ENSIEG 1ère année

ENSIEG 1ère année
Partie 6
TD d'Automatique
ASSERVISSEMENT :
ANALYSE DES PERFORMANCES
STABILITE, PRECISION, RAPIDITE
I/
Tracé de lieux de transfert
Application du critère de Nyquist pour la stabilité
II /
Asservissement de température (système à retard)
III / Asservissement de position de l'antenne d'un radar
I / TRACE DE LIEUX DE TRANSFERT
APPLICATION DU CRITERE DE NYQUIST POUR LA STABILITE
On considère les systèmes asservis dont la fonction de transfert en boucle ouverte est la suivante :
F1  p  
F2  p  
F3  p  
K 1  T1 p 1  T2 p 
1
1
1
1
1
avec
  

1  1 p 1   2 p 3 p  1
 2 T1 1 T2  3
K 1  T1 p 1  T2 p 1  T3 p 
1 1 1 1
1 1
avec n      
2
T1 1 T3 2 T2 3


1  1 p 1  2 p 3 p  11  2 z p  p 2 
n n 

K 1  T1 p 
1
1
1
avec


p1  1 p  2 p  1
1  2 T1
 Dans chaque cas, tracer les diagrammes asymptotiques de Bode ainsi que les lieux de Nyquist
et de Black, et étudier la stabilité.
II / ASSERVISSEMENT DE TEMPERATURE
(Système à retard)
Pour effectuer un traitement chimique, on a besoin d'un courant gazeux à température constante .
On obtient celui-ci au moyen du dispositif régulateur de la figure ci-dessous.
Le contrôle est obtenu en chauffant une fraction du gaz à une température relativement élevée 2,
l'autre fraction étant à la température ambiante 1, et en mélangeant ces deux fractions en proportions
convenables.
La température du mélange est évidemment fonction du rapport des débits q1 et q2, et du gaz aux
températures 1 et 2, respectivement.
Une vanne secteur permet le dosage de ces débits. Elle est conçue de telle sorte que la somme de
ces débit q1 et q2 soit constante et égale au débit total Q quelle que soit la position de la vanne. De plus,
son profil est tel que les débits partiels soient des fonctions linéaires de la position angulaire de son bras
de manœuvre.
La température du gaz est mesurée au moyen d'un thermocouple placé dans la canalisation de
sortie, en un point B situé à une distance L de la vanne, suffisante pour qu'en ce point la température du
gaz soit bien uniforme, de valeur .
La tension u fournie par le thermocouple est, dans un but de simplification, supposée être, en
régime permanent, proportionnelle à q. Elle est mise en opposition avec une tension e de référence et la
tension résultante  = e - u est appliquée à l'entrée d'un amplificateur, lequel attaque un moteur M de
positionnement de la vanne.
On négligera toutes les pertes calorifiques à travers les canalisations.
1
L
q1
B

Q

thermocouple
q2
u
2
r
n
M
A

e
tension de
référence
a) Détermination de la FTBO du système
 On caractérise la position angulaire de la vanne par l'angle  que fait son bras de manœuvre par
rapport à la position moyenne de celui-ci (q1 = q2) et par 0 la valeur maximale de cet angle
(correspondant à q1 = 0). A partir d'un bilan d'énergie thermique, établir l'expression liant la température
moyenne ' du mélange, immédiatement à la sortie de la vanne, à .
p
En déduire l'expression de la fonction de transfert
caractéristique de cette liaison.
  p
 La section utile de la canalisation de sortie étant constante de valeur S, et le débit gazeux étant
p
Q, donner l'expression de la fonction de transfert
liant la température au point B où se trouve le
p
thermocouple à la température ' à la sortie de la vanne.
Représenter le lieu de transfert de cette transmittance dans le plan de Nyquist.
 La tension u délivrée par le thermocouple ne suit pas immédiatement les fluctuations de la
température du gaz dans la région B. On caractérise ce phénomène par la constante de temps  du
thermocouple. Le calibre du thermocouple donnant la variation de tension u par °C est noté .
u p
Donner l'expression de la transmittance
du thermocouple.
p
 Le moteur M à courant continu est commandé par l'induit (inducteur à aimant permanent). Il
est attaqué par un amplificateur de gain A constant et d'impédance de sortie négligeable. Ce moteur
positionne la vanne par l'intermédiaire d'un démultiplicateur de rapport 1/n.
Sur l'arbre de la vanne est monté un ressort, de raideur r, dont le rôle est de maintenir la vanne en
position moyenne lorsque le moteur n'est pas alimenté.
On supposera négligeables tous les frottements mécaniques, ainsi que l'inertie de la vanne et de
l'arbre de sortie du réducteur. On supposera nulle la self inductance de l'induit du moteur.
Etablir l'expression de la fonction de transfert liant la vitesse 1 de l'arbre de sortie du moteur à la
tension  à l'entrée de l'amplificateur, en tenant compte du ressort r. En déduire la fonction de transfert
entre la position angulaire de la vanne et la tension .
 Donner l'expression de la fonction de transfert de la boucle ouverte, T(p), de l'asservissement.
Ce système est-il à déphasage minimal?
 Application numérique :
Moteur :
constante de couple
constante de fcem
inertie de l'arbre de sortie du moteur
résistance de l'induit
k = 0,5 N.m.A-1
k'= 0,5 V.rd-1.s-1
J = 5 10-6 kg.m-2
R = 500 
n = 200
r = 5 N.m.rd-1
0 = 0,5 rd
1 = 20 °C
2 = 220 °C
Réducteur :
Ressort :
Vanne :
Gaz :
raideur
amplitude angulaire
températures
Canalisation :
débit total
section
Q = 2 l.s-1
S = 10 cm2
distance du thermocouple à la vanne
calibre
constante de temps
L = 50 cm
 = 1 mV.°C-1
 = 10 s
Thermocouple :
b) Lieux de transfert et stabilité
 Esquisser les courbes de gain et de phase relatives à T(p), compte tenu du fait que le gain A de
l'amplificateur n'est pas encore connu.
 Tracer le lieu de Nyquist de T(p).
 Déduire de ces courbes la valeur du gain A qu'il ne faut pas dépasser si l'on désire que la
stabilité demeure assurée.
III / ASSERVISSEMENT DE POSITION DE L'ANTENNE D'UN RADAR
Groupe
Moteur
Génératrice
i
Amplificateurs
ie
e
A1
u

m
A2
G
a
M
M'
Moteur d'entraînement du
rotor de la génératrice à
vitesse constante
Capteur
La position angulaire  de l'antenne d'un radar est asservie à celle, a, d'un avion (asservissement
en azimut par exemple).
Le dispositif complet comporte également un asservissement en site. Il intervient lors de
l'atterrissage de l'avion.
Un capteur recevant une onde électromagnétique issue de l'avion fournit un signal e fonction de
l'erreur  = a -  :
e p 
K0
avec K0 = 12 V.rd-1 et c = 0,05 s
 Kp  
 p 
1 cp
Le dispositif de commande de la position  comporte :
- deux amplificateurs de gains A1 et A2; on pose A = A1.A2 (A>0),
- un groupe génératrice - moteur fixant la position m,
- un réducteur de vitesse ayant un rapport de réduction 1/n (n = 300).
Le moteur à courant continu M est commandé par l'induit à partir d'une génératrice à courant
continu G. Cette dernière, dont le rotor est entraîné à vitesse constante, est commandé par l'inducteur
(excitation séparée) : eg = k.ie avec k constant. On négligera tous les frottements visqueux et secs
d'origine mécanique.
Circuit inducteur de la génératrice G
Circuit d'induit des machines G et M
rg
ie
i
rm
R
eg
u2
em
L
u 2 = A.e
eg = k.i e
e m  m
Les données numériques pour le dispositif de commande sont les suivantes
- moments d'inertie des arbres moteur et de sortie : J1 = 50.10-5 kg.m2, J2 = 45 kg.m2,
- circuit d'induit des machines G et M : k = 100 V.A-1, rg= 0,3 , rm = 0,7 ,  = 0,1 Wb,
- inducteur de G : L = 4 H, R = 200  (résistance totale du circuit, y compris la résistance
interne de l'amplificateur).
 Etablir le schéma fonctionnel de cet asservissement.
 Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte.
 Tracer les lieux de Bode correspondants.
 Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée.
 Déterminer la limite lorsque t   de l'écart  = a -  quand la consigne est un échelon
unitaire et quand elle est une rampe (a = t).