Modélisation tridimensionnelle du procédé de mise en forme électromagnétique V. Robin* — E. Feulvarch* — J.-M. Bergheau ** * ESI France Le Récamier 70 rue Robert 69458 Lyon Cedex 06, France [email protected] [email protected] ** LTDS UMR 5513 CNRS/ECL/ENISE 58 rue Jean Parot 42023 Saint Etienne Cedex 02, France [email protected] RÉSUMÉ. Le procédé de formage électromagnétique, electromagnetic forming process ou EMF en anglais, consiste à déformer les métaux en appliquant une pression générée par un champ magnétique variable d’une grande intensité. L’objectif des travaux de recherche liés à ce procédé est d’aboutir à une meilleure compréhension du mécanisme de déformation afin de développer des équipements et des méthodes efficaces pour sa mise en œuvre industrielle. Une manière de parvenir à cet objectif est l’utilisation de la simulation numérique au travers d’une modélisation du procédé basée sur la méthode des éléments finis. Ces travaux de développement ont été partiellement menés dans le cadre d’un projet européen appelé EMF (G3RD-CT-2002-00798). ABSTRACT. In the electromagnetic forming process (EMF also known as magnetic pulse forming), the metal is deformed by applying a pressure generated by an intense, transient magnetic field. A great deal of research and investigation efforts are needed for gaining better understanding on the deformation mechanism in order to develop suitable forming strategy and equipment. One way to reach this target is to employ suitable FE software to model the process. This investigation was partly conducted in the framework of a European project called EMF (G3RD-CT-2002-00798). MOTS-CLÉS : modélisation numérique, formage électromagnétique, éléments finis. KEYWORDS: numerical modelling, EMF, finite elements. Nom de la revue. Volume X – n° X/2001, pages 1 à X 2 Nom de la revue. Volume X – n° X/2001 1. Introduction Le procédé de formage électromagnétique, electromagnetic forming process ou EMF en anglais, consiste à déformer les métaux en appliquant une pression générée par un champ magnétique variable d’une grande intensité. L’objectif des travaux de recherche liés à ce procédé est d’aboutir à une meilleure compréhension du mécanisme de déformation afin de développer des équipements et des méthodes efficaces pour sa mise en œuvre industrielle (Psyk et al., 2005). Une manière de parvenir à cet objectif est l’utilisation de la simulation numérique au travers d’une modélisation du procédé basée sur la méthode des éléments finis. La première partie de l’article présente les phénomènes physiques majeurs gouvernant le procédé ainsi que leurs interactions. Les niveaux de couplage requis pour simuler le procédé et les modèles numériques à mettre en œuvre sont également détaillés dans cette première partie. Electromagnetism Laplace forces Temperature dependant properties Geometry updating Joule effect Temperature dependant properties Mechanics Heat transfer Plastic dissipation Figure 1. Interaction entre les phénomènes physiques impliqués au cours de la mise en forme Dans la seconde partie, le logiciel ainsi développé est utilisé pour valider l’approche proposée sur des cas simples: tubes en compression, plaques en aluminium. La qualité des résultats du modèle numérique met en évidence l’intérêt de la simulation pour la mise au point virtuelle du procédé. 2. Modélisation des phénomènes électromagnétiques par la méthode des éléments finis. Les équations de Maxwell Les phénomènes électromagnétiques sont gouvernés par les équations de Maxwell. Pour des courants sinusoïdaux dont la fréquence est inférieure à un niveau Titre courant de l’article 3 de l’ordre de 1012 Hz, les courants de déplacements peuvent être négligés et les équations à résoudre se réduisent à : rotH J B rotE t divB 0 [1] [2] [3] où H représente le champ magnétique, B l’induction magnétique ou le vecteur densité de flux magnétique, E le champ électrique et J la densité de courant. La loi de comportement du matériau relie ces quantités ensemble par la loi de magnétisation [4] et la loi d’Ohm [5] : B H , H J E [4] [5] où est la perméabilité magnétique qui dépend fortement de la température (point de Curie) et de H . est la conductivité électrique qui dépend également de la température. Afin de résoudre ce système d’équation, le potentiel magnétique vecteur noté A est introduit à partir de l’équation [3] : [6] B rotA Pour assurer l’unicité de A, une condition de jauge doit être ajoutée (jauge de Coulomb) [7] : divA 0 [7] L’équation [2] associée à l’équation [6] conduit à l’équation [8] : E A gradV t [8] Dans cette dernière équation [8], E n’est pas définie de manière unique car la champ électrique dépend du potentiel électrique V qui conduit à introduire la conservation de la densité de courant [9] à partir de l’équation [1] : divJ 0 [9] Problème aux dérives partielles Finalement le système d’équation à résoudre se ramène à : A gradV rot rotA 0 t [10] 4 Nom de la revue. Volume X – n° X/2001 A div gradV 0 t divA 0 [11] [12] où 1 est la reluctance magnétique. Les différentes conditions aux limites possibles pour le domaine d’étude de frontière A H V j sont: - Le potentiel magnétique vecteur qui peut dépendre du temps At Ad t on A - [13] Le potentiel électrique imposé V t V d t on V - [14] Le champ magnétique tangentiel imposé (avec n, normale extérieure unitaire à la surface) H t n H d t on H - [15] Densité de courant surfacique imposé A J n gradV n j d on j t [16] Formulation éléments finis Le problème variationnel consiste à trouver A et V tels que : A * , A * 0 sur A et V * , V * 0 sur V A A* . . gradV dv rotA* . .rotA dv divA* .divA dv A* .H d ds 0 [17] H t A gradV * . . gradV dv V * . j d ds 0 j t [18] Cette formulation conduit au système d’équations différentielles du premier ordre suivant : A A,V R A A,V C AA A , V R A , V V V CVA 0 0 A . 0 V 0 [19] Les équations [19] sont résolues pas à pas en utilisant une intégration temporelle selon l’algorithme implicite d’Euler. A chaque pas te temps la solution est obtenue à l’aide d’une résolution itérative par la méthode de Newton-Raphson (Conraux et al., 2006). Titre courant de l’article 5 3. Exemples de validation Le modèle mécanique Les forces de Laplace sont calculées à partir de l’induction et des densités de courant issues du calcul électromagnétique dans SYSMAGNA®. Ces forces sont ensuite appliquées comme chargement à la modélisation mécanique menée dans PAM-STAMP®. Un couplage magnéto-mécanique entre les deux codes de calcul est réalisé selon le diagramme de la figure 1. Le comportement mécanique de la pièce emboutie prend en compte les fortes vitesses de déformation au travers du modèle de comportement viscoplastique de Johnson-Cook (Johnson et al., 1983) : A B eqp 1 C ln eq* 1 T *m n [20] Essais virtuels Les expériences ont été conduites à l’Université de Dortmund, Department of Forming Technology, en Allemagne. La figure 2 concerne le cas de tubes sollicités en compression. La figure 3 présente le cas de plaques avec matrice. 1 0.9 Compression Diameter mm 0.8 0.7 0.6 EXPERIMENT_1 0.5 EXPERIMENT_2 0.4 SYSMAGNA + PAM-STAMP 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 Time s 80 100 Figure 2. Comparaison mesures/calcul de la réduction du diamètre au cours du procédé. 120 6 Nom de la revue. Volume X – n° X/2001 drawing ring workpiece tool coil Figure 3. Déformée de la plaque à l’issue de la mise en forme. 4. Conclusion L’efficacité de l’analyse numérique tridimensionnelle du formage électromagnétique pour la mise au point du procédé a été démontrée au cours de ce projet. En effet, les mesures et les résultats de calcul offrent une excellente corrélation pour des temps de calcul tout à fait raisonnable (moins d’une heure sur un Pentium 4 à 2GHz). Il est donc envisageable d’utiliser cet outil afin d’optimiser les paramètres procédés (énergie, temps d‘application) et de la géométrie des pièces mais aussi des outils (forme des inducteurs, nombre de spires). L’étude s’est également portée sur des pièces non axi-symétriques avec la même qualité de résultats (figure 4). 16 EXPERIENCE X+ 14 SYSMAGNA+PAM-STAMP EXPERIENCE X- Displacement Z mm 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Distance from the center of the sheet mm Figure 4. Cas d’une forme industrielle (matrice, inducteurs, réduction de diamètre). 5. Bibliographie Conraux Ph., Pignol M., Robin V., Bergheau J.M., « 3D finite element modelling of electromagnetic forming processes », Proc. of the 2nd International Conference on High Speed Forming, Dortmund, Germany, 2006. Johnson G.R., Cook, W.H., « Transient simulation of electromagnetic forming of aluminium tubes », Proc. of the 7th International Symposium on Balistic, 1983, p.541. PAM-STAMP®, PAM-STAMP user’s manual, ESI Group, www.esi-group.com, 2005. Psyk V, Beerwald C, Kleiner M, Beerwald M, Henselek A, « Use of electromagnetic forming in process compination for the production of automotive part », Proc. of the 2nd European Pulser Power Symposium, Hamburg, 2005. SYSMAGNA®, SYSMAGNA user’s manual, ESI Group, www.esi-group.com, 2005.