LUNDI 27 FEVRIER 2006 - 4 h

CONCOURS BLANC 05/06
EPREUVE DE PHYSIQUE PSI
LUNDI 27 FEVRIER 2006 - 4 h
I . THERMODYNAMIQUE ( CCP MP 05 )
L'objectif de ce problème est l'étude du fonctionnement stationnaire d'une machine ditherme de
réfrigération.
Le cycle représenté, dans un diagramme de Clapeyron, par la figure 1 constitue un modèle de
fonctionnement d'une machine de réfrigération dans laquelle une masse m de fluide frigorigène subit les
transformations suivantes :
• A B : compression adiabatique dans le compresseur .
• B D : refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le condenseur.
• D E : détente adiabatique et isenthalpique dans le détendeur.
• E A : vaporisation isobare dans l'évaporateur.
Les sources froide F (intérieur de l'enceinte à réfrigérer) et chaude C (milieu ambiant) sont assimilées à
des thermostats de températures, respectives, TF et TC constantes.
Les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle du fluide sont négligeables.
Données : m = 1 kg ; TF = 278 K ; TC = 293 K
Enthalpies massiques du fluide frigorigène dans les états représentés par les points A, B et D :
hA = 390,2 kJ.kg–1 ; hB = 448,6 kJ.kg–1 ; hD = 286,4 kJ,kg-1

A- Performances de l'installation
A-l Un système fermé subit une transformation isobare qui le fait évoluer de l'état initial i à l'état final f. Au
cours de cette transformation le système reçoit les quantités d'énergie
Qif
par transfert thermique et
Wif
par transfert mécanique (travail).
A-1-l Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette transformation.
A-1-2 Etablir la relation entre la variation d'enthalpie
Hif
du système et
Qif
.
A-2 On désigne par QF et QC les quantités d'énergie reçues par le fluide, par transfert thermique,
respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude, au cours du cycle défini ci-
dessus.
A-2-1 Exprimer QF et QC en fonction des données.
A-2-2 Calculer QF et QC.
A-3 On désigne par W l'énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique (travail), au cours d'un cycle.
A-3-1 Exprimer W en fonction des données.
A-3-2 Calculer W.
A-4 On désigne par SF et SC les valeurs algébriques des entropies échangées par le fluide, respectivement,
avec la source froide et la source chaude au cours du cycle.
A-4-1 Exprimer SF et SC en fonction des données.
A-4-2 Calculer SF et SC.
A-4-3 Calculer l' entropie Sp créée au cours du cycle. Conclusion.
A-5 Calculer l'efficacité  de cette installation.
A-6 Sachant que la puissance PF à extraire de la source froide pour maintenir sa température constante est
de 500 W, calculer le débit massique qm que l'on doit imposer au fluide frigorigène.
B - Etude de la compression de la vapeur
La vapeur issue de l'évaporateur est comprimée de la pression pl = 2,008 bar (état A) à la pression p2 =
16,8l0 bar (état B).
Dans cette partie du problème on admettra que l'on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le
rapport  des capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 1,14 dans le domaine étudié.
B-1 On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible.
B-1-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression p.
B-1-2 Sachant que TA =263 K, calculer la température T' que l'on atteindrait en fin de compression.
B-2 En réalité la compression A B subie par la vapeur peut être supposée adiabatique mais n'est pas
réversible car on ne peut pas négliger les frottements fluides qui se produisent à l'intérieur du compresseur ;
de ce fait la température en fin de compression est supérieure à celle calculée précédemment.
La transformation polytropique A B est la transformation réversible qui permettrait au fluide d'évoluer
de l'état A à l'état B en recevant, par transfert thermique, une quantité d'énergie Qf équivalente à celle
générée par les frottements internes au cours de la transformation irréversible A B.
Pour établir la loi d'évolution polytropique, on considère une transformation élémentaire réversible
caractérisée par les variations d'énergie interne dU, d'entropie dS et de volume dV. La quantité d'énergie
Qf reçue par le fluide, par transfert thermique, au cours de cette transformation, s'écrit Qf = adU. Dans
cette expression a désigne un facteur qui sera supposé constant dans tout le domaine étudié.

B-2-1 Exprimer dU en fonction de dS et dV.
B-2-2 Montrer qu'au cours de l'évolution polytropique A B les variables pression p et volume V
vérifient la relation pVk = constante dans laquelle k désigne une constante appelée facteur polytropique.
B-2-3 Exprimer k en fonction de a et de y.
C – Détermination des conditions de fonctionnement permettant d’obtenir l’efficacité
maximale.
C-l Préciser la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin de parvenir à l'efficacité maximale
µmax de la machine de réfrigération. On indiquera avec précision la nature et le rôle des différentes
transformations subies par le fluide au cours de ce cycle.
C-2 Sachant qu'au cours de ce cycle la variation d'entropie massique SC du fluide au cours de la
transformation qu'il subit au contact de la source chaude est de – 0,416 kJ.kg–1.K–1, calculer les quantités
d'énergie Q'F, et Q'C reçues, par transfert thermique, par 1 kg de fluide frigorigène, au cours d'un cycle,
respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude.
C-3 Exprimer l'efficacité max en fonction des températures TF et TC et calculer max.
A-1 (Cours) H = Q pour une transformation isobare
A-2 QF = m(hA – hD) = 103,8 kJ QC = m(hD – hB) = - 162,2 kJ
A-3 W = - QF – QC = m(hB – hA) = + 58,4 kJ
A-4 SF = QF/TF = 373 J.K-1 SC = QC/TC = - 554 J.K-1
Sp = -SF – SC = +180 J.K-1 donc irréversible
A-5  = QF/W  1,78 A-6 qm = PF/QF puisque QF correspond à 1 kg; qm  4,82 g.s-1
B-1-1 (Cours) P1-T = constante B-1-2
K
p
p
TT A4,341'
1
1
2
B-2-1 dU = TdS – pdV
B-2-2 dU = Qf – pdV = adU – pdV donne pdV = (a-1)dU = (a-1)CVdT = (a-1)[R/(-1)]dT
Puis RT = pV donne RdT = pdV + Vdp et finalement (1-a)dp/p + (-a)dV/V = 0
B-2-3 s’écrit pVk = constante pourvu que
a
a
k 1
C-1 Cours : cycle de Carnot : deux isothermes et deux adiabatiques réversibles
C-2 Q’C = TCSC = -121,9 kJ Q’F = - TFSC = + 115,6 kJ C-3 max = TF / (TC – TF) = 18,5

II. ÉTUDE D'UN HAUT-PARLEUR ( CCP PSI 05 )
Un signal électrique est transformé en signal sonore par le biais d'un haut-parleur.
La membrane et la bobine du haut-parleur sont solidaires l’une de l’autre. L’ensemble est appelé équipage
mobile et sa masse est notée m.
La bobine circulaire est réalisée par l'enroulement d'un fil de longueur
Na2
On pourra la considérer
comme l'union de N spires identiques de rayon a
L’équipage mobile est relié au bâti par un ressort de raideur k, d’axe Oz. La bobine évolue dans l’entrefer
d’un aimant imposant un champ magnétique stationnaire radial (voir figure 1).
FIG. 1 - Modèle d'un haut-parleur
Du point de vue mécanique,
– on note respectivement z et
zu v v  
les position et vitesse de l'équipage mobile qui se translate sans
frottements solides ;
– on note
r F
la force de rappel élastique exercée par le ressort ;
– on note
v f- F f
, la force de frottements fluides que subit la membrane lors de ses déplacements
dans l'air.
Du point de vue électrique,
– on notera R la résistance du bobinage et L son inductance ;
– un courant électrique d'intensité i(t) peut circuler dans le fil bobiné, sous l'effet d’une tension vs(t)
dont il n'est pas nécessaire de connaître l’expression.
A.APPROCHE THÉORIQUE :
Principe de fonctionnement du haut-parleur :
1. Lorsque le haut-parleur est alimenté, on observe la mise en mouvement de la membrane de celui-ci.
Expliquer qualitativement :
– l'origine de ce mouvement ;
– le mécanisme à la base de l'émission sonore.
2. À l'aide d'un schéma clair et détaillé d'un tronçon de spire, représenter et exprimer la force élémentaire
s'exerçant sur l'élément de courant i(t)d. Calculer sa résultante, notée
L F
sur l’ensemble de la spire.
3. Le mouvement de l’équipage mobile dans l’entrefer est responsable de l'apparition d'une grandeur
électrique. Justifier qualitativement son existence et préciser sa nature (tension, courant, impédance…).

Établir son expression, en vous appuyant sur un schéma électrique équivalent à la bobine faisant apparaître,
si nécessaire, les conventions employées.
Mise en équations différentielles :
4.Établir l'équation différentielle électrique que vérifie l'intensité i(t) du courant circulant dans la bobine
alimentée par la tension vs(t).
5.Établir l'équation différentielle du mouvement de l'équipage mobile.
Impédance du haut-parleur :
6.On s'intéresse à la réponse du système soumis à une excitation électrique sinusoïdale de la forme vs(t)=
vs0cos(t). Exprimer l'impédance du haut-parleur sous la forme Z = R+jL+Zem dans laquelle Zem dépend
de B, , f, m, k et  .
Bilan de puissances :
7. Afin d'évaluer le rendement de ce convertisseur électromécanique, on s'intéresse à la nature et à la
répartition des différentes grandeurs énergétiques en jeu.
7.a) Établir, à l'aide des équations différentielles électrique et mécanique, une nouvelle équation
différentielle traduisant le bilan électromécanique de puissance du système. Préciser clairement le sens
physique de chacun des 6 termes qu'elle comporte.
7.b) Justifier soigneusement que plusieurs termes de ce bilan de puissance sont de valeur moyenne
temporelle nulle. En déduire l'expression de la puissance moyenne délivrée en entrée du haut-parleur.
7.c) Montrer que le rendement du haut-parleur peut se mettre sous la forme
JS
S
P P P
où <PJ> représente la puissance moyenne dissipée par effet Joule et <PS> la puissance moyenne dédiée à
l'émission sonore, que l'on explicitera en fonction des données.
B. APPROCHE EXPÉRIMENTALE
Mesure de la puissance moyenne consommée et du rendement :
8. De façon à confronter le bilan théorique de puissance à l'expérience, le montage suivant a été réalisé.
FIG. 2 - Mesure de puissance moyenne
HP
v
m
v
pb
v
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r
r
v