Oral S

Sujet 32
1) Soit la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f (x ) =
2
x
+ 1 +
ln x
x
a) Calculer f ’ (x).
b) Soit u(x) = x2 + 2 – 2lnx . Etudier les variations puis le signe de u .
c) Dresser le tableau de variation de f (limites y comprises).
2) A, B, C et D sont quatre points de l'espace distincts deux à deux.
a) Déterminer dans l’espace l’ensemble  des points M tels que :
Error!Error! + 2Error! + Error!Error! = Error!2Error! + 2Error! Error!
b) Déterminer dans l’espace l’ensemble  des points M tels que :
Error!Error! + 2Error! + Error!Error! = Error!Error! – Error! Error!
c) Déterminer dans l’espace l’ensemble  des points M tels que :
(
2 ).MA MB MC
(
MD
) = 0
A
B
C
D
Comportement
aide apportée
1a)
f'(x) = Error! + Error! = Error!
1b)
u(x) = x2 + 2 – 2lnx u'(x) = 2x – 2
x
0 1 +
sg (2x – 2)
– 0 +
variations u
3
1c)
sg f '
+
variations f
+
–
lim;x  0 Error! = –  donc Error! f(x) = – 
Error!Error!
= 0 donc
Error!
f(x) = +
2a)
Soit G le barycentre de (A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) et I le milieu de [AB].
L'équation devient
Error!
4
Error!Error!
=
Error!
4
Error!
Error!
4
Error!Error!Error!
= 4
Error!
Error!
Error!
MG = MI
 est le plan médiateur de [GI]
2b)
L'équation devient Error!4Error!Error! = Error! Error! Error!
MG =
Error!
 est la sphère de centre G et de rayon
Error!
2c)
L'équation devient 4
Error!
.
Error!
= 0
 est la sphère de diamètre [GD]

Sujet 33
1) On lance dix fois un dé cubique équilibré. Calculer les probabilités des événements suivants :
a) A «on n'obtient que des numéros 1 »
b) B «on obtient exactement trois fois le numéro 1 »
c) C «on obtient au moins une fois le numéro 1 »
2) L'espace est rapporté à un repère orthonormal. Soit le point A(1 ; – 3 ; 1) et le vecteur
Error!
(4 ; 5 ; 6).
a) Donner une équation cartésienne du plan (P) passant par A et de vecteur normal
Error!
.
b) Soit le point B (1 ; 0 ; – 1) et (Q ) : x + 2y – 3z –5 = 0. Donner une équation cartésienne du plan (Q')
passant par B et parallèle à (Q)
c) Déterminer l'intersection de (P) et de (Q' )
Comportement
aide apportée
1a)
· L'expérience de base est : jeter un dé.
Le succès est S : obtenir le 1 ; P(S) =
Error!
· On répète l'expérience 10 fois, de manière indépendante. C'est un schéma de Bernoulli
La variable aléatoire égale au nombre de succès en 10 tirages suit la loi binomiale de
paramètres 10;
Error!
.
P(A) = (
Error!
)10 P(A)
1,6 . 10–8
1b)
P(B) = ( )
3;10  (Error!)3  ( Error!)7 = 120 …..  0;155
1c)
C : au n'obtient jamais le numéro 1.
P ( C ) = (
Error!
)10 P( C ) = 1 – P(
Error!
)
1 – 0,1615
0, 838
2a)
P : 4x +5y +6z + d = 0
A
P : 41 + 5 (– 3) +6 1+ d = 0 / – 5 + d = 0 / d = 5
P : 4x +5y + 6z + 5 = 0
2b)
(Q' ) : x + 2y – 3z + d = 0
B (1 ; 0 ; – 1)
Q' donc 1 + 2 0 – 3 (–1) + d = 0 / 4 + d = 0 / d = – 4
(Q' ) : x + 2y – 3z – 4 = 0
2c)
{ 4x +5y + 6z + 5 = 0; x + 2y – 3z – 4 = 0
{ 4x +5y = – 6z – 5 ;x + 2y = 3z + 4 { 4x +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ 4(– 2y + 3z + 4) +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ 4(– 2y + 3z + 4) +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ – 8y + 12z + 16 +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ – 8y + 12z + 16 +5y = – 6z – 5 ;x = – 2y + 3z + 4 { y = 6z + 5 ;x = – 2y + 3z + 4
{ y = 6z + 5 ;x = – 2(6z + 5) + 3z + 4 { y = 6z + 5 ;x = – 9z + 6 Error!
L'intersection de P et Q' est une droite.

Sujet 34
1) Soit la fonction f définie sur IR par f(x)=
1
1
x
x
e
e
a) Etudier les limites de f en + et en – . Qu'en déduisez-vous ?
b) Calculer f '(x)
c) Montrer que pour tout x IR, f(x) =
21
1
x
xe
e
.
d) Calculer
Error!
dx.
2) Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , on donne les plans P: x – 2y + 2z –1 = 0
et Q : x – 3y + 2z + 2 = 0.
a) Déterminer l'intersection de P et Q (on donnera une représentation paramétrique).
b) Le point A ( 1 ; 3 ; 4 ) appartient-il à cette intersection ? Même question pour le point B ( 13 ; 3 ; – 3 ).
Comportement
aide apportée
1a)
· Error!f(x) = f.i.
f(x) =
Error!
=
Error!
–
Error!
= 1 –
Error!
Error!
f(x) = 1.
La droite d'équation y = 1 est asymptote à Cf en +
.
·
Error!
f(x) = – 1.
La droite d'équation y = – 1 est asymptote à Cf en –
.
1b)
f '(x) = Error! = Error!
1c)
Error! – 1 = Error! = Error! = f(x)
1d)
Error!dx =Error!dx = 2Error!dx – Error!dx = [ln(ex + 1)]10 – [x]01
= ln(e + 1) – ln1 – [ 1 –0] = ln(e + 1)
2a)
Les suites 2 ; – 2 ; 2 et 1 ; – 3; 2 ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs normaux
sont non colinéaires donc P et Q sont sécants.
{ x – 2y + 2z –1 = 0; x – 3y + 2z + 2 = 0 { x – 2y = – 2z +1;x – 3y = – 2z – 2
{ y = 3;x – 3y = – 2z – 2
{ y = 3;x = – 2z + 7
Error!
2b)
Soit à résoudre Error! Error!
Ce système n'a pas de solution, A n'appartient pas à l'intersection.
Soit à résoudre
Error!
Error!
Ce système a une solution unique. B appartient à l'intersection.