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Er 2007 Architecture Algèbre de Boole Objectifs : Savoir modéliser un schéma // Savoir gérer un tableau de Karnaugh et l’Algèbre de Boole SCHMITT Mathieu Exia 10/12/2007 CER SCHMITT Mathieu Définition des mots-clés - Tableau de Karnaugh : Le tableau de Karnaugh est un tableau étudié pour pouvoir trouver la plus simple équation d'une table de vérité. - Pupitre de commande : Console qui permet d’effectuer des actions permettant de contrôler des choses. - Porte logique (opérateur) : Les portes logiques s’appuient sur les principes de la logique binaire (0, 1). - Algèbre de Boole : L’algèbre de Boole est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques - Logique combinatoire : Un système est dit combinatoire quand il est de type boucle ouverte, c'est à dire qu'aucune des sorties n'est bouclée en tant qu'entrée. A chaque combinaison d'entrée correspond une seule sortie. Les systèmes combinatoires sont les plus simples et peuvent se représenter par une table de vérité indiquant pour chaque état d'entrée quel est l'état de sortie correspondant. - Schéma électrique : Plan qui représente les portes logiques d’un circuit complexe. Architecture Page 2 CER SCHMITT Mathieu Axes de recherche Etudier l’Algèbre de Boole L’ordinateur ne peut manipuler des 0 ou des 1. Par exemple, un processeur est composé de transistors. Quelques uns de ces transistors créent des fonctions simples. Qui deviennent complexes avec leur nombre ! Comment faire des opérations simples ? Fonctions logiques ? On appelle « fonction logique » une entité acceptant plusieurs valeurs logiques en entrée et dont la sortie (il peut y en avoir plusieurs) peut avoir deux états possibles : 0 ou 1. En réalité ces fonctions sont assurées par des composants électroniques admettant des signaux électriques en entrée, et restituant un signal en sortie. Les signaux électroniques peuvent prendre une valeur de l'ordre de 5 Volts (c'est l'ordre de grandeur général) que l'on représente par un 1, ou 0 V que l'on représente par un 0. Portes logiques ? Les fonctions logiques de bases sont appelées portes logiques. Il s'agit de fonctions ayant une ou deux entrées et une sortie : La fonction OU (en anglais OR) positionne sa sortie à 1 si l'une ou l'autre de ses entrées est à 1 La fonction ET (en anglais AND) positionne sa sortie à 1 si ses deux entrées sont à 1 La fonction OU EXCLUSIF (en anglais XOR) positionne sa sortie à 1 si l'une ou l'autre de ses entrées est à 1 mais pas les deux simultanément La fonction NON (appelée aussi inverseur) positionne sa sortie à 1 si son entrée est à 0, et vice-versa On définit généralement les fonctions NON OU (couramment appelée NOR) et NON ET (NAND) comme étant la composition respective d'un NON avec un OU et un ET. Architecture Page 3 CER SCHMITT Mathieu Expressions algébrique … Le but de l'algèbre de Boole est de décrire le traitement de signaux sous forme d'expression algébrique. Comme nous l'avons vu, les signaux sont représentés par des noms de variables. Les fonctions logiques sont représentées par des opérateurs : la fonction OU est représenté par un plus: la fonction ET est représenté par un point: la fonction NON est représenté par une barre au-dessus de la variable inversée: Elle est parfois représentée par un / devant la variable inversée la fonction OU EXCLUSIF est représenté par un plus encerclé: Une expression algébrique sera donc une expression du type : Table de vérité … Une table de vérité est un tableau permettant de décrire toutes les possibilités de sorties en fonction des entrées. On place donc les variables d'entrées dans les colonnes de gauche en les faisant varier de telle façon à couvrir l'ensemble des possibilités. La colonne (ou les colonnes si la fonction a plusieurs sorties) de droite décrit la sortie. Architecture Page 4 CER SCHMITT Mathieu Propriétés Associativité Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (a.b).c = a.(b.c) = a.b.c Commutativité L'ordre est sans importance. a+b=b+a a.b = b.a Distributivité Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer : a.(b + c) = a.b + a.c Attention : comportement différent par rapport aux opérateurs + et * habituels : a + (b.c) = (a + b).(a + c) Idempotence a + a + a[...] = a a.a.a[...] = a Element Neutre a+0=a a.1 = a Absorption a + a.b = a a.(a + b) = a Simplification Redondance Complémentarité (« La lumière est allumée » = « la lumière n'est pas non allumée ») Architecture Page 5 CER SCHMITT Mathieu (« VRAI » SI lumière_allumée OU SI lumière_non_allumée → c'est toujours le cas → vrai dans tous les cas → toujours VRAI, donc =1) (« VRAI » SI lumière_allumée ET SI lumière_non_allumée → impossible → faux dans tous les cas → toujours FAUX donc =0) Architecture Page 6 CER SCHMITT Mathieu Etudier les circuits logiques Représentation des portes logiques La représentation conventionnelle des portes logiques est la suivante : On appelle circuit logique (ou circuit combinatoire) un ensemble de portes logiques reliées entre elles pour répondre à une expression algébrique. Il s'agit donc d'aller transcrire en schéma électrique (à l'aide des représentations ci-dessus) l'expression algébrique que l'on a simplifiée grâce aux lois de composition. Par exemple l'expression algébrique (A+B).(A+/C) sera schématisée comme suit : Architecture Page 7 CER SCHMITT Mathieu Circuit logique : On appelle circuit logique (ou circuit combinatoire) un ensemble de portes logiques reliées entre elles pour répondre à une expression algébrique. Il s'agit donc d'aller transcrire en schéma électrique (à l'aide des représentations ci-dessus) l'expression algébrique que l'on a simplifiée grâce aux lois de composition. Par exemple l'expression algébrique (A+B).(A+/C) sera schématisée comme suit : Architecture Page 8 CER SCHMITT Mathieu Etudier les tableaux de Karnaugh La méthode de simplification de Karnaugh repose sur l'identité : (A:B) + (A: _B) = A:(B + _B) = A Elle est basée sur l'inspection visuelle de tableaux disposés de façon telle que les cases adjacentes en ligne et en colonne ne diffèrent que par l'état d'une variable et une seule, ce qui permet d'exploiter l'identité ci-dessus pour simplifier la fonction. Si une fonction dépend de n variables il y a 2n valeurs possibles dans la table de vérité. Chacune de ces valeurs est représentée par une case dans un tableau. Les figures suivantes donnent la structure des tableaux de Karnaugh pour 2, 3 et 4 variables. Les lignes et les colonnes sont définies de telle sorte que d'une case _a sa voisine une seule variable change de valeur. Architecture Page 9 CER SCHMITT Mathieu Réponse à la problématique Comment simplifier la machine à l’aide d’un schéma logique ? Architecture Page 10 CER SCHMITT Mathieu Réponses aux hypothèses - Pour ? Il faut utiliser les tableaux de Karnaugh Vrai. Pour réaliser les tableaux de Karnaugh, il faut utiliser Boole Faux. La logique combinatoire permet de réaliser le fonctionnement d’un appareil Vrai. Le ou exclusif et ou sont différent Vrai. Le tableau de Karnaugh sert à simplifier un schéma électrique Vrai. La porte « non » inverse le signal d’entrée Vrai. L’algèbre de Boole s’applique dans la logique combinatoire Vrai. Le pupitre de commande est une interface entre l’utilisateur et la machine Vrai ! Le schéma, c’est de la merde !! (non normalisé) Architecture Page 11 CER SCHMITT Mathieu Bibliographie http://marpix1.in2p3.fr/calo/my-web/archi/chap3.pdf http://www.librecours.org/documents/3/383.pdf http://www.commentcamarche.com (logique combinatoire) http://www.lelombard.com (à lire chez soi) http://site.ifrance.com/alexsoft/cm5.htm Architecture Page 12
