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Correction du bilan de décembre 2009
PARTIE I : Activités numériques
Exercice 1 : (/2,5 : 2*1 + 0,5 pour l’écriture scientifique)
)(
72
107 72
8
72
99 89 81
98 911 729 27
8
11 7
2
18
7
8
11
leirréductibfractionA
A
A
A
A
)(1025,1 10
10
4
510
10
34 53
1012
105103
3
9
6
33
42
3
3
42
uescientifiqécritureB
B
B
B
Exercice 2 : (/3,5 : 1 pt : dvlpmt, 1 pt : 1ère facto, 1 pt :2ème facto, 0,5 pt : calcul (en cohérence
avec l’expression choisie par l’élève)
1. D = 9x ² - 4 + (3x -2)(x + 3).
107²12
629²34²9
xxD
xxxxD
2.
)23)(23(²2)²3(4²9  xxxx
donc :
)54)(23(
)323)(23(
)3()23()23)(23(
xxD
xxxD
xxxxD
3. Si
3x
:
77
31108
1021912
10)3(7)²3(12
D
D
D
D
Exercice 3 :(/2 pt : 1,5 + 0,5)
1. Pour calculer le PGCD des nombres 675 et 375, on utilise l’algorithme d’Euclide :
Le dernier reste non nul est 75. Donc PGCD(675 ; 375) = 75 .
2.
5
9
575 975 375
675 
On obtient une fraction irréductible puisqu’on a simplifié par le PGCD du
numérateur et du dénominateur.
Exercice 4 : (/4 : 1pt : question 1, 1 pt +1 pt : question 2, 1 pt : question 3)
1. Si on choisit le nombre 10 :
Multiplier ce nombre par 3 :
30310 
Ajouter le carré du nombre choisi : 30 + 10²
= 30 + 100 = 130
Multiplier par 2 :
2602130 
Le résultat obtenu est bien 260 .
2. Si le nombre choisi est - 5 :
Multiplier ce nombre par 3 :
1535 
Ajouter le carré du nombre choisi : -15 + 5²
= -15 + 25 = 10
Multiplier par 2 :
20210 
Le résultat obtenu est 20 .
5
7
6
5
7
3
1
5
7
3
-
0
0
3
5
7
3
0
0
3
1
0
0
3
-
5
7
0
0
3
5
7
4
0
0
3
-
0

Si le nombre choisi est
3
2
:
Multiplier ce nombre par 3 :
23
3
2
Ajouter le carré du nombre choisi :
9
22
9
4
9
18
9
4
2
3
2
22
Multiplier par 2 :
9
44
2
9
22 
Error!
.
3. Si le nombre choisi est entier, alors on obtiendra un nombre entier à chaque étape. De plus, la dernière étape
consiste à multiplier par 2, c’est pourquoi le nombre obtenu sera forcément pair. La proposition est donc
vraie. PARTIE II : Activités géométriques
Exercice 1 (/5,5pts : 1 : 1pt ; 3 : 1,5pt ; 4 : 2pts ; 5 : 1pt)
1. Dans le triangle ABC rectangle en A, on utilise
le théorème de Pythagore :
BC² = AC² + AB²
13² = AC² + 5²
169 = AC² + 25
AC² = 169 – 25
AC² = 144
Or AC>0, car c’est une longueur donc
AC = 144
AC = 12 .
3. D’une part :
2,0
12
4,2 
CA
CM
D’autre part :
2,0
13
6,2 
CB
CN
Donc
CB
CN
CA
CM 
. De plus les points N, C et B
sont alignés dans cet ordre ainsi que les points M,
C et A. Donc d’après la réciproque du théorème de
Thalès, (AB) // (MN) .
4. (MA) et (NB) se coupent en C et (AB) // (MN),
on peut donc utiliser le théorème de Thalès :
AB
MN
CB
CN
CA
CM 
513
6,2
12
4,2 MN
1
13 6,25 
MN
.
5. (MA) et (NB) se coupent en C et (AB) // (MN),
donc CMN est une réduction du triangle ABC. Les
angles étant conservés et ABC étant rectangle,
alors CMN est un triangle rectangle en M.
Exercice 2 (6,5 pts : 1 : 1pt ; 2 :1,5pts ;3a :0,5pt si compas ;3b :2pts ;4 :1,5pts)
1.
2. D’une part :
6,0
66,3  AB
AE
D’autre part :
6,0
5,4 7,2  AD
AM
Donc
AD
AM
AB
AE 
. De plus les points A, E et B
sont alignés dans cet ordre ainsi que les points A,
M et D. Donc d’après la réciproque du théorème de
Thalès, (EM) // (BD) .

3. (BN) et (DP) se coupent en C et (PN) // (BD),
donc on peut utiliser le théorème de Thalès :
BD
NP
CD
CP
CB
CN 
BD
NPCP  65,43
cmCP 4
5,4 36 
4. Dans le triangle CNP rectangle en C, on peut
utiliser le théorème de Pythagore :
PN² = CP² + CN²
PN² = 4² + 3²
PN² = 25
PN = 25
PN = 5 cm
PARTIE III - PROBLÈME 12 points
PREMIÈRE PARTIE
1. 3pts : 1,5 par ligne et -0,5 par erreur.
Nombre de traversées
1
3
5
12
18
Tarif A
1200
3600
6000
14400
21600
Tarif B
5700
7100
8500
13400
17600
2. x : nombre de traversées. (1+1pts)
a. PA = 1200x.
b. PB = 5000 + 700x.
3. fA : x 1200x
fB : x 700x + 5000.
(Cf. Graphique page suivante) 3pts : 1 par fonction + 1 pour le graphique (axes, échelle, etc.)
DEUXIÈME PARTIE
1. Pour 6 traversées : 3*0,5
a. Le prix à payer avec le tarif A est d’environ 7200F
b. Le prix à payer avec le tarif B est d’environ 9200F.
c. Le tarif le plus intéressant est donc ici le tarif A.
2. Avec 15 000 F : 3*0,5
a. On peut faire 12 traversées avec le tarif A.
b. On peut faire 14 traversées avec le tarif B.
c. Le tarif le plus intéressant est donc ici le tarif B.
3. Il plus intéressant de prendre le tarif B à partir de 10 traversées. Sur le graphique, cela correspond au
nombre de traversées pour lequel la courbe représentant le tarif B est en-dessous de celle représentant le tarif
A. (1pt)