Oral S

Sujet 32
1) Soit la fonction f définie sur ]0 ; +  [ par f (x ) =
x
ln x
+1+
2
x
a) Calculer f ’ (x).
b) Soit u(x) = x2 + 2 – 2lnx . Etudier les variations puis le signe de u .
c) Dresser le tableau de variation de f (limites y comprises).
2) A, B, C et D sont quatre points de l'espace distincts deux à deux.
a) Déterminer dans l’espace l’ensemble  des points M tels que :
Error!Error! + 2Error! + Error!Error! = Error!2Error! + 2Error! Error!
b) Déterminer dans l’espace l’ensemble  des points M tels que :
Error!Error! + 2Error! + Error!Error! = Error!Error! – Error! Error!
c) Déterminer dans l’espace l’ensemble  des points M tels que :
( MA  2MB  MC ). ( MD ) = 0
A
B
C
Comportement
aide apportée
1a) f'(x) = Error! + Error! = Error!
1b) u(x) = x2 + 2 – 2lnx u'(x) = 2x – 2
x
0
1
sg (2x – 2)
–
0
variations u
1c)
sg f '
+
+
3
+
+
–
Error! = –  donc Error! f(x) = – 
variations f
lim;
x0
Error!Error! = 0 donc Error!f(x) = + 
Soit G le barycentre de (A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) et I le milieu de [AB].
L'équation devient Error!4Error!Error! = Error!4 Error! Error!
2a) 4Error!Error!Error! = 4Error! Error! Error!
MG = MI
 est le plan médiateur de [GI]
L'équation devient Error!4Error!Error! = Error! Error! Error!
2b)
MG = Error!
 est la sphère de centre G et de rayon Error!
L'équation devient 4Error!. Error! = 0
2c)
 est la sphère de diamètre [GD]
D
Sujet 33
1) On lance dix fois un dé cubique équilibré. Calculer les probabilités des événements suivants :
a) A «on n'obtient que des numéros 1 »
b) B «on obtient exactement trois fois le numéro 1 »
c) C «on obtient au moins une fois le numéro 1 »
2) L'espace est rapporté à un repère orthonormal. Soit le point A(1 ; – 3 ; 1) et le vecteur Error! (4 ; 5 ; 6).
a) Donner une équation cartésienne du plan (P) passant par A et de vecteur normal Error!.
b) Soit le point B (1 ; 0 ; – 1) et (Q ) : x + 2y – 3z –5 = 0. Donner une équation cartésienne du plan (Q')
passant par B et parallèle à (Q)
c) Déterminer l'intersection de (P) et de (Q' )
Comportement
aide apportée
· L'expérience de base est : jeter un dé.
Le succès est S : obtenir le 1 ; P(S) = Error!
· On répète l'expérience 10 fois, de manière indépendante. C'est un schéma de Bernoulli
1a)
La variable aléatoire égale au nombre de succès en 10 tirages suit la loi binomiale de
paramètres 10; Error!.
P(A) = ( Error! )10
P(A)  1,6 . 10–8
1b) P(B) = ( 3;10 ) (Error!)3  ( Error!)7 = 120 …..  0;155
C : au n'obtient jamais le numéro 1.
1c)
P ( C ) = (Error! )10
P( C ) = 1 – P(Error!)  1 – 0,1615  0, 838
P : 4x +5y +6z + d = 0
2a) A  P : 41 + 5 (– 3) +6 1+ d = 0 / – 5 + d = 0 / d = 5
P : 4x +5y + 6z + 5 = 0
(Q' ) : x + 2y – 3z + d = 0
2b) B (1 ; 0 ; – 1)  Q' donc 1 + 2 0 – 3 (–1) + d = 0 / 4 + d = 0
(Q' ) : x + 2y – 3z – 4 = 0
{ 4x +5y + 6z + 5 = 0; x + 2y – 3z – 4 = 0
2c)
/d=–4
{ 4x +5y = – 6z – 5 ;x + 2y = 3z + 4
{ 4x +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ 4(– 2y + 3z + 4) +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ 4(– 2y + 3z + 4) +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ – 8y + 12z + 16 +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ – 8y + 12z + 16 +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4 { y = 6z + 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ y = 6z + 5 ;x = – 2(6z + 5) + 3z + 4 { y = 6z + 5 ;x = – 9z + 6
Error!
L'intersection de P et Q' est une droite.
Sujet 34
ex 1
ex  1
a) Etudier les limites de f en +  et en –  . Qu'en déduisez-vous ?
b) Calculer f '(x)
2e x
c) Montrer que pour tout x  IR, f(x) = x
1 .
e 1
d) Calculer Error!dx.
1) Soit la fonction f définie sur IR par f(x)=
2) Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , on donne les plans P: x – 2y + 2z –1 = 0
et Q : x – 3y + 2z + 2 = 0.
a) Déterminer l'intersection de P et Q (on donnera une représentation paramétrique).
b) Le point A ( 1 ; 3 ; 4 ) appartient-il à cette intersection ? Même question pour le point B ( 13 ; 3 ; – 3 ).
Comportement
aide apportée
1a)
1b)
1c)
1d)
2a)
· Error!f(x) = f.i.
f(x) = Error! = Error! – Error! = 1 – Error!
Error!f(x) = 1.
La droite d'équation y = 1 est asymptote à Cf en + .
·Error!f(x) = – 1.
La droite d'équation y = – 1 est asymptote à Cf en – .
f '(x) = Error! = Error!
Error! – 1 = Error! = Error! = f(x)
Error!dx =Error!dx = 2Error!dx – Error!dx = [ln(ex + 1)]10 – [x]01
= ln(e + 1) – ln1 – [ 1 –0] = ln(e + 1)
Les suites 2 ; – 2 ; 2 et 1 ; – 3; 2 ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs normaux
sont non colinéaires donc P et Q sont sécants.
{ x – 2y + 2z –1 = 0; x – 3y + 2z + 2 = 0 { x – 2y = – 2z +1;x – 3y = – 2z – 2
{ y = 3;x – 3y = – 2z – 2
{ y = 3;x = – 2z + 7 Error!
Soit à résoudre Error! Error!
Ce système n'a pas de solution, A n'appartient pas à l'intersection.
2b)
Soit à résoudre Error!
Error!
Ce système a une solution unique. B appartient à l'intersection.