Topologie et robotique

Topologie et robotique
Younes Derfou… Enseignant au CRMEF OUJDA
ii
Table des matières
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espace de con…guration, espace de travail . . . . . .
0.2.1 Espace de con…guration ( Con…guration space
0.2.2 Espace de travail ( Workspace ) . . . . . . . .
Plani…cation de mouvement . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1 Topologie compacte ouverte . . . . . . . . . .
Complexité topologique d’un espace de con…guration
Lien avec type d’homotopie et LS catégories . . . . .
0.5.1 Lien avec type d’homotopie . . . . . . . . . .
0.5.2 Lien avec les LS catégories . . . . . . . . . .
Complexité topologique Produit . . . . . . . . . . . .
Plani…cation de mouvement sur la sphère . . . . . .
iii
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ou
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C-space)
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1
1
1
2
3
3
4
4
4
5
6
7
iv
TABLE DES MATIÈRES
0.1. INTRODUCTION
0.1
1
Introduction
Dans tout ce qui suit X designe un espace connexe par arc( en général un
espace euclidien ou une partie d’un espace euclidien, en pratique c’est l’ensemble
des états qu’un système mécanique peut atteindre = espace de con…guration en
terme de robotique )
Le problème de plani…cation de mouvement est constitué de :
1
Une Entrée ( Input ), etant donnée une paire de position : Initiale
= A ! f inale = B ( A et B deux points de l’espace où le robot se deplace )
2 Une Sortie ( Output ) c.a.d trouver un chemin continue joignant A
à B; et par suite une application s : X X
! P X (A; B) ! SA;B
véri…ant
s = IdX X : (où : P X ! X X par
! ( (0); (1) et
P X = fchemins continues
: [0; 1] ! X g )Le problème consiste à trouver
une telle section s continue.
Récemment en 2003 Michael Farber a développé une approche topologique
pour la résolution du problème faisant appel à un invariant homotopique T C(X)
appelé : compléxité topologique ( ou Topological complexity )
0.2
0.2.1
Espace de con…guration, espace de travail
Espace de con…guration ( Con…guration space ou Cspace)
L’espace de con…guration d’un système mécanique ( con…guration space
en anglais ou C-Space ) est l’espace formé de tout les états possible de ce système
Exemple 1 Espace de con…guration pour une voiture assimilable à un point
On considère une voiture assimilable à un point qui se deplace sur un plan,
2
TABLE DES MATIÈRES
caractérisée par sa position et sa direction :
L’espace de con…guration ici est X = R2
S1
Exemple 2 Espace de con…guration du bra d’un robot
X = S1
0.2.2
:::
S1
Espace de travail ( Workspace )
On appelle obstacle un ensemble fermé F
X ( là où le robot ne doit pas
passer). En supprimant du C Space tout les obstacle on obtient ce qu’on
appelle l’espace de travail ou Workspace Xn(F1 [ ::: [ Fk ) (où F1 ; :::; Fk
sont les obstacles qui existe dans l’espace de con…guration X)
0.3. PLANIFICATION DE MOUVEMENT
0.3
0.3.1
3
Plani…cation de mouvement
Topologie compacte ouverte
Soit X et Y deux espaces toplogiques, pour toute partie compacte K de
X et toute partie ouverte U de Y notons V (K; U ) = ff 2 C(X; Y )=f (K)
U g. L’ensemble des réunions qq d’intersections …nies de V (K; U ) forme une
topologie sur C(X; Y ) appelé topologie compacte ouverte
Dans toute lasuite P X sera muni de la topologie compacte ouverte
Dé…nition 3 Un algorithme de plani…cation de mouvement est une application
continue s : X X ! P X veri…ant :
s = IdX X
Theorème 4 Un algorithme de plani…cation de mouvement s : X X
existe si et seulement si X est contractil
! PX
Preuve. =)) supposons qu’il existe une section continue s : X X ! P X
veri…ant :
s = IdX X et …xons un point A0 2 X considerons ensuite l’homotopie : H(A; t) = s(A0 ; A)(t) on a évidemment H(A; 0) = A0 et H(A; 1) = A
ce qui montre que H est une contraction de X dans fA0 g
(=) Supposons qu’il existe A0 2 X et une contraction H de X dans
fA0 g considerons la section s : X X ! P X de…nie par :
s(A; B)(t) = H(A; 1 2t) pour 0 t < 21
on a bien
s(A; B) = (A; B)
s(A; B)(t) = H(B; 2t 1) pour 12 < t 1
cqf d
Remarque 5 Si X est non contractil alors tout algorithme de plani…cation
de mouvement est discontinue
4
0.4
TABLE DES MATIÈRES
Complexité topologique d’un espace de con…guration
Dé…nition 6 La complexité topologique de X est le plus petit entier k pour
lequel Il existe un recouvrement Ouvert fUi gki=1 de X X tel que :
Pour tout i 2 f1; :::; kg il existe une locale section si : Ui ! P X ( ie
application continue si : si : Ui ! P X telle que
si (x) = x 8x 2 Ui )
On écrit alors T C(X) = k ( S’il n’existe aucun entier k veri…ant les conditions
ci-dessus on pose T C(X) = 1)
Proposition 7 (T C(X) = 1) () X est contractil
Exemple 8 Si X = fx0 g alors T C(X) = 1
Exemple 9 Si C est une partie convexe d’un evn alors T C(C) = 1; en particulier pour toute boule B d’un evn E on a T C(B) = 1
Exemple 10 T C(S 1 ) = 2
Preuve. S 1 est non contractil et donc d’après ce qui précède T C(S 1 ) > 1:
Montrons qu’alors T C(S 1 ) 2: Considérons U1 = f(A; B) 2 S 1 S 1 =A 6= Bg
et U2 = f(A; B) 2 S 1 S 1 =A 6= Bg; évidemment U1 et U2 constituent un
recouvrement ouvert de S 1 S 1 considérons ensuite s1 : U1 ! P S 1 qui
associe chaque bipoint (A; B) 2 U1 l’unique chemin le plus court permettant
le deplacement de A à B à vitesse constante.
s1 veri…e bien
s1 = IdU1 et ne peut être prolonger par continuité à S 1 S 1
1
puisque S n’est pa contractil. En orientant le cercle S 1 considerons maintenant
l’application s2 : U2 ! P S 1 qui à chaque bipoint (A; B) 2 U2 fait associer
l’unique chemin permettant le deplacement de A à B dans le sens positif à
vitesse constante. s2 ne peut être prolongé par continuité à S 1 S 1 puisque
S 1 n’est pa contractil.
0.5
0.5.1
Lien avec type d’homotopie et LS catégories
Lien avec type d’homotopie
Theorème 11 Le nombre T C(X) dépend uniquement du type d’homotopie de
X
0.5. LIEN AVEC TYPE D’HOMOTOPIE ET LS CATÉGORIES
5
Preuve. =)) Supposons qu’il existe f : X ! Y et g : Y ! X deux applications continues telles que f g soit homotope à IdY : Soit donc ht : Y ! Y
h0 = IdY
une homotopie telle que :
et soit k = T C(X); il existe donc
h1 = f g
U1 ; :::Uk des ouverts de X X et des sections continues si : Ui ! P X telles
que :
si = IdUi et [Ui = X X
1 i k
Pour chaque i k = k on pose Vi = (g g) 1 (Ui ); V1 ; :::; Vk constitut évidemment un recouvement ouvert de Y Y 8
on dé…nit ensuite pour chaque i k la sech3t (A) pour 0 t 31
<
f [si (g(A); g(B))(3t 1)] pour 31 t
tion i : Vi ! P Y par : i (A; B)(t)
:
h3(1 t) (B) pour 32 t 1
on a evidemment i (A; B)(0) = A et i (A; B)(1) = B et pr suite T C(Y )
k = T C(X) et de la même manière on montre que T C(Y ) T C(X)
Remarque 12 Si X et Y sont homéomorphes alors T C(X) = T C(Y ): La
réciproque est inexacte
0.5.2
Lien avec les LS catégories
Dé…nition 13 La catégorie LS d’un espace topologique X est le plus petit
entier k pour lequel il existe un recouvrement ouvert (Ui )1 i k de X et tel
que pour chaque i l’injection canonique i : Ui ,! X est homotopiquement
nulle
Proposition 14 Si X et Y sont deux espaces topologique tels que X domine Y
( ie il existent f : X ! Y et g : Y ! X deux applications continues telle
que f g ' IdY ) alors cat(X) cat(Y ) en particulier si X et Y sont homotopiquement équivalents alors cat(X) = cat(Y )
Proposition 15 Si A et B sont deux ouverts d’un espace topologique X
tels que : X = A [ B alors cat(X) = cat(A [ B) cat(A) + cat(B)
Proposition 16 Si X est connexe par arc et paracompact alors cat(X)
dim(X) + 1
Proposition 17 Si X et Y sont connexes par arc et paracompacts alors
cat(X Y ) < cat(X) + cat(Y )
Voir l’article [2] pour la démonstration de ces résultats
Remarque 18 T C(X)
cat(X
X)
Theorème 19 Si X est connexe par arc et paracompact alors :
cat(X)
T C(X)
2:cat(X)
1
2
3
6
TABLE DES MATIÈRES
Preuve. Soit k = T C(X) il existe donc U1 ; :::Uk des ouverts de X X et des
sections continues si : Ui ! P X telles que :
si = IdUi et [Ui = X X
1 i k
les Ui sont non vide pour chaque i k: Consodérons A0 2 X un point …xé et
soit : X ! X X de…nie par : M ! (A0 ; M ) et soit Vi = 1 (Ui ) les Vi
sont évidemment des ouverts non vide puisque
est continue, de plus V1 ; :::Vk
constitut un recouvrement ouvert de X: Il reste maintenant à prouver que les
injections canoniques : i : Vi ! X , M ! M sont homotopiquement
nulles. On considère pour cela les homotopies hi;t : Vi ! X dé…nie par
hi;t (M ) = si (A0 ; M )(t) on a bien hi;0 (M ) = A0 et hi;1 (M ) = M: hi;t est
une contraction entre i : Vi ! X , M ! M et l’application constante
M ! A0 donc cat(X)
k = T C(X): D’autre part d’après la remarque
précedente on a : T C(X) cat(X X) < 2cat(X) cqf d
Corollaire 20 Si X est paracompact et connexe par
2 dim X + 1
arc alors
T C(X)
Preuve. Il su¢ t d’utiliser la proposition 16 et le théorème 19
0.6
Complexité topologique Produit
Soient X et Y deux espaces metriques connexes par arc tels que T C(X) = n
et T C(Y ) = m et soient (Ui )ni=1 un recouvrement ouvert de X X et
si : Ui ! P X les sections locales associées [resp (Vj )m
j=1 un recouvrement
ouvert de Y
Y et j : Vj ! Y
Y les sections locales associées ] et
fi : X X ! [0; 1] une partition de l’unité subordonnée au recouvrement
(Ui )ni=1 [resp
gj : Y
Y ! [0; 1] une partition de l’unité subordonnée
au recouvrement (Vj )m
]:
Pour tout sous ensembles S
f1; :::; ng et T
j=1
f1; :::; mg on pose : W (S; T ) = f((A; B); (C; D)) 2 (X Y ) (X Y )=8(i; j) 2
S T et 8(i0 ; j 0 ) 2
= S T fi (A; C):gj (B; D) > fi0 (A; C)):gj 0 (B; D)g et
!(S; T ) = f((A; C); (B; D)) = ((A; B); (C; D)) 2 W (S; T )g
Lemme 21 Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus les ensembles W (S; T )
constitut un recouvrement ouvert de (X Y ) (X Y ) deplus W (S; T ) \
W (S 0 ; T 0 ) = ? si S T et S 0 T 0 ne sont pas comparables au sens de
l’inclusion ( ie ni S T S 0 T 0 ni S T S 0 T 0 )
Preuve. Montrons que les ensembles W (S; T ) constitut un recouvrement ouvert de (X Y ) (X Y ): Soit alors ((A; B); (C; D)) 2 (X Y ) (X Y ): Soit
S = fi=fi (A; C) = sup fk (A; C)g et soit T = fj=gj (B; D) = sup gk (B; D)g on
1 k n
1 k m
a bien ((A; B); (C; D)) 2 W (S; T ) et par suite les ensembles W (S; T ) constitut
un recouvrement ouvert de (X Y ) (X Y ):
Supposons maintenant que S T " S 0 T 0 et que S T # S 0 T 0 donc 9(i; j) 2
S T nS 0 T 0 et 9( ; ) 2 S 0 T 0 nS T si W (S; T )\W (S 0 ; T 0 ) etait non vide il
existerai ((A; B); (C; D)) 2 (X Y ) (X Y ) de sorte que fi (A; C):gj (B; D) >
f (A; C)):g (B; D) et f (A; C)):g (B; D) > fi (A; C):gj (B; D) ce qui est absurde donc W (S; T ) \ W (S 0 ; T 0 ) = ?:
0.7. PLANIFICATION DE MOUVEMENT SUR LA SPHÈRE
Lemme 22 Si (i; j) 2 S
T alors !(S; T )
Ui
7
Vj
Preuve. supposons que (i; j) 2 S T et soit alors (A; C; B; D) 2 !(S; T );
on devrait avoir (A; C) 2 Ui et (B; D) 2 Vj si par exemple (A; C) 2
= Ui alors
fi (A; C) = 0 puisque Supp(fi ) Ui et par suite 0 > fi0 (A; C)):gj 0 (B; D) pour
tout i0 ; j 0 2
= S T ce qui contredit le fait que fi0 et gj 0 sont à valeurs dans
[0; 1]
Theorème 23 Si X et Y sont deux espaces métriques connexes par arc alors :
T C(X
Y)
T C(X) + T C(Y )
1
Preuve. pour tout k n + m considérons Wk la réunion de tous les W (S; T )
où jSj + jT j = k (Wk )2 k n+m constitut un recouvrement ouvert de (X Y )
(X Y ) et en utilisant le lemmesprécédent on peut dé…nir en fonction de si
et j des sections continues k : Wk ! P (X Y ); [1]
0.7
Plani…cation de mouvement sur la sphère
La sphère n’est pas contractile et par suite T C(X) > 1 Il est donc tout à fait
lgitime de se demander si on peut déterminer la valeur exacte de la complexité
topologique de la sphère à n dimension ?
Theorème 24 La complexité topologique de la sphère à n dimension S n est
2 si n est impair
donnée par : T C(S n ) =
3 si n est pair
Preuve. Voir [1]
Bibliographie
.
1: Michael Farber, Topological Complexity of Motion Planning, Discrete
Comput Geom 29 :211–221 (2003), Springer Verlag New York Inc
2: I. M. JAMES, On category, in the sense of Lusternik-Schnirelman, , Topology. Vol. 17. pp. 331-343 Press Ltd.. 1978.
3: Michael Farber, Invitation to topological robotics, Zurich Lecturs in Advenced Mathematics, European Mathematical Society.
4: MICHAEL FARBER AND MARK GRANT, TOPOLOGICAL COMPLEXITY OF CONFIGURATION SPACES, arXiv :0806.4111V1 25 Jun 2008