Cours de maths

LA MULTIPLICATION
Produit de 2 nombres
Quelques propriétés
La distributivité de la multiplication sur l’addition :
a*(b+c) = (a*b) + (a*c)
a*(b–c) = (a*b) – (a*c)
La factorisation :
a*b – a*c = a*(b – c)
La commutativité
a*b = b*a
L’associativité
(a*b)*c = a*(b*c)
Le chiffre 1 est l’élément neutre.
Le chiffre 0 est l’élément absorbant.
Faire comprendre la multiplication
- Utilisation de quadrillage.
- Addition réitérée : 3*6 = 6 + 6 + 6
- La décomposition additive : 145 = 144+1
- La décomposition multiplicative : 145 = 5*29
- La décomposition additive canonique : 145 = 100 + 40 + 5. Donc 145 * 6 =
(100*6)+(40*6)+(5*6).
- Utilisation de matériel pédagogique tel que l’utilisation de boîtes de 10 billes et des bille seules.
On procède alors par regroupement.
-
Les objectifs et les compétences
Objectif général d’une séance = compétence. Sous-objectifs = objectifs spécifiques.
On veut apprendre aux élèves :
- la définition de la multiplication.
- la résolution d’un problème multiplicatif.
Aujourd’hui on veut qu’ils utilisent des procédures personnelles. On va leurs donner des outils pour
quitter la procédure personnelle et entrer dans la procédure experte.
Si un enfant fait le lien entre un problème et la bonne opération à appliquer : on parle alors d’acquisition
du sens de l’opération.
Les étapes d’apprentissage
- Le produit de 2 nombres (par quadrillage, addition réitérée...) : on travaille le sens de la
multiplication.
- Les tables de multiplication.
- La multiplication par 10, 100, 1000.
- La technique opératoire de la multiplication : c’est l’objectif (= ce que l’élève doit être capable de
faire en fin d’apprentissage).
Fin CE1 => 2 ou 3 chiffres par 1 chiffre
CE2 => 2 ou 3 chiffres par 2 chiffres
CM => reprise du CE2

Différentes méthodes expertes de la multiplication
Méthode arabe
3
2
1
0
6
0
4
0
2
2
7
1
2
0
8
0
4
4
7
0
4
Méthode Per Gelosia
321
x 24
4
80
1200
20
400
6000
7704
Produit de grands nombres
- Déterminer le nombre de chiffres du produit A= 92865317*814975
Il faut encadrer le produit :
90.000.000<92.865.317<93.000.000
800.000<814.975<820.000
Faire le produit de chaque terme encadrant : 12 chiffres.
- Méthode « simple » de calcul :
(92*106+865*103+317)*(814*103+975)
= 74888*109+89700*106+704110*106+843375*103+258038*103+309075
= 74888*109+793810*106+1101413*103+309075

LA DIVISION
4937/19 = 259 et reste 16. 4937 = dividende ; 19 = diviseur ; 259 = quotient ; 16 = reste.
Cela équivaut à : 4937-19-19-19-19-19... (259 fois) et à la fin il restera 16. Soustraction réitérée !
On peut écrire : 4937 = 19*259+16
D = d * q + r avec r < d
Les problèmes
Les problèmes de partition (partage) : On connaît la valeur d’une part (boîtes de 6 œufs) mais pas le
nombre de part (nombre de boîtes d’œufs).
Les problèmes de quotition (distribution ou groupement) : on connaît le nombre de part (4 boîtes
d’œufs) mais pas la valeur d’une part (nombre d’œufs par boîte).
Les étapes d’apprentissage
- Le sens de la division :
o Soustraction réitérée : 12/3 => 12-3-3-3-3 (4fois) = 0 donc 12/3 = 4 et reste = 0.
o 4937 – 3800 (200*19) = 1137 => 1137 – 950 (50*19) = 187 => 187 – 95 (5*19) = 92 =>
92 – 76 (4*19) = 16. Donc 4937/19 = 200+50+5+4 et reste 16.
o Faire des paquets d’objets (dessin, objets) : Si on a 7256 bonbons. On peut faire 25 paquets
de 281 bonbons chacun. Et il restera 231 bonbons.
o A l’aide des tables de multiplication.
o Par encadrement : 72/5? 70 (5*14)<72<75(5*15) Si on pose D=dq+r alors bq≤D≤b(q+1)
- La technique opératoire de la division

PROPORTIONNALITE
Deux suites de nb réels sont proportionnelles si on peut passer d’une suite à l’autre par un même
opérateur multiplicatif.
4/3
6
10
14
3/4 : coefficient de
proportionnalité
(= nb réel constant)
4.5
7.5
10.5
C’est une relation linéaire du type y = ax avec a = coefficient de proportionnalité. Cette droite passe par
l’origine.
La fonction affine y = ax+b est une droite ne passant pas nécessairement par l’origine (sauf si b=0 :
fonction linéaire).
La fonction « puissance » y = axn _ Si n= 0 ou 1, on obtient une droite. Si n>2 on obtient une parabole.
Par exemple la relation entre l’aire et le rayon d’un disque y = πr²
Propriétés de linéarité des suites proportionnelles
- Le produit en croix : x1*y2=x2*y1
- Propriété des écarts : Pour 2 suites proportionnelles, à des écarts égaux entre les nombres de la
1ère suite correspondent des écarts égaux entre les nombres de la 2ème suite. La réciproque n’est pas
vrai.
- Propriété graphique : L’ensemble des points de coordonnées (x ; y), avec x = ensemble des
nombres de la 1ère suite et y = ensemble des nombres de la 2ème suite, sont alignés sur une droite
passant par l’origine.

Exemples
- Situation de proportionnalité :
Le prix payé est fonction du nombre de place. C’est une
fonction linéaire (càd affine particulière y=5.5x+0 où b=0).
Nombre de places
achetées
0
1
2
3
4
5
6
Prix payé en €
0
5.5
11
16.5
22
27.5
33
- Fonction affine non-linéaire :
Ce n’est pas une situation de proportionnalité. Le prix payé est
fonction du nombre de revue. C’est une fonction affine y =
3.5x+5.
Nombre de revues
achetées
1
2
3
4
5
6
Prix payé en €
8.5
12
15.5
19
22.5
26
- Aire d’un carré en fonction du côté :
Ce ne sont pas des suites proportionnelles. Mais l’aire est
fonction du côté. F(côté) = aire (c²).
Côté du
carré
1
2
3
4
5
6
Aire du carré
1
4
9
16
25
36
Résolution de problèmes de proportionnalité
Recherche d’une quatrième proportionnelle :
Ex : 6m de tissu coûte 4€. Combien coûte 9m ?
- 6m + 3m = 9m => 4€ + 2€ = 6€
- 6m /6 = 1m => 4€/6 = 2/3€ 1m*9 => 2/3€*9 = 6€
- 6m*3/2 = 9m => 4€ * 3/2 = 6€ _ 3/2 est un rapport scalaire (d’€ à €). Alors que 2/3 est un
coefficient de proportionnalité (de m à €).
- Le produit en croix : 4/6 = x/9 => x = 6€
- 6a = 4 => a = 2/3 Donc 9a = x = 6€
- Résolution graphique y = 2/3
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5 6
nb de places
prix payé
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
nombre de revues
prix payé
0
10
20
30
40
123456
Côté du carré
Aire du carré