Modèle mathématique. - IREM Paris Nord Groupe Statistiques

Groupe lycée de l’académie de Créteil : Seconde Année scolaire 2009/2010
Evolution d’une population de grenouilles
1
La population de grenouilles d’un étang serait en voie de disparition ; les membres d’un club d’écologie s’en inquiètent et
effectuent un comptage précis chaque premier jour de novembre.
Date du relevé
1er novembre 2004
1er novembre 2005
1er novembre 2006
1er novembre 2007
Rang n de l’année
0
1
2
3
Population de grenouilles
1 000
950
903
856
Les membres du club décident de modéliser l’évolution de la population de grenouilles à l’aide de deux méthodes différentes.
Modèle 1 :
Ils supposent que chaque année, la population de grenouilles
diminuent de 50. Ils notent U(0) la population de grenouilles le 1er
novembre 2004, laquelle population est égale à 1 000 grenouilles, et
U(n) la population de grenouilles le 1er novembre (2004 + n).
1. a) Que vaut U(0) ? Calculer ensuite U(1).
b) Quelle serait la population de grenouilles le 1er novembre 2006
selon ce modèle ?
2. Donner l’expression de U(n + 1) en fonction de U(n).
3. On peut utiliser un tableur pour faire les calculs.
a) Quel nombre faut-il entrer en D2 ?
b) Quelle formule faut-il entrer en C3 et recopier jusqu’en C10 pour
obtenir la population de grenouilles chaque année jusqu’en 2012 ?
c) Compléter la colonne C du tableau ci-contre.
d) Est-il possible de calculer directement U(10) à partir de
l’expression établie à la question 2 ?
e) En déduire la population de grenouilles attendue selon ce modèle au 1er novembre 2012 ?
4. Les relevés effectués de 2004 à 2007 contredisent-ils le modèle ? Justifier la réponse.
5. Voici un algorithme qui permet de calculer le nombre U(n) pour n’importe quel entier positif quelconque n.
Variables
U, population de grenouilles pour l’année courante
Initialisation
U est égale à la population de grenouilles le 1er novembre 2004.
Traitement
Pour i variant de 1 à n,
U prend la valeur U – 50.
Sortie
Affiche U.
6. Transcrire cet algorithme dans le langage d’un logiciel de calcul numérique, puis retrouver les valeurs de la population de
grenouilles du 1er novembre 2004 au 1er novembre 2014.
7. a) Placer les points de coordonnées (n ; U(n)) dans un repère. (On pourra utiliser l’outil informatique).
b) Quelle particularité semble posséder les points ainsi définis ?
c) En déduire la conjecture d’une expression de U(n) en fonction de n et de 1000. On justifiera la pertinence de la démarche
suivie et de la conjecture établie.
d) Vérifier cette expression pour les premières valeurs de n, d’une part en déroulant l’algorithme à la main et d’autre part, en
utilisant l’outil informatique.
e) Au bout de combien d’années, toutes les grenouilles auront-elles disparues ?
8. Questions complémentaires
Dans cette question, on suppose que chaque année, la population de grenouilles diminue de r grenouilles, r désignant un
entier positif fixé.
a) Donner l’expression de U(n + 1) en fonction de U(n).
b) Ecrire un algorithme qui permet de calculer le nombre U(n) pour n’importe quel entier positif quelconque n.
c) Transcrire cet algorithme dans le langage d’un logiciel de calcul symbolique (Xcas).
d) Déterminer alors la population de grenouilles chaque 1er novembre entre 2004 et 2009.
e) Conjecturer une expression de U(n) en fonction de 1000 et n.
f) Vérifier cette conjecture à l’aide du programme écrit, et, en déroulant l’algorithme.
A
B
C
D
1
Année
Rang
de
l’année
n
U(n)
Constante
de
diminution
2
2004
0
1000
…
3
2005
1
4
2006
2
5
2007
3
6
2008
4
7
2009
5
8
2010
6
9
2011
7
10
2012
8

Groupe lycée de l’académie de Créteil : Seconde Année scolaire 2009/2010
Evolution d’une population de grenouilles
2
Facultatif : Reprendre l’ensemble des questions de 7 en supposant, de plus, que le nombre de grenouilles au 1er novembre
2004 est représenté par la lettre a.
Modèle 2 : (A faire en devoir à la maison)
Les membres du club supposent, cette fois-ci, que chaque année, la population de grenouilles diminue de 5 %.
9. a) Quelle est la population de grenouilles au 1er novembre 2005 ? au 1er novembre 2006 ?
b) Par quel coefficient, la population est-elle multipliée chaque année ?
Ils notent V(0) la population de grenouilles le 1er novembre 2004, laquelle population est égale à 1 000 grenouilles, et V(n) est
la population de grenouilles le 1er novembre (2004 + n).
10. a) Que valent V(1) et V(2) ?
b) Calculer V(3). Traduire le résultat par une phrase concrète.
Ils utilisent un tableur pour faire apparaître le rang des années en colonne B et les termes de la suite en colonne C.
A
B
C
D
1
Année
Rang de l’année
Modèle 2 V(n)
Coefficient multiplicateur
2
2004
0
1 000
0,95
3
2005
1
4
2006
2
5
2007
3
6
2008
4
7
2009
5
8
2010
6
9
2011
7
10
2012
8
11
2013
9
12
2014
10
13
2015
11
14
2016
12
15
2017
13
16
2018
14
17
2019
15
18
2020
16
11. a) Exprimer V(n + 1) en fonction de V(n).
b) Compléter la cellule D2.
c) Donner une formule à inscrire dans la cellule B4 permettant de compléter la colonne B « par recopie vers le bas ».
d) Parmi les formules suivantes choisir toutes celle(s) qui, inscrite(s) dans la cellule C4, permettent de compléter la colonne
C « par recopie vers le bas » :
= C3*0,95 = C3$D$2 = C3*$D2 = C3*D2 = C3*D$2.
e) Compléter alors le tableau.
f) En déduire la population de grenouilles attendue, selon ce modèle, le 1er novembre 2012 (arrondir à l’entier).
g) Avec ce modèle, quelle est la date du premier relevé qui ferait apparaître une population de grenouilles de l’étang
inférieure à la moitié de l’effectif relevé le 1er novembre 2004 ? Justifier la réponse.
h) Est-il possible de calculer directement V(10) à partir de la relation établie à la question 3a) ?
12. Les relevés effectués de 2004 à 2007 contredisent-ils le modèle ? Justifier la réponse.
13. Ecrire un algorithme qui permet de calculer le nombre V(n) pour n’importe quel entier positif quelconque n.
14. Transcrire cet algorithme dans le langage d’un logiciel de calcul numérique, puis retrouver les valeurs de la population de
grenouilles du 1er novembre 2004 au 1er novembre 2020.
15. En déroulant l’algorithme à la main, conjecturer une expression de V(n) en fonction de 1000 et de n. La vérifier en retrouvant
les premières valeurs déjà calculées de V(n).
16. Questions complémentaires à l’aide d’un logiciel de calcul formel (Xcas).
Les membres du club supposent cette fois-ci, que chaque année, la population de grenouilles diminue de t %, où t est un réel
compris entre 0 et 100.
a) Conjecturer, à l’aide du logiciel de calcul formel, une expression de V(n) en fonction de n, t et 1000.
Que se passe-t-il si t = 5 ?
b) Que devient la formule précédente si le nombre initial de grenouilles est représenté par la lettre a ?