Leçon 13

Leçon 13
Diffusion thermique ; loi de Fourier, applications (PC)
Bibliographie : leçon très copieuse !
 Ellipses : Thermodynamique MP : chapitre 11. Bien.
 Hachette : Thermodynamique 2ère année PC-PSI. Chapitre 1. Bien, surtout pour les exemples.
 Tec & Doc : Thermodynamique 1ère & 2ème année : chapitre 7. Bien.
 Dunod : Thermodynamique : chapitre 19. Pas de chapitre spécifique, noyé avec le rayonnement
(programme MP). Moyen.
 Masson Le Hir Thermo PC-PSI : chapitre 4. Convenable. Bien pour les exemples.
I. GENERALITES SUR LES PHENOMENES D'ECHANGES THERMIQUES : (très rapide !)
Les échanges d'énergie thermique entre deux systèmes (ou deux sous-sytèmes) à des températures
différentes se font suivants trois processus : conduction, convection & rayonnement.
1. Conduction :
Ce processus utilise les propriétés d'un milieu dans lequel baignent les deux systèmes. L'agitation
thermique mettant en oeuvre les électrons libres, un bon conducteur de la chaleur est nécessairement un
bon conducteur de l'électricité. Les bons conducteurs de la chaleur seront donc les métaux, & les isolants
thermiques seront des isolants électriques (laine de verre). Il en résulte que la conduction thermique
n'existe pas dans le vide (qui est un isolant parfait). Le phénomène de conduction thermique est un phé-
nomène de transfert, tout comme la diffusion & la viscosité (& relève de la même théorie).
2. Convection :
Les variations de température dans un fluide (& surtout dans un gaz) entraînent des variations de
densité, & donc des mouvements du fluide (appelés courants de convection : l'air chaud s'élève) respon-
sables des échanges thermiques entre les deux systèmes baignant dans le fluide. Les gradients de tempé-
rature responsables des courants de convection peuvent être naturels ou forcés. Il en résulte que la con-
vection n'existe pas dans le vide.
3. Rayonnement : programme MP seulement.
L'échauffement d'un corps entraînant un accroissement de l'agitation thermique crée un rayonnement
continu (théorie de Planck du corps noir) sur tout le spectre électromagnétique. La puissance totale
rayonnée par une surface S évolue avec la température suivant la loi de Stefan :
P S T . . 4
, où =
5,7.10-8 SI est la constante de Stefan. Le rayonnement est le seul mode de propagation de la chaleur dans
le vide.
D. Loi de Newton :
Elle s'applique aux deux derniers processus. Soit un corps à la température T, le milieu extérieur
ayant la température To. Si on appelle  la surface de contact entre le corps & le milieu extérieur, la
quantité de chaleur échangée entre ces deux systèmes pendant la durée dt est donnée par :
dtTTdQ o)..(.
C'est la loi de Newton, où est une constante. Cette loi explique la présence de tubulures sur les
radiateurs, pour augmenter la surface de contact, & donc les échanges thermiques avec l'air de la pièce.
Attention ! Ne pas confondre , surface de contact entre le corps & le milieu extérieur, intervenant dans
la loi de Newton, avec S, surface (ou plutôt section) traversée par le flux de chaleur dans le corps.
II. BILANS THERMIQUES :

1. Loi de Fourier : La température T étant uniforme pour un système à l'équilibre thermique, la
propagation de la chaleur par conduction thermique provient donc de la non - uniformité de cette gran-
deur, donc de l'existence d'un gradient de température, ce qui se traduit par la loi locale :
TJQ Grad.
dite loi de Fourier. Si on multiplie scalairement par
dl
dans le sens de
Q
J
, on obtient
0.. Grad..  dTdTTldJQ
, d'où dT < 0 & on vérifie bien, conformément au Second Principe
de la Thermodynamique, que la chaleur s'écoule spontanément du corps le plus chaud vers le corps le
plus froid, ce qui justifie le signe dans la loi de Fourier.
La conductivité thermique  s'exprime en W.K-1.m-1, & varie de 400 SI pour le cuivre (très bon
conducteur), à 10-2 SI pour un gaz, & 0,04 SI pour la laine de verre (excellent isolant thermique).
2. Loi intégrale : elle s'écrit :
SQSdJ 
.
, où  représente le flux thermique, ou flux de chaleur
(homogène à une puissance) traversant une section S prise dans le matériau de conductivité thermique .
3. Equation de Laplace (ou équation de la chaleur) :
On écrit l'équation de continuité traduisant la conservation de la grandeur énergétique Q sur une sur-
face fermée S prise à l'intérieur d'un corps conducteur de la chaleur, de masse volumique , de chaleur
massique C, de conductivité thermique . On a :
dtd
t
T
mCdTmCdtSdJdQ
SVS Q.
..
)(
3
& avec le théorème d'Ostrogradski & la loi de
Fourier :
dtd
t
T
mCdtdJ
SVSV Q.
. Div
)(
3
)(
3
, d'où :
t
T
mCJQ Div 
, soit finalement :
TmC T
t
. C'est l'équation de Laplace de la chaleur.
On peut montrer que (pic de température, voir TecDoc ou Faroux)
t
x
t
TtxT o4 exp
2
1
),( 2
est solution. On reconnaît une gaussienne d’écart-type
t 2
qui croit avec t, d’où l’uniformisation
des températures.
Insistons sur le fait que, sous cette forme, l'équation de Laplace ne fait intervenir que la conduction
comme seul mécanisme d'échange thermique. En régime permanent, le second membre est nul & on re-
trouve l'équation classique de Laplace, comme en électrostatique par exemple.
4. Bilans thermiques :
Ecrits sous forme différentielle sur un système élémentaire, ils permettent de retrouver l'équation de
la chaleur sans avoir à connaître l'expression de l'opérateur différentiel Laplacien, & ceci quel que soit le
système de coordonnées utilisées.
En coordonnées cartésiennes, T = 0 conduit à une loi affine pour T, donc le gradient de tempéra-
ture est constant & aussi le module de
Q
J
. Il n'en est pas de même en coordonnées cylindriques ou sphé-
riques.
Si on prend en compte d'autres modes de transfert thermiques que la conduction, donc la loi de
Newton, mettant en jeu la puissance PN, l'équation de la chaleur devient :
TC T
tPN
. On parle
de transferts conducto - convectifs.

III. ANALOGIES ELECTRIQUES :
On remarquera l'analogie entre l'expression du flux de chaleur  & la loi d'Ohm macroscopique : I
= G.V, avec
L
S
G
, ce qui était prévisible car la loi locale de Fourier est l'analogue de la loi d'Ohm
microscopique :
VEJ Grad..  
. Analogie aussi avec la loi de Fick de la diffusion :
nDJ Grad.
. On a donc les analogies suivantes :
Grandeurs
Electriques
V
VEJ Grad..  
I J dS
S
.
L
S
G
Grandeurs
Thermiques
T
TJQ Grad.
SQSdJ 
GS
L
th 
On rencontrera aussi des résistances thermiques correspondant à la loi de Newton, de la forme :
R1
.
IV. ONDES THERMIQUES :
Obtenues pour un régime forcé correspondant à une excitation périodique (variation saisonnière).
On résout l'équation de la chaleur. Attention ! La condition initiale sur T correspond au régime transi-
toire, & pas au régime forcé. C’est l’analogue de l’effet de peau.
Dire que la résolution des exercices suppose des conditions aux limites sur T ou son gradient.
Expérience : celle d'Ingenhouz (tiges de métaux différents, enduites de cire, reliées à un bac d’eau
chaude.