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Architecture
Algèbre de Boole
Objectifs : Savoir modéliser un schéma // Savoir gérer un tableau de
Karnaugh et l’Algèbre de Boole
2007
SCHMITT Mathieu
Exia
10/12/2007

CER SCHMITT Mathieu
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Définition des mots-clés
- Tableau de Karnaugh :
Le tableau de Karnaugh est un tableau étudié pour pouvoir trouver la plus simple équation d'une
table de vérité.
- Pupitre de commande :
Console qui permet d’effectuer des actions permettant de contrôler des choses.
- Porte logique (opérateur) :
Les portes logiques s’appuient sur les principes de la logique binaire (0, 1).
- Algèbre de Boole :
L’algèbre de Boole est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse
aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques
- Logique combinatoire :
Un système est dit combinatoire quand il est de type boucle ouverte, c'est à dire qu'aucune des
sorties n'est bouclée en tant qu'entrée.
A chaque combinaison d'entrée correspond une seule sortie. Les systèmes combinatoires sont les
plus simples et peuvent se représenter par une table de vérité indiquant pour chaque état d'entrée
quel est l'état de sortie correspondant.
- Schéma électrique :
Plan qui représente les portes logiques d’un circuit complexe.

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Axes de recherche
Etudier l’Algèbre de Boole
L’ordinateur ne peut manipuler des 0 ou des 1.
Par exemple, un processeur est composé de transistors. Quelques uns de ces transistors créent des
fonctions simples. Qui deviennent complexes avec leur nombre !
Comment faire des opérations simples ?
Fonctions logiques ?
On appelle « fonction logique » une entité acceptant plusieurs valeurs logiques en entrée et dont la
sortie (il peut y en avoir plusieurs) peut avoir deux états possibles : 0 ou 1.
En réalité ces fonctions sont assurées par des composants électroniques admettant des signaux
électriques en entrée, et restituant un signal en sortie. Les signaux électroniques peuvent prendre
une valeur de l'ordre de 5 Volts (c'est l'ordre de grandeur général) que l'on représente par un 1, ou 0
V que l'on représente par un 0.
Portes logiques ?
Les fonctions logiques de bases sont appelées portes logiques. Il s'agit de fonctions ayant une ou
deux entrées et une sortie :
 La fonction OU (en anglais OR) positionne sa sortie à 1 si l'une ou l'autre de ses entrées est à
1
 La fonction ET (en anglais AND) positionne sa sortie à 1 si ses deux entrées sont à 1
 La fonction OU EXCLUSIF (en anglais XOR) positionne sa sortie à 1 si l'une ou l'autre de ses
entrées est à 1 mais pas les deux simultanément
 La fonction NON (appelée aussi inverseur) positionne sa sortie à 1 si son entrée est à 0, et
vice-versa
On définit généralement les fonctions NON OU (couramment appelée NOR) et NON ET (NAND)
comme étant la composition respective d'un NON avec un OU et un ET.

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Expressions algébrique …
Le but de l'algèbre de Boole est de décrire le traitement de signaux sous forme d'expression
algébrique. Comme nous l'avons vu, les signaux sont représentés par des noms de variables. Les
fonctions logiques sont représentées par des opérateurs :
 la fonction OU est représenté par un plus:
 la fonction ET est représenté par un point:
 la fonction NON est représenté par une barre au-dessus de la variable inversée:
Elle est parfois représentée par un / devant la variable inversée
 la fonction OU EXCLUSIF est représenté par un plus encerclé:
Une expression algébrique sera donc une expression du type :
Table de vérité …
Une table de vérité est un tableau permettant de décrire toutes les possibilités de sorties en fonction
des entrées. On place donc les variables d'entrées dans les colonnes de gauche en les faisant varier
de telle façon à couvrir l'ensemble des possibilités. La colonne (ou les colonnes si la fonction a
plusieurs sorties) de droite décrit la sortie.

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Propriétés
Associativité
Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
(a.b).c = a.(b.c) = a.b.c
Commutativité
L'ordre est sans importance.
a + b = b + a
a.b = b.a
Distributivité
Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer :
a.(b + c) = a.b + a.c
Attention : comportement différent par rapport aux opérateurs + et * habituels :
a + (b.c) = (a + b).(a + c)
Idempotence
a + a + a[...] = a
a.a.a[...] = a
Element Neutre
a + 0 = a
a.1 = a
Absorption
a + a.b = a
a.(a + b) = a
Simplification
Redondance
Complémentarité
(« La lumière est allumée » = « la lumière n'est pas non allumée »)