1 ES Fonctions généralités - Playmaths

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Fonctions généralités
Fiches lecture graphique
QCM p.116
Ex 6 p.138
I. Généralités sur les fonctions (Rappels)
1) Définitions
Soit A une partie de
Ë
.
f est une fonction numérique définie de A dans
Ë
si, à tout réel x de A, on associe au plus un
réel y, noté f(x).
On note : f :A
Ë
x f(x)
x est la variable
f(x) est l’image de x par la fonction f.
L’ensemble de définition d’une fonction numérique est l’ensemble des réels qui ont une image
par f.
x est un antécédent de y par f si x appartient à A et si y = f(x).
2) Exemple
On considère la fonction f :
Ë
Ë
x
Error!
Le réel –
Error!
n’a pas d’image par f, car il annule le dénominateur.
Df =
Ë
\{ -
Error!
}
f(3) =
Error!
3 a pour image
Error!
.
3 est l’antécédent de
Error!
.
(Une fonction peut avoir plusieurs antécédents)
3) Représentation graphique
Le plan étant muni d’un repère (O,
Error!
,
Error!
), on appelle courbe représentative C ( ou
représentation graphique) de la fonction f, l’ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x))
où x appartient à l’ensemble de définition de f.
On dit aussi que la courbe C a pour équation y = f(x) dans le repère (O,
Error!
,
Error!
)
Exemple :

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II. Sens de variation d’une fonction (Rappels)
1) Définitions
Une fonction f est croissante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2
alors f(x1) < f(x2). On dit que la fonction conserve le sens des inégalités.
On note :
x
x1
x2
f(x2)
f
f(x1)
Une fonction f est décroissante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 <
x2 alors f(x1) > f(x2). On dit que la fonction inverse le sens des inégalités.
On note :
x
x1
x2
f(x1)
f
f(x2)
Une fonction f est constante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2
alors f(x1) = f(x2) = k.
On note :
x
x1
x2
f
k
k
Les tableaux sont des tableaux de variations.
Une fonction f est monotone sur un intervalle I, si f est soit croissante sur I, soit
décroissante sur I.
2) Extremum d’une fonction
La fonction f admet un
maximum f(a) en a sur
l’intervalle I lorsque, pour
tout x de I, f(x) ≤ f(a).
La fonction f admet un
minimum f(b) en b sur
l’intervalle I lorsque, pour
tout x de I, f(x) ≥ f(b).

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III. Fonctions affines
Définition :
Les fonctions affines sont les fonctions définies sur
Ë
par f(x) = ax + b.
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite de coefficient directeur a.
Variation d’une fonction affine :
Sa courbe représentative est la droite d’équation y = ax+b.
Si a > 0, la fonction affine est croissante sur
Ë
.
Si a = 0, la fonction affine est constante sur
Ë
.
Si a < 0, la fonction affine est décroissante sur
Ë
.
Cas particulier :
b = 0
f(x) = ax fonction linéaire.
Représentation graphique de f est une droite passant par l’origine.
IV. Fonction carrée
f(x) = x²
f =
Ë
parabole
x
f
(
)
x
Deux cas :
Si a < b
0 alors a² ≥ b²
Si 0
a < b alors a² ≤ b²
Rque :
L’axe des ordonnées est un axe de symétrie de la parabole
Pour tout réel x, f( - x ) = f( x )
V. Fonction cube
f(x) = x3
f =
Ë
x
f
(
)
x
Pour a et b quelconques,
si a < b alors a3 ≤ b3
Rque :
La représentation graphique de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du
repère O.
Pour tout réel x, on a f( -x) = - f(x).
O
1
1
O
1
1

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VI. Fonction inverse
f(x) = Error!
f =
Error!
hyperbole
x
f
(
)
x
Deux cas :
Si a < b
0 alors
Error!
≥
Error!
Si 0
a < b alors
Error!
≥
Error!
Rque :
La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du
repère O.
Pour tout réel x, on a f( -x) = - f(x).
VII. Fonction racine carrée
f( x ) = x
f =
Error!
x
f
(
)
x
Pour a et b positifs :
Si 0
a < b alors a ≤ b
VIII. Applications
1) Donner un encadrement de
2x
3
2
lorsque x ☻ [-3 ; -1].
2) Donner un encadrement de
3)²5x(2 
lorsque x ☻ [2 ; 10].
Ex 6-8-9-11-12-14-15-20 p.138
1
O
1
O
1
1