1 ES Fonctions généralités - Playmaths

Fonctions généralités
Fiches lecture graphique
QCM p.116
Ex 6 p.138
I.
Généralités sur les fonctions (Rappels)
1) Définitions
Soit A une partie de Ë.
f est une fonction numérique définie de A dans Ë si, à tout réel x de A, on associe au plus un
réel y, noté f(x).
On note :
f :A  Ë
x  f(x)
x est la variable
f(x) est l’image de x par la fonction f.
L’ensemble de définition d’une fonction numérique est l’ensemble des réels qui ont une image
par f.
x est un antécédent de y par f si x appartient à A et si y = f(x).
2) Exemple
On considère la fonction f : Ë  Ë
x  Error!
Le réel –Error! n’a pas d’image par f, car il annule le dénominateur.
Df = Ë\{ - Error!}
f(3) = Error!
3 a pour image Error!.
3 est l’antécédent de Error!.
(Une fonction peut avoir plusieurs antécédents)
3) Représentation graphique
Le plan étant muni d’un repère (O,Error!,Error!), on appelle courbe représentative C ( ou
représentation graphique) de la fonction f, l’ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x))
où x appartient à l’ensemble de définition de f.
On dit aussi que la courbe C a pour équation y = f(x) dans le repère (O,Error!,Error!)
Exemple :
1
http://playmaths.free.fr
II. Sens de variation d’une fonction (Rappels)
1) Définitions
Une fonction f est croissante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2
alors f(x1) < f(x2). On dit que la fonction conserve le sens des inégalités.
On note :
x1
x2
x
f(x2)
f
f(x1)
Une fonction f est décroissante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 <
x2 alors f(x1) > f(x2). On dit que la fonction inverse le sens des inégalités.
On note :
x
x1
f(x1)
x2
f
f(x2)
Une fonction f est constante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2
alors f(x1) = f(x2) = k.
On note :
x1
x2
x
f
k
k
Les tableaux sont des tableaux de variations.
Une fonction f est monotone sur un intervalle I, si f est soit croissante sur I, soit
décroissante sur I.
2) Extremum d’une fonction
La fonction f admet un
maximum f(a) en a sur
l’intervalle I lorsque, pour
tout x de I, f(x) ≤ f(a).
La fonction f admet un
minimum f(b) en b sur
l’intervalle I lorsque, pour
tout x de I, f(x) ≥ f(b).
2
http://playmaths.free.fr
III. Fonctions affines
Définition :
Les fonctions affines sont les fonctions définies sur Ë par f(x) = ax + b.
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite de coefficient directeur a.
Variation d’une fonction affine :
Sa courbe représentative est la droite d’équation y = ax+b.
Si a > 0, la fonction affine est croissante sur Ë.
Si a = 0, la fonction affine est constante sur Ë.
Si a < 0, la fonction affine est décroissante sur Ë.
Cas particulier :
b=0
f(x) = ax
fonction linéaire.
Représentation graphique de f est une droite passant par l’origine.
IV. Fonction carrée
Deux cas :
f(x) = x²
x
1
f = Ë
O
1
f (x)
Si a < b  0 alors a² ≥ b²
Si 0  a < b alors a² ≤ b²
parabole
Rque :
L’axe des ordonnées est un axe de symétrie de la parabole
Pour tout réel x, f( - x ) = f( x )
V.
Fonction cube
3
f(x) = x
f = Ë
1
O
Pour a et b quelconques,
x
1
f (x)
si a < b alors a3 ≤ b3
Rque :
La représentation graphique de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du
repère O.
Pour tout réel x, on a f( -x) = - f(x).
3
http://playmaths.free.fr
VI. Fonction inverse
f(x) = Error!
Deux cas :
Si a < b  0 alors Error! ≥
1
O
1
x
Error!
f (x)
f = Error!
Si 0  a < b alors Error! ≥
hyperbole
Error!
Rque :
La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du
repère O.
Pour tout réel x, on a f( -x) = - f(x).
VII. Fonction racine carrée
f( x ) =
x
f = Error!
O
Pour a et b positifs :
x
1
1
Si 0  a < b alors
f (x)
a≤
b
VIII. Applications
3
lorsque x ☻ [-3 ; -1].
x 2
2) Donner un encadrement de  2(x  5)² 3 lorsque x ☻ [2 ; 10].
1) Donner un encadrement de 2 
Ex 6-8-9-11-12-14-15-20 p.138
4
http://playmaths.free.fr