l`approche stochastique de l`embedded value

Commission actif/passif de l’Institut des Actuaires
L'APPROCHE STOCHASTIQUE DE L'EMBEDDED VALUE

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Plan du document
L'APPROCHE STOCHASTIQUE DE L'EMBEDDED VALUE ....................................................... 1
Introduction .................................................................................................................................................... 3
1 - La simulation des marchés financiers ....................................................................................................... 3
1-a/ Les obligations / l'inflation ..................................................................................................... 4
1-b/ Les actions ............................................................................................................................. 4
1-c/ L'immobilier ........................................................................................................................... 5
1-d/ Autres actifs / Produits dérivés .............................................................................................. 5
1-e/ Le paramétrage des modèles .................................................................................................. 6
2 - Le comportement des clients .................................................................................................................... 7
2-a/ La loi de rachat ....................................................................................................................... 7
2-b / La loi d'arbitrage en sortie des fonds en euro de contrats multisupports ............................ 11
2-c/ La loi de chiffre d'affaires .................................................................................................... 12
3/ Le comportement de l'assureur ................................................................................................................ 13
3-a/ La stratégie d'investissement ................................................................................................ 13
3-b/ La stratégie de vente ............................................................................................................ 14
3-c/ La stratégie de revalorisation ............................................................................................... 14
4/ Les frais / commissions ............................................................................................................................ 15
5/ L'analyse des résultats .............................................................................................................................. 15
6/ Conclusions :limites et prolongements de l'approche exposée ................................................................ 17

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Introduction
L’approche présentée dans ce document vise à pallier ce que nous considérons comme le principal
inconvénient de l'approche classique du calcul de l'Embedded Value, à savoir de ne pas donner de réelle
indication sur le risque financier.
Même si des chocs instantanés sur les marchés financiers sont en général simulés lors de tests de
sensibilités, l'évolution des marchés dans l’approche classique est ensuite lissée : les taux d’intérêt sont
supposés stables, les actions fournissent chaque année une performance stable faisant ressortir la prime de
risque sans réalisation de celui-ci. En poussant à l'extrême, on pourrait obtenir, après le choc initial simulé,
une situation où la compagnie couvrirait des engagements viagers à 4,5% alors que les taux d’intérêt à long
terme valent 3,5% par un portefeuille composé à 100% d’actions qui seraient supposées rapporter les taux à
long terme + 2%, soit 5,5%…
En réalité l'assureur vie est un vendeur d'options :
- le taux minimum garanti sur les contrats en euros est un floor annuel sur le rendement comptable.
Chaque attribution de participation aux bénéfices réévalue les strikes des années futures. Les
contraintes commerciales poussent à réaliser des plus-values latentes et à consommer de la
richesse qui manquera peut-être ensuite en cas d'évolution défavorable ultérieurement.
- Le rachat anticipé est un put à la valeur comptable en cas de hausse importante des taux.
Ces options sont clairement "path dependant", la deuxième option dépendant de surcroît de fonctions de
comportement. Dans ces conditions, la seule approche utilisable pour l'évaluation de ces options est la
simulation de nombreux scénarios d'évolution des marchés financiers dans le futur : la méthode de "Monte
Carlo".
Il s'agit en fait tout simplement de refaire, canton par canton, le même calcul que pour l'Embedded Value
classique dans des scénarios non plus déterministes mais générés aléatoirement. La valeur actuelle des
bénéfices futurs et le coût de blocage de la marge peuvent ainsi être calculés scénario par scénario, puis on
calcule des valeurs moyennes et on analyse la distribution.
1 - La simulation des marchés financiers
En général on utilise des modèles de génération aléatoire de marchés financiers en tenant compte des
prix de marché pour la calibration (en fonction des prix des options de taux, sur actions …).
Il est également possible d’envisager de "rejouer" des scénarios historiques, à condition d'avoir des
données historiques suffisamment longues pour y piocher des séries de durée égale à la durée de la
simulation envisagée.

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1-a/ Les obligations / l'inflation
Plusieurs modèles de génération aléatoire des courbes de taux d'intérêt ont été développés par les
chercheurs.
Parmi les plus célèbres :
- modèle à un facteur : Vasicek
- modèles à deux facteurs : Hull and White (existe également à un facteur), Heath Jarrow Morton
Ces modèles s'appuient toujours sur la courbe des zéros coupons sans risque, les taux des titres à
coupon pouvant ensuite s'en déduire. L'échantillon obtenu doit être ensuite corrigé des éventuels taux
négatifs générés par le processus aléatoire.
La modélisation de l'inflation est importante dès lors que celle-ci est un indicateur utilisé dans la
modélisation, en particulier pour les contrats de rente. Elle est également utile pour la projection des
coûts.
Certains modèles génèrent d'abord l'inflation puis en déduisent les taux (par exemple le modèle de
Wilkie, très utilisé dans certains pays anglo-saxons), il est aussi possible de générer d'abord les courbes
de taux, puis de reconstituer l'inflation qui serait cohérente, soit par une fonction dépendant à la fois des
taux courts et des taux longs, soit en simulant un modèle de génération de courbes de taux réels
(s'appuyant sur le prix des titres indexés sur l'inflation) avec de fortes corrélations avec le modèle des
taux nominaux et des volatilités plus faibles…
La modélisation des papiers à spread peut être plus ou moins fine suivant la décomposition retenue dans
les actifs. Si l'assureur a une politique très prudente de la gestion du risque crédit, c’est à dire une
dispersion suffisante entre les différents émetteurs d’une même classe de papiers à spread il peut
regrouper dans une même classe toutes ces obligations , avec un spread moyen peu volatile et des
probabilités de sinistres faibles. Sinon l’assureur peut gérer une classe pour chaque niveau de rating, ce
qui demande une modélisation plus fine des évolutions relatives des spread et des probabilités de défaut.
A noter que le nombre de simulations effectuées est souvent limité par les temps de calcul, ce qui peut
poser des problèmes pour la génération aléatoire de défauts de crédit. Le plus souvent on est amené à
recourir à une approche simplifiée en considérant un taux de défaut annuel forfaitaire dépendant du
niveau de spread du moment.
1-b/ Les actions
La plupart des modèles utilisent un générateur de lois log normale pour simuler les actions. Or l'analyse
historique montre clairement que cette loi n'est pas adaptée et ne pourrait pas expliquer la répétition de
kracks depuis la fin des années 80 et l'analyse des queues de distribution.

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Plusieurs approches ont été développées pour améliorer cette modélisation :
- l'utilisation de mélanges de lois (avec un état "normal" et un état "agité" simulant des périodes de
crises se traduisant par de fortes volatilités et les espérances plus faibles).
- l'utilisation de lois de Levy permettant de générer des distributions à queues plus épaisses que la
loi normale.
On suppose en général que les actions bénéficient d'une prime de risque. Certaines approches
privilégient une espérance de rendement des actions indépendante du niveau simulé des taux, d'autres
considèrent une espérance égale à taux 10 ans + X% ou taux monétaire + Y%…
La performance des actions doit être ensuite décomposée entre dividende (avec modélisation de l'avoir
fiscal) et variations de cours. Le taux de distribution peut être considéré comme stable (un pourcentage
de la valeur boursière) ou dépendant du niveau des taux simulés.
Dans la modélisation, l'assureur est amené à dégager des plus-values pour assurer le rendement
comptable. Une partie de ces plus-values peut être considérée comme bénéficiant du régime des plus-
values à long terme, ce qui influera sur l'impact du taux d'imposition dans le calcul final.
Par ailleurs, un des risques comptables sur les actions et l’immobilier est la constitution d’une Provision
pour Risque d’Exigibilité ou de Provisions pour Dépréciation à caractère Durable. En général les modèles
ne simulent pas ligne par ligne mais procèdent en regroupant celles-ci par classes homogènes, voire en
une ligne globale. Un des moyens de prendre en compte ce risque est de supposer qu'un pourcentage
des éventuelles moins-values latentes globales devra donner lieu à constitution d'une PRE ou de PDD.
1-c/ L'immobilier
La performance globale de l'immobilier est en général modélisée comme celle des actions, avec une
volatilité plus faible. Le rendement courant (loyer, charges) dépend souvent beaucoup de la situation de
départ (avec revalorisation fonction de l'inflation simulée). On peut compléter la simulation avec la
génération de taux d'occupation ( 100%). Il faut également tenir compte d'une moindre liquidité de cet
actif dans la simulation, en particulier lors des dégagements de plus-values.
1-d/ Autres actifs / Produits dérivés
Chaque grande classe d'actif doit être modélisée de façon cohérente avec l'environnement simulé.
Par exemple un placement alternatif pourra avoir un rendement peu corrélé aux autres actifs, les
volatilités utilisées pour le pricing des produits dérivés dépendront de celles utilisées pour la génération
des marchés, le modèle utilisera un "smile" pour évaluer les options hors de la monnaie, etc…
Les performances des OPCVM se déduisent des performances des actifs de base grâce à leur
benchmark, en simulant des rebalancements systématiques de manière à maintenir une composition
stable de chaque OPCVM entre ses différents actifs de base.