LES TRIANGLES

LES TRIANGLES
1. Propriétés des triangles
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Polygone à 3 côtés et 3 sommets
Le côté BC (ou a) est le côté opposé à l’angle A
AB et AC sont les côtés adjacents à l’angle A
 la somme des mesures des angles intérieurs est 180.
D’où m  A + m  B + m  C = 180
 la mesure d’un côté quelconque est plus petite que la somme des mesures des deux
autres côtés.
Ex. : 6cm, 4 cm et 3 cm
4+3  6
8, 4 et 2 ne fonctionne pas
 La mesure d’un côté quelconque est plus grande que la différence des mesures des
deux autres côtés.
Ex. : 6cm, 4 cm et 3 cm
64-3
3,6 et 2 ne fonctionne pas car 3  6-2
 au plus grand angle est opposé le plus grand côté.
2. Classification des triangles
Identification par rapport aux angles :
Toujours 2 angles aigus – classé d’après le 3e angle
 1(en fait 3) angle aigu : acutangle
 1 angle droit : rectangle
 1 angle obtus : obtusangle


2 angles congrus : isoangle
3 angles congrus : équiangle
Identification par rapport aux côtés :
 Aucun côté congru : scalène
 2 côtés congrus : isocèle
 3 côtés congrus : équilatéral
Obtusangle
Rectangle
Acutangle
Scalène
Isocèle et isoangle
Équilatéral et équiangle
3. Construction de triangles
A)
On te donne un côté et les 2 angles adjacents à ce côté
1. trace le côté
2. mesure les angles aux 2 extrémités du côté et trace les 2 autres côtés
3. le 3e sommet se trouve à l’intersection des 2 côtés que tu viens de tracer
__
Ex : soit le triangle ABC : AB mesure 4cm, A mesure 30 et B mesure 60
C
A
60 B
30
4 cm
B)
On te donne un angle ainsi que les 2 côtés qui lui sont adjacents
1. trace le 1er côté
2. mesure l’angle à une des deux extrémités du côté et trace le 2e côté
3. Relie les extrémités libres pour former le 3e côté
__
__
Ex : soit le triangle ABC : AB mesure 4cm, A mesure 90 et AC mesure 3cm
C
3 cm
A
C)
B
90
4 cm
On te donne les trois côtés
1. trace le 1er côté (suggestion : commence par le plus grand)
2. ouvre le compas de la longueur du 2e côté et trace un arc de cercle en plaçant la
pointe sèche du compas sur l’une des extrémités du 1er côté
3. ouvre le compas de la longueur du 3e côté et trace un arc de cercle en plaçant la
pointe sèche sur l’autre extrémité du 1er côté
4. la rencontre des 2 traces de compas indique la position du 3e sommet  utilise
ce point pour tracer les 2e et 3e côtés de ton triangle
Ex : soit le triangle ABC : AB mesure 3cm, BC mesure 4cm et AC mesure 5cm
B
4 cm
3 cm
C
A
5 cm
4. Médianes, médiatrices et hauteurs de triangles
Rappel sur la médiatrice d’un segment
La médiatrice est une droite perpendiculaire à un segment passant par son point milieu.
(axe de symétrie du segment)
Utiliser les deux extrémités du
segment (pointés par les flèches)
pour faire les arcs avec le compas
(méthode du poisson… voir dans
les notes de la première étape)
A) Médiatrices de triangles
Chaque triangle possède trois côtés, donc trois segments. Il est donc possible de tracer
la médiatrice de chacun d’entre eux.
Lorsque tu as à tracer les 3 médiatrices d’un même triangle, il est facile de savoir si tu as
été présis(e) dans ta construction si tu retiens que les médiatrices des trois côtés d'un triangle
se croisent toujours en un unique point.
Vu que tu devras souvent faire trois fois la méthode du « poisson » sur un même
triangle, ton dessin deviendra encombré d’arc de cercles. Comme tu n’as besoin que des
parties où les arcs se croisent, voici ce que tu peux faire :
Au lieu de …
Fais ceci…
De plus, ouvre ton compas assez pour que les intersections des arcs se trouvent à l’extérieur
du triangle… ça fais un dessin beaucoup plus clair.
Exemple : Trace les médiatrices du triangle ABC ci-dessous.
___
Pour tracer la médiatrice du côté AC :
1) Ouvre ton compas assez grand pour
que les arcs de cercles ne soient pas
dans le triangle. Jusqu’à ce que la
médiatrice soit tracée, ne change
jamais l’ouverture de ton compas.
2) En plaçant la pointe sèche sur le
point A, trace 2 petits arcs de cercle
(où tu estimes que le croisement se
fera).
3) Répète la même chose, mais en
plaçant la pointe sèche du compas
sur le sommet C.
4) Relie les deux intersections d’arcs
afin de tracer la médiatrice.
Note : Si tes arcs ne se croisent pas,
replace ton compas et prolonge l’arc
qui ne rejoignais pas l’autre afin
d’obtenir l’intersection voulue.
Refais la même procédure pour tracer la
médiatrice du côté AB
Refais la même procédure pour tracer la
médiatrice du côté BC
Finalement, vérifie :
1) que chaque médiatrice coupe
son côté à angle droit (et
dessine le symbole pour
l’angle droit lorsque c’est
vérifié). Pour ce faire, tu peux
utiliser soit l’équerre ou le
rapporteur d’angle.
2) que les 3 médiatrices se
coupent en un même point.
Note : Le point de rencontre des trois médianes se trouve…
a) à l’intérieur des triangles acutangles
b) au milieu du plus long côté des triangles rectangles
c) à l’extérieur des triangles obtusangle
B) Médianes de triangles
Médiane : segment joignant un sommet et le milieu du côté opposé.
Les 3 médianes d’un triangle se croisent en un seul point.
Procédure pour tracer la médiane:
1) trouve le milieu du côté à l’aide de la règle
2) relie ce point milieu avec le sommet opposé au côté
Exemple :
Médiane de AC :
Toutes les médianes :
Note : Les trois médianes se rencontrent toujours à l’intérieur du triangle. Si tes
médianes ne se rencontrent pas en un seul point, tu as manqué de précision.
C) Hauteurs de triangles
Hauteur : segment abaissé d’un sommet, perpendiculairement sur le côté opposé
ou son prolongement.
Les 3 hauteurs d’un triangle (ou leur prolongement) se croisent en un point.
Procédure pour tracer les hauteurs à l’aide de l’équerre.
1) Placer un côté de l’angle droit de l’équerre sur le côté dont on veut tracer la
hauteur, et l’autre côté de l’angle droit de l’équerre sur le sommet opposé
au côté.
2) Tracer la hauteur.
Ex. 1 : Hauteurs du triangle acutangle ABC
Voici comment placer ton équerre pour
chacune des hauteurs :
Hauteur issue du sommet A et
abaissée sur le côté BC :
Hauteur issue du sommet B et
abaissée sur le côté AC :
Hauteur issue du sommet C et
abaissée sur le côté AB :
Et voici les 3 hauteurs
Note que dans un triangle acutangle,
les trois hauteurs se rencontrent à
l’intérieur du triangle.
Ex 2 : Les 3 hauteurs du triangle obtusangle DEF
Dans un triangle obtusangle, si
l’on veut être capable d’aligner
notre équerre, il faut prolonger les
deux côtés adjacents à l’angle
obtus.
Voici comment placer l’équerre pour les hauteurs abaissées sur les côtés adjacents à l’angle
obtus.
Vous voyez pourquoi il fallait prolonger les côtés? (meilleur alignement, en plus d’être
nécessaire pour savoir où se termine le segment de la hauteur).
La position de l’équerre n’est pas montrée car elle ne diffère pas de la façon de faire pour les triangles acutangles
montrée plus haut.
Maintenant, voici le résultat final… les 3 hauteurs du triangle DEF
Afin de vérifier la précision de la construction, on peut aussi vérifier le point de rencontre des
3 hauteurs, sauf qu’ici, il va falloir les prolonger, car dans un triangle obtusangle, ce sont les
prolongements des hauteurs qui se rencontrent en un point (à l’extérieur du triangle bien sûr).
Remarque que toutes les
lignes tracées qui ne sont
pas des hauteurs sont en
pointillés, afin de ne pas
les confondre avec les
hauteurs.
Ex 3 : Hauteurs du triangle rectangle GHJ
C’est très simple de tracer les hauteurs d’un triangle rectangle car 2 des hauteurs sont
déjà tracées !
La hauteur issue du sommet H abaissée sur le côté JG se
trace de la même manière que pour les triangles
acutangles.
G
La hauteur issue du sommet G abaissée sur le côté HJ
est en fait le côté GH… donc on a qu’à repasser sur le
côté.
H
J
C’est la même chose pour la hauteur issue du sommet J
et abaissée sur le côté GH… elle correspond au côté HJ.
COMMENT NE PAS MÉLANGER HAUTEUR, MÉDIANE ET MÉDIATRICE ??
Voici un tableau qui résume les 3 caractéristiques importantes (milieu d’un côté, sommet
opposé au côté et perpendiculaire au côté). Chacun demande 2 de ces caractéristiques (ce qui
fait donc 3 possibilités).
Pour savoir lesquelles, retiens que si le mot contient un T (symbole de perpendiculaire  à
l’envers), c’est que la droite/segment doit être perpendiculaire au côté. Aussi, si le mot
commence par M, c’est que la ligne devra passer par le milieu du côté. À partir de là, il ne
reste qu’une combinaison non utilisée pour les sommets.
HauTeur
Médiane
MédiaTrice
Milieu
non
OUI
OUI
Perpendiculaire (T)
OUI
non
OUI
Sommet
OUI
OUI
non