sera noté i et l'angle de réfraction sur la face de sortie i'.
L'angle i est compté positivement lorsque le rayon incident est du même côté de la normale à la face d'entrée
que la base du prisme et négativement s'il est du même côté que l'arête. De même pour l'angle i', il est positif
si le rayon émergent est du même côté de la normale à la face de sortie que la base du prisme et négativement
dans l'autre cas.
L'angle de réfraction sur la face d'entrée sera noté r et l'angle d'incidence sur la face de sortie sera noté
r'. Les angles r et r' sont comptés positivement pour des rayons correspondants situés du même côté de la
normale correspondante que l'arête du prisme.
6-4-2 Les formules du prisme
Les deux premières
traduisent la 2ème loi de Descartes
pour la réfraction :
)rsin(n)isin( 
)'rsin(n)'isin( 
Les deux autres sont
purement géométriques :
A'rr 
A'iiD 
D, angle entre le rayon
incident et le rayon émergent. est
la déviation.
Un rayon lumineux est
toujours dévié vers la base du
prisme. (D > 0)
6-4-3 Étude de la déviation en fonction de l'angle d'incidence
- Existence d'un minimum de déviation
Pour une lumière monochromatique donnée, et un prisme donné, n et A sont des constantes.
Les formules du prisme donnent :
n)isin( sinArcr
;
 n)isin( sinArcA'r
;
 n)isin( sinArcAsinnsinArc'i
donc :
D = i +
n)isin( sinArcAsinnsinArc
–A . Cette fonction D = f(i) est compliquée à étudier ! On
admettra, comme le confirme l'expérience, qu'elle présente un seul extremum et il s'agit d'un minimum.
- Symétrie au minimum de déviation
La loi du retour inverse de la lumière implique que si i prend la valeur i1 et i' la valeur i2 pour un sens
donné de la lumière, alors, pour le sens inverse, i = i2 et i' = i1. La déviation est la même pour les deux sens
de la lumière. Donc, à chaque valeur possible de D, il correspond deux angles d'incidence possibles. Mais au
minimum de déviation Dm il n'en correspond qu'un seul.
Pour D = Dm, on a donc i = i' et par conséquent r = r', la figure est alors symétrique par rapport au
plan bissecteur du dièdre formé par le prisme.
En notant avec l'indice m les valeurs correspondant au minimum de déviation, on a donc :
2
A
'rr mm 
;
mm 'ii 
;
Ai2D mm 
d'où
2AD
im
m
; avec sin(im) = n sin(rm), on obtient
donc la formule
2
A
sin
2AD
sin
n
m
.
A
irr'
i'
D
+
++
+
A
irr'
i'
D
+
++
+

- Déviation maximale, condition d'émergence
Un rayon lumineux pourra de toute façon traverser la face d'entre du prisme quel que soit son angle
d'incidence, mais il ne traversera la face de sortie que si son angle d'incidence r' sur celle-ci est inférieur à
r'0 =
n
1
sinArc
ce qui correspond à i'0 = 90° et à r0 = A –
n
1
sinArc
donc à l'angle d'incidence minimal
 n
1
sinArcAsinnsinArci0
.
On remarquera que cet angle peut être positif ou négatif suivant la valeur de l'angle du prisme A.
La déviation prendra alors sa valeur maximale, la même que pour i = 90 ° d'après la loi du retour
inverse de la lumière :
A90iD 0M 
.
6-4-4 Exemple
Soit un prisme d'angle au sommet A = 30°, d'indice n = 1,5 pour la lumière monochromatique
considérée.
Au minimum de déviation r = r' = rm =
2
A
= 15 ° ; i = ï' = im = Arcsin(1,5 sin15°) = 22,8 °
D = Dm = 2 im – A = 15,7 °.
L'angle d'incidence minimal permettant la traversée de la deuxième face du prisme est i0 tel que
i'0 = 90 ° d'où r'o =
5,11
sinArc
= 41,8° et r0 = A – r'0 = – 11,8 ° d'où i0 = Arcsin(1,5 sin(r0) = – 17,9 °.
La déviation maximale est donc D0 = i0 + 90 ° – A = 42,1 °. Elle est obtenue pour i = i0 et i' = 90°
comme pour i = 90° et i' = i0.
Pour i = 0 ° on a r = 0 °, r' = A = 30 °. On a alors i' = Arcsin(1,5 sin(30°)) = 48,6 ° et une déviation
D = i' – A = 18,6 °.
La même déviation de 18,6 ° est aussi obtenue pour i = 48,6 ° et i' = 0 °.
Le tracé complet avec Maple de D = f(i) est réalisé ci-dessous, directement avec l'expression de cette
fonction.
A
imim
Dm Dm
2
A2 A
A
imim
Dm Dm
2
A2 A