Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université Virtuelle de Tunis Mécanique des fluides Dynamique des fluides compressibles Mr Riadh Ben Hamouda Attention ! Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis. Mécanique des fluides Université Virtuelle de Tunis Dynamique des fluides compressibles Objectifs du chapitre : Ce chapitre est consacré à l’étude des fluides compressibles. Les lois et les équations fondamentales de la dynamique ainsi que le théorème de Saint-Venant nécessaires pour traiter un problème d’écoulement de gaz sont démontrés. Certaines notions de thermodynamique, jugées indispensables pour introduire quelques paramètres, sont ajoutées. Au terme de ce chapitre l’étudiant doit être capable: - de calculer la vitesse du son et le nombre de Mach dans un fluide compressible, - d’identifier la nature d’un écoulement (subsonique ou supersonique), - d’écrire l’équation de continuité pour un fluide compressible, et - d’appliquer l’équation de Saint-Venant. Pré-réquis : - connaître le théorème de bilan énergétique, 2 Mr Riadh Ben Hamouda Université Virtuelle de Tunis Mécanique des fluides Dynamique des fluides compressibles Eléments de contenu : 1 2 Fluide compressible .............................................................................. 4 Equations d’etat d’un gaz parfait ........................................................... 4 2.1 Lois des gaz parfaits .......................................................................... 4 2.2 Transformations thermodynamiques .................................................. 4 3 Classification des écoulements ............................................................. 6 3.1 Célérité du son................................................................................... 6 3.2 Nombre de Mach ............................................................................... 6 3.3 Ecoulement subsonique..................................................................... 6 3.4 Ecoulement supersonique ................................................................. 6 4 Equation de continuite .......................................................................... 6 5 Equation de Saint-Venant ..................................................................... 7 6 Etat générateur : ................................................................................... 8 Attention ! Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l’Université Virtuelle de Tunis. Il est strictement interdit de le reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (une copie par utilisateur) est permis. 3 Mr Riadh Ben Hamouda Mécanique des fluides Université Virtuelle de Tunis Dynamique des fluides compressibles 1. Fluide compressible Un fluide est dit compressible si son volume varie quand sa pression change. Les gaz sont des fluides compressibles. 2. Equations d’état d’un gaz parfait 2.1 Lois des gaz parfaits P r.T avec : - P : pression. - : masse volumique en (kg/m3). - r : constante des gaz parfait ( r R 287 J / Kg.0 K ). M - T : température en (0K). 2.2 Transformations thermodynamiques - Transformation à pression constante : La chaleur récupérée par un gaz parfait à pression constante est : H C p .T avec : - H : variation d’enthalpie par unité de masse en (KJ/Kg) - Cp : chaleur spécifique à pression constante en (KJ/Kg.oK) - T : variation de température (0K) - Transformation à volume constant : La chaleur récupérée par un gaz parfait à volume constant est : U Cv .T avec : - U : variation d’énergie interne par unité de masse en (KJ/Kg) 4 Mr Riadh Ben Hamouda Mécanique des fluides Université Virtuelle de Tunis Dynamique des fluides compressibles - Cv : chaleur spécifique à volume constant en (KJ/Kg.oK) - T : variation de température en (0K) Remarque : H U P P équivaut à H (U ) U (rT ) (Cv r ).T C p .T Donc : C p Cv r : Relation de Mayer On définie : Cp Cv Exemple : 5 2 3 2 - Pour un gaz parfait monoatomique : C p .r et Cv .r donc 7 2 5 2 - Pour un gaz parfait diatomique : C p .r et Cv .r donc or C p CV r donc C p ou encore : C p r. Cp 5 3 7 5 r 1 P . La variation d’enthalpie est par conséquent : H C p .T 1 ou encore H . P 1 * - Transformation adiabatique : P Cte , P 1 Cte donc Cte D’après la lois des gaz parfaits : T P rT P 5 Mr Riadh Ben Hamouda Université Virtuelle de Tunis Mécanique des fluides Dynamique des fluides compressibles 1 ou encore, P T Cte 3. Classification des écoulements 1.3 Célérité du son Pour un écoulement isentropique, la vitesse du son, appelée également célérité du son, est donnée par l’expression suivante : C .P .r.T 3.2 Nombre de Mach On appelle nombre de Mach le rapport : M V C où - V : Vitesse d’écoulement en (m/s) - C : Célérité du son en (m/s) Le nombre de Mach varie d’un point à l’autre de l’écoulement, non seulement parce que la vitesse varie, mais aussi parce que l’état du fluide varie, donc la célérité. 3.3 Ecoulement subsonique L’écoulement est dit subsonique si la vitesse d’écoulement est inférieure à la vitesse du son. Ou encore : si M < 1 3.4 Ecoulement supersonique L’écoulement est dit subsonique si la vitesse d’écoulement est supérieure à la vitesse du son. Ou encore : si M > 1 4. Equation de continuite L’équation de continuité d’un fluide compressible est : 1 .S1.V1 2 .S 2 .V2 6 Mr Riadh Ben Hamouda Mécanique des fluides Université Virtuelle de Tunis Dynamique des fluides compressibles 5. Equation de Saint-Venant L’équation de bilan énergétique d’un système ouvert est : Ec EP H Q Wu où : - Ec : Variation d’énergie cinétique. - EP : Variation d’énergie potentielle du fluide. - H : Variation d’enthalpie. - Q: chaleur échangée avec le milieu extérieur. - Wu : travail utile échangé. Si on suppose : - qu’il n’y pas d’échange de travail utile, Wu = 0 - que l’énergie potentielle est négligeable, EP =0 - que l’écoulement est adiabatique et réversible, Q=0 L’équation de bilan énergétique devient : H Ec 0 1 2 ou encore ( H 2 H1 ) (V22 V12 ) 0 1 2 donc H V 2 Cte or d’après l’équation (*) H C p .T . P 1 D’où la relation de Saint-Venant : 1 .V 2 Cte 1 2 . P Entre deux points d’un écoulement, cette relation s’écrit : P P 1 . 2 1 . V22 V12 0 1 2 1 2 7 Mr Riadh Ben Hamouda Mécanique des fluides Université Virtuelle de Tunis Dynamique des fluides compressibles ou encore 1 P1 1 P2 . . 1 . V22 V12 0 1 1 2 P1 2 . 1 P Or pour un gaz parfait Cte donc 1 1 1 2 2 P2 P1 P2 Donc 1 1 P1 P2 . . 1 . V22 V12 0 1 1 P1 2 6. Etat générateur : C’est l’état d’un fluide en un point de l’écoulement où la vitesse V est supposée nulle. On note par un indice i toutes les variables thermodynamiques relatives à ce point. En appliquant le théorème de Saint-Venant entre ce point et un autre point on a : 1 Pi .V 2 . 1 2 1 i . P Dans le cas d’un écoulement isentropique d’un gaz parfait, les caractéristiques thermodynamiques d’un point d’arrêt sont celles de l’état générateur c'est-à-dire : Pi, Ti, i. Or la célérité du son est donnée par : C .P .r.T Donc le théorème de Saint-Venant peut être écrit sous la forme suivante : 1 1 1 .C 2 .V 2 .Ci2 1 2 1 2 2 2 Ci En multipliant cette équation par 2 on obtient : M2 . C 1 1 C 8 2 Mr Riadh Ben Hamouda Mécanique des fluides Université Virtuelle de Tunis Dynamique des fluides compressibles 2 C T Or i i T C Donc la relation de Saint- Venant devient : 1 1 T .M 2 i 2 T De même, on peut écrire : Pi P 1 1 i 1 1 2 .M 2 Pour établir la relation entre les caractéristiques de deux points (1) et (2) d’un même écoulement : - en (1) : Ti 1 2 1 .M1 T1 2 - en (2) : Ti 1 2 1 .M2 T2 2 T2 T1 Donc : 1 2 .M1 2 1 2 1 .M2 2 1 De la même façon on peut établir des relations entre les pressions et les masses volumiques. Remarque : si M = 1 (v = c), l’état de l’écoulement est appelé état critique. Il est déterminé en fonction de l’état générateur : Ti 1 1 1 Tc 2 2 9 Mr Riadh Ben Hamouda