be asservissement de la position d`une bille sur un rail

CASTEL Philippe
JOUSSERAND Stéphane
2A Energie
série C
BE ASSERVISSEMENT DE LA
POSITION D’UNE BILLE SUR UN RAIL
REGLAGE DE LA BOUCLE DE COURANT
OBJECTIFS
En utilisant un correcteur de type PI on souhaite régler l’asservissement
en courant du moteur à courant continu.
Le temps de réponse devra être négligeable devant la dynamique
mécanique du système.
MODELISATION
Dans cette première partie on s’attache à modéliser le moteur à courant continu
Equations temporelles
Transformées de Laplace des équations
U(t) = E(t) + R* Im (t) + L*d Im /dt
U(p) = E(p) + R*Im(p) + p*L* Im (p)
E(t) = * m(t)
E(p) = * m(p)
Cm(t)=*Im(t)
Cm(p)=*Im(p)
J*dm/dt = Cm(t) –f*m(t)
p*J*m(p) = Cm(p) –f*m(p)
A partir des équations de Laplace on obtient :
U(p) = * m(p) + ( R* + p*L)* Im (p), d’où : Im(p)
1 *U(p)Φ*Ωm(p)
R p*L
et
p*J*m(p) = Cm(p) –f*m(p), d’où : Ωm(p)
1 *Φ*Im(p)
f  p*J
1/8
On a alors le schéma bloc suivant :
U(p)
courant
Im
PHI
1
Couple
Cm
1
L.s+R
vitesse
J.s+f
E(p)
PHI
En replaçant le schéma fonctionnel du moteur au sein de la boucle de
commande on obtient :
vitesse
Couple
Cm
1
PHI
PHI
J.s+f
E(p)
UcI
U(p)
Consigne
MOTEUR
1
PI
courant
Im
L.s+R
UIm
correcteur
1/Ki


constante de temps électrique =L/R = 3 ms
constante de temps mécanique = J/f = 65 ms
La constante de temps électrique (celle du courant) est très petite par
rapport à la constante de temps mécanique. On peut donc considérer que durant
l’établissement du courant dans la MCC, le système liant la tension appliquée au
courant est un système du 1er ordre.
On peut assimiler la déformation du courant du à la constante de temps
mécanique a une perturbation, pendant le temps de l’établissement du courant.
PERTURBATIONS
Couple
Cm
PHI
PHI
1
vitesse
J.s+f
E(p)
UcI
Consigne
U(p)
1
PI
L.s+R
UIm
courant
Im
correcteur
1/Ki
calcul de la fonction de transfert :
Kpi Tpi* p1 1
FTBO  Kpi*(1 1 )*( 1 * 1 )* 1 d’où FTBO 
*(
)*( * 1 )
Tpi* p R 1 L * p Ki
Ki Tpi* p
R 1 L * p
R
R
2/8
En choisissant Tpi=L/R, on supprime un pôle stable de la FTBO, on a alors :
Kpi
FTBO 
Ki*R*Tpi* p
Ki
la FTBF est alors : FTBF 
R
.
K
i.Tpi
1
p
K pi
Elle correspond bien à la fonction de transfert d’un système du 1er ordre, avec :
 une constante de temps :   R.Ki.Tpi
K pi
 un gain statique : KsKi
REGLAGE DU CORRECTEUR
Pour l’étude de la boucle de courant on peut négliger pendant les premiers
instants la constante de temps mécanique.
Uc
U
1
PID
Im
L.s+R
PI
I = f (U,E)
1/ki
Uim =f (Im)
Le système étant du 1er ordre, il est toujours stable. Nous allons donc
rechercher un réglage du correcteur permettant d’obtenir un temps de réponse
faible afin de respecter les objectifs.
Le temps de réponse d’un système du 1er ordre est égal à 3*, avec dans
R*Ki*Tpi
notre cas  
Kpi
D’après les objectifs fixés au paragraphe 5.1, on souhaite que le temps de
réponse soit rapide par rapport à l’asservissement de l’angle du rail, lui même
devant être rapide par rapport à la période d’échantillonnage de 200 ms.
En fixant un rapport de 10 entre chaque temps, on obtient un temps de
réponse à 5% pour la montée du courant de l’ordre de 1 ms.
Il nous reste un paramètre de réglage (Kpi) pour régler la rapidité du
système. Ainsi on peut déterminer Kpi :
Ki*R*Tpi
Kpi3*
10^3
application numérique :
Tpi = 3*10-3 ; R = 1/3  ; Ki = 1,6 A/V ; Kpi = 4,8
3/8
SIMULATION
AVEC
DISPOSITIF DE COMMANDE
Consigne
U(p)
Step
PID
UcI
PI
UIm
courant
Im
1
Couple
Cm
1
0.026
10^-3s+1/3
vitesse
0.46*10^-4s+0.7*10^-4
E(p)
MOTEUR
0.026
1/1.6
Scope
1.6188
COURANT
1.4188
temps de réponse à 5%
1.2188
échelon de consigne
1.0188
0.8188
0.6188
0.4188
0.2188
0.0188
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
-3
x 10
On retrouve la valeur du gain statique Ks = Ki = 1.6
5
AVEC DISPOSITIF DE COMMANDE
4.5
4
3.5
TENSION
3
2.5
2
COURANT
1.5
consigne
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps (s)
4/8
1.4
1.6
1.8
2
-3
x 10
AVEC DISPOSITIF DE COMMANDE
1
VITESSE
0.8
0.6
0.4
0.2
0
nulle.
0
1
2
3
4
5
6
temps (s)
7
8
9
10
On remarque que le temps de réponse de la vitesse est d’environ 3 s.
Sur une durée de 1 ms et pendant le régime transitoire la vitesse est quasi
Cela justifie la simplification faite précédemment qui était de négliger la
partie mécanique dans la modélisation du réglage de la boucle de courant.
1.6
COURANT
1.4
erreur de traînage
1.2
CONSIGNE
1
0.8
PHASE 1
PHASE 2
0.6
0.4
vitesse nulle
0.2
0
0
0.001
0.002
TENSION
0.003
VITESSE
0.004 0.005 0.006
temps (s)
5/8
0.007
0.008
0.009
0.01
1.6
1.5
COURANT
1.4
TENSION
1.3
1.2
PHASE 2
PHASE 3
1.1
CONSIGNE
1
VITESSE
0.9
0.8
0.7
1
2
3
4
5
temps (s)
6
7
8
Remarque :
Afin de visualiser les différentes grandeurs sur le même graphe, il a été
nécessaire de mettre un gain de 1/10 pour la tension et 1/600 pour la vitesse.
1 ère phase : phase transitoire du courant et vitesse nulle
Comme la vitesse est quasi nulle, donc la perturbation est quasi nulle aussi,
le système répond bien comme un système du 1ER ordre à un échelon.
On observe une tension importante à la mise sous tension, mais elle est de
très courte durée.
Elle est due au fait que le courant est nul à la mise sous tension et le
système a pour consigne un courant de valeur non nulle. Le système réagit donc
en augmentant la tension.
2ème phase : Phase transitoire de la vitesse :
Pendant la phase transitoire de la vitesse, on peut assimiler le retour à une
perturbation en forme de rampe, d’où la présence d’une erreur de traînage sur le
courant car le correcteur ne comporte qu’un seul intégrateur.
1
Le courant est quasi constant et Im 
(U  E ) , donc U-E doit être
R  L. p
constant. Comme la vitesse augmente et donc E augmente, il faut alors que U
suive la même loi d’évolution que E.
A partir de cette phase on ne peut plus négliger la boucle mécanique.
3ème phase : la vitesse à atteint le régime permanent
La vitesse est constante, la perturbation peut alors être assimiler à un
échelon, donc le correcteur comportant 1 seul intégrateur peut annuler l’erreur
statique et le courant est alors constant et égal à sa valeur finale.
6/8
La vitesse est constante, donc E est constant, comme le courant est
constant alors U est constant.
SANS
DISPOSITIF DE COMMANDE
Consine
courant
Im
1
U(p)
Couple
Cm
Step
1
0.026
10^-3s+1/3
vitesse
0.46*10^-4s+0.7*10^-4
E(p)
MOTEUR
0.026
Scope
2.5
SANS DISPOSITIF DE COMMANDE
2
COURANT
1.5
CONSIGNE = TENSION
1
0.5
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
temps (s)
0.14
0.16
0.18
0.2
Le régime transitoire et donc le temps de réponse sont beaucoup plus
grand (100 fois) que précédemment, il dure environs 100 ms.
On constate une surintensité égale au maximum à 25 fois la valeur finale,
mais supérieure que de 1.6 fois au courant dans le cas de la commande (gain
statique).
7/8
CONCLUSION
Le dispositif de commande permet d’accélérer le système, mais il
augmente la contrainte en tension aux bornes du moteur et en courant dans le
moteur.
Pendant le régime transitoire du courant, on peut négliger la partie
mécanique du moteur. Cette simplification nous a permis de déterminer
facilement les paramètres de réglages du correcteur
8/8