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Correction du bilan de décembre 2009
PARTIE I : Activités numériques
Exercice 1 : (/2,5 : 2*1 + 0,5 pour l’écriture scientifique)
11 7 2
A


8 18 7
3  10 2  5  10 4
B

3
11
7  2
12  10 3
A

8
9  2  7
3  5 10 2 4
11  9 1  8
B

 33
A

4

3

10
89 98
6
5 10
99 8
B  9
A

4 10
72 72
B  1,25  10 3 (écriture scientifiq ue)
107
A
( fraction irréductib le )
72
 
Exercice 2 : (/3,5 : 1 pt : dvlpmt, 1 pt : 1ère facto, 1 pt :2ème facto, 0,5 pt : calcul (en cohérence
avec l’expression choisie par l’élève)
1. D = 9x ² - 4 + (3x -2)(x + 3).
D  12  (3)²  7  (3)  10
D  9 x ²  4  3x ²  9 x  2 x  6
D  12  9  21  10
D  12 x²  7 x  10
2. 9 x ²  4  (3x)²  2²  (3x  2)(3x  2)
donc :
D  (3 x  2)(3 x  2)  (3 x  2)( x  3)
D  108  31
D  77
D  (3 x  2)(3 x  2  x  3)
D  (3 x  2)( 4 x  5)
3. Si x  3 :
Exercice 3 :(/2 pt : 1,5 + 0,5)
1. Pour calculer le PGCD des nombres 675 et 375, on utilise l’algorithme d’Euclide :
6 7 5
- 3 7 5
3 0 0
3 7 5
1
3 7 5
- 3 0 0
7 5
3 0 0
1
3 0 0
- 3 0 0
0
7 5
4
Le dernier reste non nul est 75. Donc PGCD(675 ; 375) = 75 .
675 75  9 9

 On obtient une fraction irréductible puisqu’on a simplifié par le PGCD du
375 75  5 5
numérateur et du dénominateur.
2.
Exercice 4 : (/4 : 1pt : question 1, 1 pt +1 pt : question 2, 1 pt : question 3)
1. Si on choisit le nombre 10 :
2. Si le nombre choisi est - 5 :
Multiplier ce nombre par 3 : 10  3  30
Multiplier ce nombre par 3 :  5  3  15
Ajouter le carré du nombre choisi : 30 + 10²
= 30 + 100 = 130
Ajouter le carré du nombre choisi : -15 + 5²
= -15 + 25 = 10
Multiplier par 2 : 130  2  260
Multiplier par 2 : 10  2  20
Le résultat obtenu est bien 260 .
Le résultat obtenu est 20 .
Si le nombre choisi est
2
:
3
Multiplier ce nombre par 3 :
2
3  2
3
2
4 18 4 22
2
Ajouter le carré du nombre choisi : 2     2    
9 9 9 9
3
Multiplier par 2 :
22
44
2 
9
9
Error!.
3. Si le nombre choisi est entier, alors on obtiendra un nombre entier à chaque étape. De plus, la dernière étape
consiste à multiplier par 2, c’est pourquoi le nombre obtenu sera forcément pair. La proposition est donc
vraie.
PARTIE II : Activités géométriques
Exercice 1 (/5,5pts : 1 : 1pt ; 3 : 1,5pt ; 4 : 2pts ; 5 : 1pt)
1. Dans le triangle ABC rectangle en A, on utilise
C et A. Donc d’après la réciproque du théorème de
le théorème de Pythagore :
Thalès, (AB) // (MN) .
BC² = AC² + AB²
4. (MA) et (NB) se coupent en C et (AB) // (MN),
13² = AC² + 5²
on peut donc utiliser le théorème de Thalès :
169 = AC² + 25
CM CN MN
AC² = 169 – 25


CA CB
AB
AC² = 144
2
,
4
2
,
6
MN
Or AC>0, car c’est une longueur donc


12 13
5
AC = 144
AC = 12 .
5  2,6
1 .
13
5. (MA) et (NB) se coupent en C et (AB) // (MN),
donc CMN est une réduction du triangle ABC. Les
angles étant conservés et ABC étant rectangle,
alors CMN est un triangle rectangle en M.
MN 
CM 2,4

 0,2
CA 12
CN 2,6

 0,2
D’autre part :
CB 13
CM CN

Donc
. De plus les points N, C et B
CA CB
sont alignés dans cet ordre ainsi que les points M,
Exercice 2 (6,5 pts : 1 : 1pt ; 2 :1,5pts ;3a :0,5pt si compas ;3b :2pts ;4 :1,5pts)
1.
AE 3,6

 0,6
2. D’une part :
AB
6
AM 2,7
D’autre part :

 0,6
AD 4,5
AE AM

Donc
. De plus les points A, E et B
AB AD
sont alignés dans cet ordre ainsi que les points A,
M et D. Donc d’après la réciproque du théorème de
3. D’une part :
Thalès, (EM) // (BD) .
3. (BN) et (DP) se coupent en C et (PN) // (BD),
donc on peut utiliser le théorème de Thalès :
CN CP NP


CB CD BD
3
CP NP


4,5
6
BD
CP 
4. Dans le triangle CNP rectangle en C, on peut
utiliser le théorème de Pythagore :
PN² = CP² + CN²
PN² = 4² + 3²
PN² = 25
PN = 25
PN = 5 cm
63
 4cm
4,5
PARTIE III - PROBLÈME 12 points
PREMIÈRE PARTIE
1. 3pts : 1,5 par ligne et -0,5 par erreur.
Nombre de traversées
1
1200
Tarif A
Tarif B
5700
3
5
12
18
3600
6000
14400
21600
7100
8500
13400
17600
2. x : nombre de traversées. (1+1pts)
a. PA = 1200x.
b. PB = 5000 + 700x.
3. fA : x  1200x
fB : x  700x + 5000.
(Cf. Graphique page suivante) 3pts : 1 par fonction + 1 pour le graphique (axes, échelle, etc.)
DEUXIÈME PARTIE
1. Pour 6 traversées : 3*0,5
a. Le prix à payer avec le tarif A est d’environ 7200F
b. Le prix à payer avec le tarif B est d’environ 9200F.
c. Le tarif le plus intéressant est donc ici le tarif A.
2. Avec 15 000 F : 3*0,5
a. On peut faire 12 traversées avec le tarif A.
b. On peut faire 14 traversées avec le tarif B.
c. Le tarif le plus intéressant est donc ici le tarif B.
3. Il plus intéressant de prendre le tarif B à partir de 10 traversées. Sur le graphique, cela correspond au
nombre de traversées pour lequel la courbe représentant le tarif B est en-dessous de celle représentant le tarif
A. (1pt)