1. Fluide compressible - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université Virtuelle de Tunis
Mécanique des fluides
Dynamique des fluides compressibles
Mr Riadh Ben Hamouda
Attention !
Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est
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Mécanique des fluides
Université Virtuelle de Tunis
Dynamique des fluides compressibles
Objectifs du chapitre :
Ce chapitre est consacré à l’étude des fluides compressibles. Les lois et les équations
fondamentales de la dynamique ainsi que le théorème de Saint-Venant nécessaires pour
traiter un problème d’écoulement de gaz sont démontrés. Certaines notions de
thermodynamique, jugées indispensables pour introduire quelques paramètres, sont
ajoutées.
Au terme de ce chapitre l’étudiant doit être capable:
- de calculer la vitesse du son et le nombre de Mach dans un fluide compressible,
- d’identifier la nature d’un écoulement (subsonique ou supersonique),
- d’écrire l’équation de continuité pour un fluide compressible, et
- d’appliquer l’équation de Saint-Venant.
Pré-réquis :
- connaître le théorème de bilan énergétique,
2
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Mécanique des fluides
Dynamique des fluides compressibles
Eléments de contenu :
1
2
Fluide compressible .............................................................................. 4
Equations d’etat d’un gaz parfait ........................................................... 4
2.1 Lois des gaz parfaits .......................................................................... 4
2.2 Transformations thermodynamiques .................................................. 4
3 Classification des écoulements ............................................................. 6
3.1 Célérité du son................................................................................... 6
3.2 Nombre de Mach ............................................................................... 6
3.3 Ecoulement subsonique..................................................................... 6
3.4 Ecoulement supersonique ................................................................. 6
4 Equation de continuite .......................................................................... 6
5 Equation de Saint-Venant ..................................................................... 7
6 Etat générateur : ................................................................................... 8
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Tunis. Il est strictement interdit de le reproduire à des fins commerciales. Seul le
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Dynamique des fluides compressibles
1. Fluide compressible
Un fluide est dit compressible si son volume varie quand sa pression change.
Les gaz sont des fluides compressibles.
2. Equations d’état d’un gaz parfait
2.1 Lois des gaz parfaits
P

 r.T
avec :
- P : pression.
-  : masse volumique en (kg/m3).
- r : constante des gaz parfait ( r 
R
 287 J / Kg.0 K ).
M
- T : température en (0K).
2.2 Transformations thermodynamiques
- Transformation à pression constante :
La chaleur récupérée par un gaz parfait à pression constante est :
H  C p .T
avec :
-  H : variation d’enthalpie par unité de masse en (KJ/Kg)
- Cp : chaleur spécifique à pression constante en (KJ/Kg.oK)
-  T : variation de température (0K)
- Transformation à volume constant :
La chaleur récupérée par un gaz parfait à volume constant est :
U  Cv .T
avec :
-  U : variation d’énergie interne par unité de masse en (KJ/Kg)
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- Cv : chaleur spécifique à volume constant en (KJ/Kg.oK)
-  T : variation de température en (0K)
Remarque :
H U 
P

P
équivaut à H  (U  )  U  (rT )  (Cv  r ).T  C p .T

Donc : C p  Cv  r : Relation de Mayer
On définie :  
Cp
Cv
Exemple :
5
2
3
2
- Pour un gaz parfait monoatomique : C p  .r et Cv  .r donc  
7
2
5
2
- Pour un gaz parfait diatomique : C p  .r et Cv  .r donc  
or C p  CV  r donc C p 
ou encore : C p  r.
Cp

5
3
7
5
r

 1
   P
. 
La variation d’enthalpie est par conséquent : H  C p .T  
  1   
ou encore H 

.
P
 1 
*
- Transformation adiabatique :
P

 Cte ,
P 1
 Cte donc   Cte
D’après la lois des gaz parfaits :

T
 P
 
 rT 
P
5
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 1

ou encore,
P
T
 Cte
3. Classification des écoulements
1.3 Célérité du son
Pour un écoulement isentropique, la vitesse du son, appelée également célérité du son,
est donnée par l’expression suivante :
C
 .P
  .r.T

3.2 Nombre de Mach
On appelle nombre de Mach le rapport :
M 
V
C
où
- V : Vitesse d’écoulement en (m/s)
- C : Célérité du son en (m/s)
Le nombre de Mach varie d’un point à l’autre de l’écoulement, non seulement parce que
la vitesse varie, mais aussi parce que l’état du fluide varie, donc la célérité.
3.3 Ecoulement subsonique
L’écoulement est dit subsonique si la vitesse d’écoulement est inférieure à la vitesse du
son. Ou encore : si M < 1
3.4 Ecoulement supersonique
L’écoulement est dit subsonique si la vitesse d’écoulement est supérieure à la vitesse du
son. Ou encore : si M > 1
4. Equation de continuite
L’équation de continuité d’un fluide compressible est :
1 .S1.V1   2 .S 2 .V2
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5. Equation de Saint-Venant
L’équation de bilan énergétique d’un système ouvert est :
Ec  EP  H  Q  Wu
où :
-  Ec : Variation d’énergie cinétique.
-  EP : Variation d’énergie potentielle du fluide.
-  H : Variation d’enthalpie.
- Q: chaleur échangée avec le milieu extérieur.
- Wu : travail utile échangé.
Si on suppose :
- qu’il n’y pas d’échange de travail utile, Wu = 0
- que l’énergie potentielle est négligeable,  EP =0
- que l’écoulement est adiabatique et réversible, Q=0
L’équation de bilan énergétique devient : H  Ec  0
1
2
ou encore ( H 2  H1 )  (V22  V12 )  0
1
2
donc H  V 2  Cte
or d’après l’équation (*) H  C p .T 

.
P
 1 
D’où la relation de Saint-Venant :

1
 .V 2  Cte
 1  2
.
P
Entre deux points d’un écoulement, cette relation s’écrit :
P
P 1
. 2  1   . V22  V12  0
  1   2 1  2


7

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ou encore
 1
P1  1 P2
. .  1  . V22  V12  0
  1 1   2 P1  2


.

1
 P 

Or pour un gaz parfait     Cte donc 1   1 
1
2
 2  P2 
P1
P2
Donc
 1


 1
P1   P2  
. .    1  . V22  V12  0
  1 1   P1 
 2





6. Etat générateur :
C’est l’état d’un fluide en un point de l’écoulement où la vitesse V est supposée nulle.
On note par un indice i toutes les variables thermodynamiques relatives à ce point.
En appliquant le théorème de Saint-Venant entre ce point et un autre point on a :

1
 Pi
 .V 2 
.
 1  2
  1 i
.
P
Dans le cas d’un écoulement isentropique d’un gaz parfait, les caractéristiques
thermodynamiques d’un point d’arrêt sont celles de l’état générateur c'est-à-dire : Pi, Ti,
 i.
Or la célérité du son est donnée par : C 
 .P
  .r.T

Donc le théorème de Saint-Venant peut être écrit sous la forme suivante :
1
1
1
.C 2  .V 2 
.Ci2
 1
2
 1
2
2
2  Ci 
En multipliant cette équation par 2 on obtient :
M2 
. 
C
 1
 1  C 
8
2
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2
C
T
Or  i   i
T
C
Donc la relation de Saint- Venant devient :
1
 1
T 
.M 2   i 
2
T 
De même, on peut écrire :
 Pi 
 
P
 1

 1
 
  i 

 1
 1
2
.M 2
Pour établir la relation entre les caractéristiques de deux points (1) et (2) d’un même
écoulement :
- en (1) :
Ti
 1 2
 1
.M1
T1
2
- en (2) :
Ti
 1 2
 1
.M2
T2
2
T2

T1
Donc :
 1 2
.M1
2
 1 2
1
.M2
2
1
De la même façon on peut établir des relations entre les pressions et les masses
volumiques.
Remarque :
si M = 1 (v = c), l’état de l’écoulement est appelé état critique.
Il est déterminé en fonction de l’état générateur :
Ti
 1 1 
 1

Tc
2
2
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