Exercice N°1 : Laser à 4 niveaux

Institut d'Optique, 2° année et M2
François BALEMBOIS
Examen de Laser 20/12/2007
Examen de Laser
Durée : 3 heures
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Calculatrice autorisée
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Questions de base
1) On veut décaler la fréquence d'un laser fonctionnant sur un seul mode longitudinal. Le décalage
est réalisé par la translation du miroir de sortie sur l'axe de la cavité. Il s'agit d'une cavité linéaire
avec une longueur L = 30 cm. La longueur d'onde est =1 µm.
Le décalage de fréquence est 10 MHz, quelle est la valeur de la translation du miroir?
2) Un milieu amplificateur est pompé à 532 nm par une puissance de 1W. Sa section efficace
d'émission est maximale à 800 nm. Quelle puissance maximale peut-être obtenue avec ce milieu
si celui-ci est mis dans une cavité laser?
3) Au lieu de démarrer sur l'émission spontanée, on force une cavité en anneau à démarrer à partir
de photons provenant d'une diode laser. Ceux-ci sont bien plus nombreux que les photons
spontanés. Les caractéristiques du faisceau de la diode laser correspondent exactement à un
mode longitudinal du laser (profil du faisceau et fréquence) et au maximum de section efficace du
milieu à gain. La cavité est simplement composée de 3 miroirs et du milieu à gain. Le milieu à gain
est pompé en continu.
3.1) Quand la diode laser est coupée, le laser est bidirectionel. En revanche, quand le faisceau de
la diode laser est injectée dans la cavité, le laser devient unidirectionel (sens "+"). Expliquer
pourquoi.
3.2) En fait, dans l'autre sens, il est possible d'observer une très faible quantité de photons sortant
de la cavité par le miroir de sortie (sortie 2). Expliquer pourquoi.
R3
+
R1
R2
Miroir de sortie
Diode laser
M ilie u €
gain
0
sortie 1
l
Sortie 2
Pompage
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Problème : Comportement temporel d'un laser déclenché par le gain
Introduction
Un élève de 3° année travaille en TP sur un laser à saphir dopé au titane pompé par un laser
Nd:YAG doublé en fréquence. Ce dernier émet des impulsions de pompe d'une durée de 10 ns à
532 nm avec une énergie de l'ordre du millijoule. La forme des impulsions est supposée
rectangulaire. Avec une photodiode rapide et un oscilloscope, il observe le comportement temporel
de ce laser et il ne comprend pas ce qu'il observe. L'objectif de ce problème est d'essayer de
l'aider.
Le montage expérimental est décrit sur la figure 1. Le laser fonctionne à 800 nm. Le milieu à gain
est un cristal de saphir dopé au titane. Ses faces sont traitées anti-reflet à 800 nm. Le cristal est
placé dans une cavité "plan-concave" de longueur L=200 mm. Le rayon de courbure du miroir
concave est M2 est Rc=400 mm. Son coefficient de réflection est R2=0,9. Le miroir d'entrée est plan
et il a un coefficient de réflection R1 = 1. Il n'y a pas d'autres pertes dans la cavité.
Miroir dХentrЋe M1
HR 800Кnm : R1=1
HT 532Кnm
Miroir concave M 2
Rc = 400 mm
R2 = 0,9
Pompage impulsionnel
€ 532 nm (10Кns)
Sortie (800Кnm)
I
z
L
Ti:saphir
Fig.1 schéma expérimental.
IntensitЋ
Le comportement temporel du laser est décrit sur la figure 2. L'étudiant observe seulement une
impulsion en sortie du laser pour une impulsion de pompe. Le temps de création est de l'ordre
d'une centaine de nanosecondes. L'impulsion laser a une durée de l'ordre de 20 ns. Quand il
augmente la puissance du pompage, le temps de création décroit et l'intensité de l'impulsion croit
(direction "1"). Quand il diminue la puissance du pompage, l'impulsion se déplace dans la direction
"2".
Impulsion de pompe (10 ns)
1
Impulsion laser
2
Temps de crЋation B
Fig.2 : Comportement temporel de l'impulsion laser.
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Temps
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Paramétres et hypothèses
On suppose que l'intensité de pompe est constante dans le milieu à gain.
La longueur du milieu à gain est noté d.

p = 532 nm et Ip est l'intensité de
pompe.
nt est la densité de population totale. C'est une constante du problème.
Le saphir dopé au titane est un système à 4 niveaux. On suppose que n = n2 : la densité
d'inversion de population est égale à la population du niveau du haut (n2).
A est le coefficient d'Einstein pour l'émission spontanée.  est la durée de vie du niveau du haut de
la transition laser.

 = 800 nm.
I est l'intensité laser juste avant le miroir de sortie.
Toutes les hypothèses du cours (chapitre IV partie I) sont vérifiées :
- Le débit  Ip reste très inférieur au débit A,
- une décroissance très rapide depuis le niveau du haut de la transition de pompe vers le
niveau du haut de la transition laser,
- le pompage n'est pas suffisamment intense pour induire un dépeuplement significatif de
l'état fondamental (n0 très proche de nt).
Dans cette cavité linéaire, on néglige les effets des interférences entre les deux ondes se
propageant en sens inverse. Ainsi, en chaque point de la cavité, l'intensité totale est supposé être
égale à 2 I.
Durant l'impulsion de pompe, et en chaque point du milieu à gain, on suppose que la variation de la
densité d'invertion de population en fonction du temps est:
dn 1  cw
2I 
 n0  n  n où n0cw =  Ip nt et Is=1/()
dt
 
I S 
On suppose que la variation de l'intensité dans le laser en fonction du temps est :


dI I n  nth

dt  c nth où c 
est le temps de vie du photon dans la cavité c= -2L/(c ln(R1R2)) et nth est
la densité de population nécessaire pour atteindre le seuil d'oscillation.
Les parties 1, 2, et 3 peuvent être faites séparément.
1) Allure temporelle de la densité d'inversion de population n0(t)
On suppose ici que la cavité n'est pas alignée, de telle sorte que l'intensité dans le milieu à gain est
nulle (I=0 et il n'y a pas d'émission spontanée amplifiée). L'impulsion de pompe débute à t=0 et se
termine à t=tp.
1.1) Donner l'expression de n0(t) durant l'impulsion de pompe.
1.2) Donner l'expression de sa valeur maximale n0Max
1.3) Donner l'expression de n0(t) après l'impulsion de pompe.
1.4) Le temps de vie du niveau du haut pour le saphir dopé au titane est =3µs et la durée de
l'impulsion de pompe est tp=10 ns. Donner la forme de n0(t) pour toutes les valeurs de t.
1.5) Pour cette question seulement, le saphir dopé au titane est remplacé par un colorant. C'est
aussi un système à 4 niveaux, cependant, son temps de vie du niveau du haut est très petit :
(=2 ns). Donner la forme de n0(t) pour toutes les valeurs de t (les autres paramètres sont les
mêmes).
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Calcul du temps de création
On définit le temps de création comme le temps entre la fin de l'impulsion de pompe et le maximum
de l'impulsion laser (fig.2). On suppose ici que le temps de création est beaucoup plus petit que le
temps de vie du niveau du haut pour le saphir dopé au titane. Ainsi, durant le temps de création, on
suppose que la densité d'inversion de population est constante tant que l'intensité du laser est
négligeable : n0(t) = n0Max
2) Calcul de l'intensité laser au maximum Imax
2.1) Donner l'équation dI/dn après l'impulsion de pompe (pour les calculs, I>>Is).
2.2) Intégrer cette équation entre les deux situations suivantes :
- Situation 1 : l'intensité I est encore négligeable et la densité d'inversion de population est n0Max.
- Situation 2 : l'intensité I atteint son maximum.
En déduire l'expression de l'intensité laser au maximum Imax, en fonction de , c, n0Max et nth
3) Calcul de l'intensité au démarrage I0
On suppose que le laser commence à osciller à la fin de l'impulsion de pompe. On sait que le laser
démarre sur de l'émission spontanée émise dans l'axe de la cavité (et plus précisément sur les
modes longitudinaux de la cavité). Le but de cette partie est de déterminer I0 l'intensité spontanée
couplée dans les modes longitudinaux du laser (fig.3).
Emission spontan
Ћe
M1
)
I0
Faisceau de cavitЋ
d
Ti:saphir
Fig.3 : Emission spontanée dans l'axe de la cavité I0.
3.1) L'indice de réfraction du saphir dopé au titane est noté n. M1 est très proche du saphir dopé au
titane. Donner la longueur de la cavité plan-concave équivalent L' en fonction de : n, d, et L.
3.2) Les modes de la cavité sont supposés être TEM00. Donner l'expression de l'angle de
divergence  du faisceau de la cavité dans le cristal de saphir en fonction de (longueur d'onde du
laser dans le vide), de l'indice de réfraction n, de la longueur L' de la cavité équivalente et du rayon
de courbure Rc.
3.3) Donner la valeur de  si =800 nm, n=1,76, L= 200 mm et Rc=400 mm.
total
3.4) Donner l'expression de la puissance totale émise par émission spontanée Pspont
à la fin de
total
l'impulsion de pompe (la section du faisceau de pompe est notée S). Pspont
est exprimée en nombre
de photons par seconde.
3.5) En déduire l'expression de Ispont, l'intensité spontanée émise dans le mode transverse TEM00.

En fait, seule une partie de cette intensité spontanée est 
couplée dans les modes longitudinaux.
En prenant en compte la finesse de la cavité et le nombre de modes longitudinaux qui peuvent
osciller, on estime que l'intensité spontanée réellement couplée dans les modes longitudinaux est
égale à I0= Ispont/100.
4) Calcul du temps de création et applications numériques
On suppose que le gain effectif est égal au gain effectif petit signal G 0 durant l'ensemble du temps
de création (cette hypothèse est fausse uniquement à la fin du temps de création, lorsque l'intensité
dans le laser I devient plus grande que Is).
4.1) En supposant que I0 et Imax sont connues à partir des calculs précédents, donner l'expression
de N, le nombre d'allers et retours dans la cavité, nécessaires pour passer de l'intensité I0 au
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démarrage du laser à l'intensité maximale Imax (il n'y a pas d'autres pertes que le coupleur de
sortie).
4.2) Donner l'expression de nth la densité d'inversion de population nécessaire pour atteindre le
seuil en fonction de , d, R1 et R2.
Pour les question de 4.3) à 4.6), on donne les valeurs suivantes :
= 28 10-20 cm2, d=10 mm, R1=1, R2 = 0,9
L = 200 mm, n=1,76
n0Max/nth
4.3) Donner la valeur de Imax (en nombre de photons par seconde et par m2)
4.4) Donner la valeur de nth (en nombre d'atomes par m3)
4.5) Donner la valeur de I0 (en nombre de photons par seconde et par m2)
4.6) Donner la valeur du temps de création B.
4.7) On note x = n0Max/nth. Calculer le temps de création pour x=1.5 , 2, 4, 8.
4.8) Tracer le temps de création en fonction de l'intensité de pompe.
5) Questions "bonus"
5.1) Décrire le comportement de l'impulsion laser si vous augmentez la longueur de la cavité.
5.2) Un désalignement est équivalent à des pertes additionnelles. Ainsi, si M2 est désaligné, son
coefficient de réflection équivalent diminue. Décrire le comportement temporel de l'impulsion quand
M2 est de plus en plus désaligné.
5.3) On remplace le saphir dopé au titane par un colorant (le même que dans la question 1.5). On
observe que le laser ne fonctionne correctement que si la cavité est très courte. Expliquer
pourquoi.
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