Modèle mathématique. - IREM Paris Nord Groupe Statistiques
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Groupe lycée de l’académie de Créteil : Seconde Année scolaire 2009/2010 La population de grenouilles d’un étang serait en voie de disparition ; les membres d’un club d’écologie s’en inquiètent et effectuent un comptage précis chaque premier jour de novembre. Date du relevé Rang n de l’année Population de grenouilles 1er novembre 2004 0 1 000 1er novembre 2005 1 950 1er novembre 2006 2 903 1er novembre 2007 3 856 Les membres du club décident de modéliser l’évolution de la population de grenouilles à l’aide de deux méthodes différentes. Modèle 1 : Ils supposent que chaque année, la population de grenouilles diminuent de 50. Ils notent U(0) la population de grenouilles le 1er novembre 2004, laquelle population est égale à 1 000 grenouilles, et U(n) la population de grenouilles le 1er novembre (2004 + n). 1. a) Que vaut U(0) ? Calculer ensuite U(1). b) Quelle serait la population de grenouilles le 1er novembre 2006 selon ce modèle ? 2. Donner l’expression de U(n + 1) en fonction de U(n). A 1 Année 2 2004 B Rang de l’année n 0 3 2005 1 4 2006 2 5 2007 3 6 2008 On peut utiliser un tableur pour faire les calculs. 7 2009 a) Quel nombre faut-il entrer en D2 ? b) Quelle formule faut-il entrer en C3 et recopier jusqu’en C10 pour 8 2010 obtenir la population de grenouilles chaque année jusqu’en 2012 ? 9 2011 c) Compléter la colonne C du tableau ci-contre. d) Est-il possible de calculer directement U(10) à partir de 10 2012 l’expression établie à la question 2 ? e) En déduire la population de grenouilles attendue selon ce modèle au 1 er novembre 2012 ? 3. C D U(n) Constante de diminution 1000 … 4 5 6 7 8 4. Les relevés effectués de 2004 à 2007 contredisent-ils le modèle ? Justifier la réponse. 5. Voici un algorithme qui permet de calculer le nombre U(n) pour n’importe quel entier positif quelconque n. Variables U, population de grenouilles pour l’année courante Initialisation U est égale à la population de grenouilles le 1er novembre 2004. Traitement Pour i variant de 1 à n, U prend la valeur U – 50. Sortie Affiche U. 6. Transcrire cet algorithme dans le langage d’un logiciel de calcul numérique, puis retrouver les valeurs de la population de grenouilles du 1er novembre 2004 au 1er novembre 2014. 7. a) Placer les points de coordonnées (n ; U(n)) dans un repère. (On pourra utiliser l’outil informatique). b) Quelle particularité semble posséder les points ainsi définis ? c) En déduire la conjecture d’une expression de U(n) en fonction de n et de 1000. On justifiera la pertinence de la démarche suivie et de la conjecture établie. d) Vérifier cette expression pour les premières valeurs de n, d’une part en déroulant l’algorithme à la main et d’autre part, en utilisant l’outil informatique. e) Au bout de combien d’années, toutes les grenouilles auront-elles disparues ? 8. Questions complémentaires Dans cette question, on suppose que chaque année, la population de grenouilles diminue de r grenouilles, r désignant un entier positif fixé. a) Donner l’expression de U(n + 1) en fonction de U(n). b) Ecrire un algorithme qui permet de calculer le nombre U(n) pour n’importe quel entier positif quelconque n. c) Transcrire cet algorithme dans le langage d’un logiciel de calcul symbolique (Xcas). d) Déterminer alors la population de grenouilles chaque 1 er novembre entre 2004 et 2009. e) Conjecturer une expression de U(n) en fonction de 1000 et n. f) Vérifier cette conjecture à l’aide du programme écrit, et, en déroulant l’algorithme. Evolution d’une population de grenouilles 1 Groupe lycée de l’académie de Créteil : Seconde Année scolaire 2009/2010 Facultatif : Reprendre l’ensemble des questions de 7 en supposant, de plus, que le nombre de grenouilles au 1er novembre 2004 est représenté par la lettre a. Modèle 2 : (A faire en devoir à la maison) Les membres du club supposent, cette fois-ci, que chaque année, la population de grenouilles diminue de 5 %. 9. a) Quelle est la population de grenouilles au 1er novembre 2005 ? au 1er novembre 2006 ? b) Par quel coefficient, la population est-elle multipliée chaque année ? Ils notent V(0) la population de grenouilles le 1er novembre 2004, laquelle population est égale à 1 000 grenouilles, et V(n) est la population de grenouilles le 1er novembre (2004 + n). 10. a) Que valent V(1) et V(2) ? b) Calculer V(3). Traduire le résultat par une phrase concrète. Ils utilisent un tableur pour faire apparaître le rang des années en colonne B et les termes de la suite en colonne C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A Année 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 B Rang de l’année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C Modèle 2 V(n) 1 000 D Coefficient multiplicateur 0,95 11. a) Exprimer V(n + 1) en fonction de V(n). b) Compléter la cellule D2. c) Donner une formule à inscrire dans la cellule B4 permettant de compléter la colonne B « par recopie vers le bas ». d) Parmi les formules suivantes choisir toutes celle(s) qui, inscrite(s) dans la cellule C4, permettent de compléter la colonne C « par recopie vers le bas » : = C3*0,95 = C3$D$2 = C3*$D2 = C3*D2 = C3*D$2. e) Compléter alors le tableau. f) En déduire la population de grenouilles attendue, selon ce modèle, le 1er novembre 2012 (arrondir à l’entier). g) Avec ce modèle, quelle est la date du premier relevé qui ferait apparaître une population de grenouilles de l’étang inférieure à la moitié de l’effectif relevé le 1er novembre 2004 ? Justifier la réponse. h) Est-il possible de calculer directement V(10) à partir de la relation établie à la question 3a) ? 12. Les relevés effectués de 2004 à 2007 contredisent-ils le modèle ? Justifier la réponse. 13. Ecrire un algorithme qui permet de calculer le nombre V(n) pour n’importe quel entier positif quelconque n. 14. Transcrire cet algorithme dans le langage d’un logiciel de calcul numérique, puis retrouver les valeurs de la population de grenouilles du 1er novembre 2004 au 1er novembre 2020. 15. En déroulant l’algorithme à la main, conjecturer une expression de V(n) en fonction de 1000 et de n. La vérifier en retrouvant les premières valeurs déjà calculées de V(n). 16. Questions complémentaires à l’aide d’un logiciel de calcul formel (Xcas). Les membres du club supposent cette fois-ci, que chaque année, la population de grenouilles diminue de t %, où t est un réel compris entre 0 et 100. a) Conjecturer, à l’aide du logiciel de calcul formel, une expression de V(n) en fonction de n, t et 1000. Que se passe-t-il si t = 5 ? b) Que devient la formule précédente si le nombre initial de grenouilles est représenté par la lettre a ? Evolution d’une population de grenouilles 2
