Topologie et robotique

Topologie et robotique
Younes Derfou… Enseignant au CRMEF OUJDA

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Table des matières
0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Espace de con…guration, espace de travail . . . . . . . . . . . . . 1
0.2.1 Espace de con…guration ( Con…guration space ou C-space) 1
0.2.2 Espace de travail ( Workspace ) . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Plani…cation de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3.1 Topologie compacte ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Complexité topologique d’un espace de con…guration . . . . . . . 4
0.5 Lien avec type d’homotopie et LS catégories . . . . . . . . . . . . 4
0.5.1 Lien avec type d’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5.2 Lien avec les LS catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.6 Complexité topologique Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.7 Plani…cation de mouvement sur la sphère . . . . . . . . . . . . . 7
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iv TABLE DES MATIÈRES

0.1. INTRODUCTION 1
0.1 Introduction
Dans tout ce qui suit Xdesigne un espace connexe par arc( en général un
espace euclidien ou une partie d’un espace euclidien, en pratique c’est l’ensemble
des états qu’un système mécanique peut atteindre = espace de con…guration en
terme de robotique )
Le problème de plani…cation de mouvement est constitué de :
1Une Entrée ( Input ), etant donnée une paire de position : Initiale
=A! finale =B(Aet Bdeux points de l’espace où le robot se deplace )
2Une Sortie ( Output ) c.a.d trouver un chemin continue joignant A
àB; et par suite une application s:XX! P X (A; B)! SA;B
véri…ant s=IdXX:(où :P X ! XXpar ! ((0); (1) et
P X =fchemins continues : [0;1] ! Xg)Le problème consiste à trouver
une telle section s continue.
Récemment en 2003 Michael Farber a développé une approche topologique
pour la résolution du problème faisant appel à un invariant homotopique T C(X)
appelé : compléxité topologique ( ou Topological complexity )
0.2 Espace de con…guration, espace de travail
0.2.1 Espace de con…guration ( Con…guration space ou C-
space)
L’espace de con…guration d’un système mécanique ( con…guration space
en anglais ou C-Space ) est l’espace formé de tout les états possible de ce sys-
tème
Exemple 1 Espace de con…guration pour une voiture assimilable à un point
On considère une voiture assimilable à un point qui se deplace sur un plan,