Modèle standard

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TP d'ondes
BAILLEUL
Christophe
BOUICHOU
Willy
RESONANCE
LPA - Groupe 1
Compte-rendu numéro 8
Le 13 janvier 95
I - Introduction
I.1 - Objectifs du TP
Nous aurons rapidement l'occasion dans ce volume de nous rendre compte que le
terme de résonance pris hors contexte n'a finalement pas grand sens, tant les domaines
d'application en sont nombreux. Ce T.P. nous propose d'en découvrir plus particulièrement
trois: nous traiterons en effet d'électromagnétisme, de mécanique et d'acoustique, afin
d'exposer par la manipulation ce qu'est la résonance des oscillateurs.
Ce travail sera également pour nous l'occasion de mettre en lumière certains points de
vocabulaire, de constater leurs acceptions dans les domaines étudiés.
I.2 - Préliminaire: notes de vocabulaire
Les ondes stationnaires
Elles sont caractérisées par le
synchronisme des vibrations des
différentes parties du système: en tous les
points, la grandeur vibratoire atteint le
maximum ou passe par zéro au même instant;
c'est seulement l'amplitude qui varie d'un
point à un autre. Les noeuds (points
d'amplitude zéro) et les ventres (points
d'amplitude maximale) sont fixes dans
l'espace, la phase étant partout la même,
excepté les sauts de à travers les points
nodaux et les lignes nodales qui séparent les
régions où la vibration est en contre-phase.
Les ondes stationnaires ne transportent pas
d'énérgie.
On peut toujours concevoir une
onde stationnaire comme résultant de la
superposition de deux ondes progressives
contraires de même fréquence.
Ondes longitudinales, ondes transversales
Une onde progressive quelconque est localement assimilable à une onde progressive
plane se propageant normalement à la surface d’onde (M)=cte passant par le point considéré.
Si la grandeur physique étudiée g est une grandeur vectorielle (déplacement de matière,
champs E ou B), l’onde est dite longitudinale si ce vecteur est parallèle à n et transversale si
ce vecteur est orthogonal à n.
* * *
La résonance: une définition
Avant de l'illustrer à l'aide de situations issues de la vie courante et qui permettront
de mieux l'appréhender, on peut caractériser le phénomène de résonance en ces termes:
Tout système qui peut vibrer avec une fréquence déterminée oscille avec une
amplitude qui peut être très grande quand on lui communique des impulsions périodiques
dont la fréquence est voisine de celle du système.

autrement dit, on appelle phénomène de résonance le fait que l’égalité (ou au moins
la proximité) de la fréquence d’excitation et d’une fréquence libre (ou naturelle) du système
excité entraîne une considérable augmentation de l’amplitude de la réponse.
* * *
La résonance par les exemples
L'exemple le plus simple de résonance mécanique est celui de la balançoire, qui ne
prend un mouvement d'amplitude notable que si on lui communique des impulsions accordées
sur ses propres oscillations.
La mise en branle d'une cloche s'effectue de la même manière.
En mécanique, si la fréquence
de l'excitation est proche de la fréquence
propre du résonateur et si l'amortissement
de ce dernier est faible, l'amplitude de ces
oscillations peut devenir très importante.
A Angers, en 1850, un pont a été mis en
résonance par le pas cadencé d'une troupe
et s'est rompu.
En électroacoustique, le phéno-
mène de résonance trouve de nombreuses
applications: haut-parleur, micro,
écouteur téléphonique. Le tympan de
l'oreille humaine est un résonateur amorti
sensible aux excitations de 20 Hz à 2000 Hz.
Une expérience simple de résonance acoustique consiste à chanter une voyelle en
face d'un piano dont les étouffoirs ont été soulevés: par résonance, les cordes dont les
fréquences sont celles des sons simples qui composent la voyelle chantée vibrent, comme on
peut s'en assurer en les touchant.
* * *
Les cas-types de résonance en physique
Parmi les nombreux domaines et phénomènes pour lesquels le terme de résonance
possède une signification, citons dans une liste non exhaustive les incontournables, les plus
connues d'entre eux (source: Mathieu-Kastler-Fleury); notons que les éléments de la liste
précédés d'un astérisque (*), les plus adaptés et intéressants à notre niveau, feront l'objet d'un
développement succinct dans l'annexe 1 située en fin de volume.
* Résonance de Cyclotron
Résonance des oscillateurs (sujet de ce TP, des exemples)
Résonances dans les systèmes quantifiés (moléculaires, atomiques et nucléaires):
toute transformation quantique a une fréquence propre
W W
h
1 2
. Une action extérieure
convenable d'énergie
W W W 
1 2
peut provoquer des phénomè-nes de résonance.
ex.: * Résonance optique
* Résonance quadrupolaire nucléaire (RQN)
* Résonance quantique
Fig. 1: Expérience de résonance
Une énorme sphère
de granite suspendue
à un fil peut se mettre
à osciller avec une
amplitude impres-
sionnante... sous
l'action d'une balle
de caoutchouc.
Il suffit que la petite
balle la frappe au bon
rythme, c'est-à-dire à
sa fréquence de
résonance.

Résonances paramagnétiques: résonance paramagnétique électronique (RPE),
Résonance paramagnétique nucléaire (RPN).
II - Ondes stationnaires en électromagnétisme
Définition
Un câble coaxial se compose de deux
longs conducteurs C1 et C2 (cf. fig. 3),
généralement en cuivre ou en aluminium, de
sections droites circulaires concentriques, séparés
par un diélectrique plein ou discontinu, le plus
souvent un polyéthylène. C1 et C2 transportent un
même courant en sens contraires.
Un peu de théorie...
Vérifions que le potentiel en tout point
d’un câble coaxial est solution de l’équation de
D’Alembert:
V x t Ldx I x t
tV x dx t
V x t Ldx I x t
tV x t V x
V
xLI t
,,,
,,,
De plus,
I x t I x dx tI
xdx
I x t I x dx t Cdx tV x t V
xdx
, ,
, , ,
donc
I
xCV t
.
Par combinaison des deux équations, on obtient
2
2
2
2
2
2
2
2
1
101 10
V
xLC
V
tI xLC
I
t
    et
.
Gaine isolante
externe
C2
Ame du
câble (C1)
Diélectrique
Fig. 3: Coupe d'un coaxial
.
o.
o
.
o
Coque en
matière plastique
Entrée Sortie 50 m Sortie 100 m
1er tronçon (50 m) 2 eme tronçon (50 m)
Enroulemrnt
de câble
Fig. 2: écorché de la boîte utilisée,
contenant un enroulement de
100 m (2x50 m) de câble coaxial.

C
Ldx I(x+dx,t)I(x,t)
x x+dx
v(x,t) v(x+dx,t)
Fig. 4: Décomposition du câble coaxial
L’onde électromagnétique ainsi obtenue est une onde transversale. Pour expliquer le
phénomène résonant, considérons l’analogie avec les tuyaux d’un orgue. Quand il joue,
l’organiste envoie de l’air à la base de tuyaux dont l’orifice est ouvert: les tuyaux résonnent
alors. Il en est de même pour le câble coaxial: on envoie un courant à l’origine de ce dernier,
son extrémité se trouvant à un potentiel nul, et pour certaines fréquences du signal délivré par
le GHF, le câble va connaître un phénomène de résonance ou non. La résonance est détectée à
l’oscilloscope en observant les maxima d’amplitude du signal observé, lesquels dépendent de
la fréquence délivrée par le GHF.
AOIP
GHF
x10
3
11
A'
B'
A
B
oscilloscope
Fig. 5: montage
Résultats expérimentaux
Le montage de la figure 5 étant réalisé, on relève donc les fréquences de résonances,
l’observation débutant à 15 MHz, pour se terminer dans les basses fréquences. On notera que
les variations d’amplitudes les plus flagrantes sont observées pour les basses fréquences (aux
alentours de 10 kHz), les résonances correspondant aux fréquences de l’ordre de 10 Mhz étant
plus délicates à discerner. Le tableau ci-dessous fournit les résultats de nos mesures:

La moyenne de l’écart de fréquence entre chaque maximum vaut 0,940 MHz.
En A et A’, on observe deux noeuds d’intensité: dans le cas de la résonance, les
ondes sont stationnaires. Si l’une des conditions aux limites est un noeud d’intensité, alors
l’onde à l’autre extrémité connaît nécessairement aussi un noeud d’intensité. Dans le cas qui
nous est proposé, A est le lieu d’un noeud d’intensité car aucune charge n’appelle de courant.
Obligatoirement, A’ est aussi le lieu d’un noeud d’intensité.
Par ailleurs, la relation
V
xLI t
montre que V et I sont en quadrature l’une par
rapport à l’autre, ce qui implique que, quand on a un noeud d’intensité en un point, cela
correspond à un noeud de tension en sortie.
Conditions aux limites: A et A’ sont les lieux de deux noeuds d’intensité: la norme
du vecteur d’onde obéit donc à la relation
knl
avec l, longueur du câble coaxial. Par
ailleurs, on sait que
kc
. On en déduit
2N l c 
avec
N
intervalle de fréquence séparant
deux résonances. Ainsi c=1,88106 m.s-1. De plus, on définit la longueur d’onde  par la
relation
cT
. On en déduit que =2m
III - Oscillations forcées et résonance en mécanique
III.1 - Lames métalliques
A basse fréquence, on constate que les lames les plus longues vibrent en premier. Le
tableau suivant donne les résultats pratiques observés:
fréquence de maximum de tension (MHz)
Différence avec la précédente (MHz)
12,22
-
11,31
0,91
10,45
0,86
9,46
0,99
8,56
0,9
7,55
1,01
6,63
0,92
5,62
1,01
4,67
0,95
3,80
0,87
2,86
0,94
1,88
0,98
0,940
0,94
Longueur l de la lame (cm)
fréquence f de résonance (kHz)
20
13,5
25
12,5
30
11,5
50
9,5
60
8,5
66
7,5