ISBN 82-553-0338-3 `1978

ISBN 82-553-0338-3
Mathematics
No '1 - March 8
'1978
PROFONDEUR D'ANNEAUX D'INVARIANTS
EN CARACTERISTIQUE p
de
Geir Ellingsrud et Tor Skjelbred
Oslo
Oslo
PREPRINT SERIES - Matematisk institutt, Universitetet i Oslo
Introductiono
Soit
vectoriel
G ~ ~pn~ un groupe d 1 automorphismas d 1 un espace
V de dimension finie sur un corps algebriquement clos k
de caracteristique
phismes de la
V/G
p>0
o
G opere en tant que groupe d 1 automor-
k-variete affine
la variete quotient.
invariants par
G •
dimkvG ~ dimkV - 2
Macaulay lorsque
Soit
La variete
V correspondant a
V et on note
vG c V le sous-espace des vecteurs
V/G
est singuliere quand
et no us montrons qu 1 ell e n 1 est pas de CohendimkVG < dimkV- 2 o En fait, si
point ferme provenant'd'un element de
x E V/G
VG, on ala formule
Dans certains cas particuliers, on sait deja que
pas de Cohen-Macaulay.
quand
V est le
est un
Bertin [1] l'a demontre pour
V/G
G=
n 1 est
~9~
kG-module indecomposable de dimension 4 sur
k ;
Fossum et Griffith, dans [2], le demontrent pour ·G = ~pn~ et
dimkV 2:, pn- 1 + 3 , ou
Soit
Vv
le
V est egalement un
kG-module
kG-module indecomposableo
Homk(V ,k), alors
V/G =Spec(S~(Vv)G) ~
et la profondeur de 1•anneau gradue d 1 invariants est
min(2+ dimkVG,dimkV)
o
anneau gradue factoriel
On utilise ce resultat pour trouver un
A avec un groupe d 1 automorphismes
~ Zljlp~ tel que prof AG > prof A •
et, pour
on a
En fait on a
p.?:. 3 , prof A= 4 , prof AG = 6
prof A= 5 et prof AG = 6o)
G = 7i(p7.l et · V · est un
o
dim A= dim .AG = 6
(En caracteristique 2
On montre egalement que lorsque
kG-module de type fini tel que
dimkVG < dimkV- 2 , l'anneau d 1 invariants
Symk(VV)G
satisfait
- 2 a la condition
s2
de Serre, mais. pas aux conditions
g~n~rale,
D'tme facyon plus
kG-module de type fini.
Les
G
G un groupe fini et
V
un
Alors on a
d~monstrations
cohomologie de
soit
Sr , r > 2 ..
utilisent les suites spectrales
a valeurs dans
a support dans l'ideal irrelevant
de
la
et ~a cohomologie locale
Symk(Vv)
n
reli&~t
V G
Symk(V )
•
Le point
essentiel est d'estimer la profondeur des modules de cohomologie
de
a valeur dans
G
cela l'action par translation du groupe additif
Cette action .munit
de
les modules
r-faisceaux coherents sur
les orbites de
r
dans
Hi(G,S~(Vv))
module
de
vG
sur
V/G , lorsque
i :=., 0 •
Comme toutes
·
et
on
G
v
prof H~G,Symk(V ))x_:: dimkV ..
que
~pZ6
G =
V ..
Hi(G,Symk(Vv)) d'une structure
x E V/G
p , si
r
sont de dimension egale a'~dimkVG
V/G
montre pour tout point ferme
En caract~ristigue
On utilise pour
en degre positif.
i > 0 , le support du
est une seule orbite de
r ; c'est done un
module de Cohen-Macaulay.
~tudie
Au paragraphe 2 on
noeth~riens
locaux
Soit
A
de Cohen-Macaulay, de
du sch~ma des points fixes dans
sur les anneaux
caract~ristique
Spec A •
'1
'77./.
::z.
< dim (A/pA) + 2 •
'1
SuppA74'p::Z H (Z4/p.?l, A)
composante irr~ductible
p_ rof
Fi
'll/'ll
1l:.
P
=
SuppA (A/IF) , on a , pour toute
de
Spec(A/IF)
.
< dim P, + 2 ..
-
p >
Pour tout id~al premier
p E AssA71/p'll H (2'l/p'll ,A) , on a
prof A"""P
Comme
?'4/p~
o.
[cra-a I a E 2'l/p~) , c' est-a-dire 1' id~al
IF 1' ideal engendr{} par
associ~
1 'action de
~
- 3 § 1
Notations. Lemmes technigues.
Dans tout ce qui suit, k
Soit
de
a
G •
est un corps de caracteristique
G un groupe cyclique d'ordre
alg~bre
L'
k[cr]/(cr-1)P •
o
definis par
Soit
=
o
Soient
a- 1
M un
valeurs dans
de groupe de
M ,
G sur
p , et
p >0 •
a un generateur
k , kG , est isomorphe
Tr les deux elements de kG
p-1 ai • Ils verifient Tr -- .;:p-1
Tr =.I:
u
et
et
o
J.=O
kG-module.
Hi(G,M),
G a
Les groupes de cohomologie de
i > 0 , peuvent etre calcules
a partir
du complexe
....
A une
Soit
k-alg€bre.
k-algebr~o
tant que
On
appelle
M et d'une action de
G sur
pour tout
et
g E G, a E A
Si
AG-module la donnee d'un
M , telle que
k-schema
X
IF
g(am) = g(a)g(m)
o
A induit une action de
Hi(G,l"')
rr : X ... X/G
V(IF)
le morphism.e canonique.
A engendre par
de
SpecA par
s'il n'y a pas d'equivoque possible.,
schema de
Spec A sur lequel
G •
SpecAG qu'il definit sera note
Comme .ensemble.,
F
C'est le plus grand sous-
son image est done un ideal de
o
On designera le
F(G,SpecA), ou par
G-homomorphisme . Tr : A ... AG est un
ferme de
oA •
G opere trivialement, autrement dit
le sous-schema des points fixes de
Le
G sur le
X/G = SpecAG
On a
l'ideal de
sous-schema ferme
F'
A-module
mE 1"1 •
G sur
= SpecA
appellera
Soit
merit
en
A
AG-modules.
L'action de
On
G opere sur
est un AG-module, les groupes de cohomologie
1"1
sont des
Supposons que
AG-homomorphisme,
Le
sous-schema
F' (G,SpecA), ou simple-
c'est l'image de
F(G,SpecA) par
rr •
- 4 Nous allons
d~montrer
.§gg_ M
Lemme 1.1:
~
quelques lemmes techniques.
AG-module,
a EA ,
~
mE M ..
o(am) == o(a)o(m) + o(a)m = ao(m) + o(a)o(m)
i)
ii)
aTr(m)- Tr(a):m E oM
iii)
Supposons que
ob =a ..
Demonstration:
oa = 0
~t
qu' il existe
bE A
tel g,ue
iEN, oi(bi) = i! ai.
Alors, pour tout
i).
On verifie facilement
Pour demontrer ii), on ecrit
:p-1 .
p-1 .
aTr(m)- Tr(a)m = a I: a~(m)- 2: o-~(a)m
i=O
i:::;Q
p-1
=
.
.
2: (o~-1)(a-~(a)m) E oM •
i=O
On demontre iii) par recurrence sur
1 I hypothese de iii).
suivante,~:A®kA
... A
Supposons que l'on a
Pour tout
i ' le
cas
i = 1
etant
i E N ' il r~sul te de i) 1 I egali te
etant le morphisme de multiplication.
oi(bi) = i!ai ..
Il vient:
oi+1 (bi+ 1 ) = ~-t(o®id+o®o)i+ 1 (b®bi)
==
RemarSlue:
modules.
(i+1 )aoi(bi) + cri+1 (b) oi+1 (bi)
i > 0 , les
Pour
Pour
pair, on a meme
i
AG-modules
=
(i+1)! ai+1 ..
Hi(G,A)
sont des
impair c'est une consequence de ii)o
Hi ( G, A)
= A G/Im Tr = AG/IF,
..
Pour
i
- 5 ~emme 1~2.
Supposons que
·-
#
.....,qz-
-
~oit red~1~
et que l'application
Alors 1 'operat~£_n de
Tr :A-+ A soit null e.
Demonstration:
A
G sur
est triviale.
A
Si l'operation n'etait pas triviale, il existerait
_...,.
a E AG n. oA •
un element non nul
Choisissons
b E A tel que
ob = ao
D'apres le lemm.e 1.1 on a
0
Comme
= Tr bP- 1 =
1. 3:
Si
:c
F = F(G,Spec A)
Demonstration:
montrer que
desig:p.e le mo::ryhisme canonique,
F
~
On a evidemment
rr- 1 (F') ,S
F •
Soit
G
_aont alors tous distincts . .
&~eau
done un
= F'
F' = F' (G,Spec A)
ne soit pas invariant par
est un
aP- 1 ..
= O.
a
Supp H1 (G,A) = Supp H2 (G,A)
ii)
= -
(p-1)! a:P- 1
Spec A-+ Spec AG
rr :
n- 1 (F' )_
i)
On a
=
A est reduit on en deduit
~emme
.2!:!,
aP- 1 (bP- 1 )
IF,A c IF
p E rr- 1 (F')
et supposons que
.. · L es 1. d'eaux
pi
= AG n
.P ..
Boit
q
semi-local d'ideaux maximaux
G-isomorphisme
Il suffit done de
o
A /
q
n p.1 A q
== cr i p ,
.
~
:~;:
L•·anneau
p. A , i
-~
q
0 , ......
= 0, .... , p-1 •
ti-1
L'element
,p-1
Ag
~ ~ n0 A /p. A ,
l=
q 1 q
sur le produit en permutant les facteurs ..
p
G
operant
(1,0, .... ,0)
est alors de trace non nulle, ce qui contredit l'hypothese
p-1
Tr A c q c 1=
. n0 p. •
l
IF'
= TrA c: p ,
On en conclut que
1' application
le lemme 1a2 l'action de
dire
IF c p •
Tr
G sur
sur
A/p
p
est invariant.
A/p
est nullea
Comm.e
D'apres
est alors triviale, c'est-a-
- 6 Quant
Lemme 1.4:
que
a ii)'
Soit
C I 8St
M un
AG-module de t;ype fini sur
M soit engendr~ par
Supp Hi(G,M)
Demonstration:
CaS :particulier dU lemme SuiVant:
liD
:t-1G ..
= Supp
A •
Supposons
Alors
-
I:1 n F'
pour
i > 0 •
D'apres le lemme 1 .. 1, ii), on a
Supp Hi(G,M) S: Supp M()Fi •
Soit alors
i;: 0 , on a une application canonique
p E Supp MnF' •
MG -> Hi(G,M)
Pour
pouvant
s'inserer dans le diagramme commutatif suivant
Co:mme
MG
engendre
I1 , l'application .a.
G operant trivialement sur
11P/pMP , d'ou l'isomorphisme
A /p.A
p
~ •
p
est surjective.
, il opere trivialement sur
Hi(G,l1)p
=0
entrainerait
M~ c p I1p , ce qui est impossible (lemme de Nakayama)
o
- 7 §
2.
Soit
H*n (G ' ")
Le foncteur
A
un anneau commutatif unitaire ou agit un groupe fini
par automorphismes de
soit
0
n = m nAG
sa
noetherien, et que
A •
Soit
trace dans
A soit un
m un ideal
AG.
petit entier
i
tel que
G-invariant, et
Supposons que
AG, c'est-a-dire
~(AG) I 0
(Er)
est
ci~deesollS ..
spectrale de
l'entier
que nous allons definir
~(G,A)
theses, d'evaluer
gorie des
foncteur
AGG-modules, soient
sur l'anneau
H*(G,AG)
o
o
H~(G,M)
La seconde suite
H*(A)
n
et done
H;(G,M)
profnA.
Dans la cate-
les foncteurs derives du
est alors un module gradue
De [3,th .. 2.4.1] on d.eduit l'existence
de deux suites spectrales d'aboutissement
la premiere suite spectrale, ou
H~(G,M)
•
E~j = H~(Hj(G,M.)) , et
seconde suite spectrale ou ,E~j. = Hi(G,Hg(M)) ..
suites spectrales sont des
le plus
Cela nous permet sous certains hypo-
" quand on connait
profnAu
H~(MG) = (H~(M))G
Notre but
dont l'aboutissement
fait intervenir le module
profmA = profnA •
soit
Ces modules apparaissent
comme elements d'une suite spectrale
H;(G,A)
AG
AG-module de type fini..
est de calculer la n-profondeur de
G
H*(G,AG)-modules.
Pour
(Er)
(L )
r
r> 2
-
designe
la
ces
- 8 _L_e_mm--.e_.;;;2...._1_:
Po sons
= profnH1 (G,M)
f
i .::_ 1 ..
pou,E.
=
G lYl groupe fini et
Soi t
profnH 1 +i(G,M) > f- i
profnM
G
= f +2
et si
prof MG > f + 1 .. Si e est un entier tel
n
1 .
profnH +l(G,M) > e- i pour i > 0 _ll profnM
e + 2 , alors
profni1
f + 1 , alors
z:
que
~
profnl"p
e + 2 ..
Demonstration ..
pour
2:: 2
r
[~j
ou
AGG-module.
-
·et supposons que
profn (M) ~ f + 2 , alors
Si
M un
quand
i + j .:S. f + 1 ..
et
prof M > f+ 2 •
n
pour
r
=0
([r)
H~(G,M) =
0
pour
i < f +1
Cela entraine que la differentielle de
-
E 2 , d 2 : H!CH 1 (G,M))
r
1' aide de la suite spectrale
A
Hi(G,~(M)) , on montre que
=
(d (E ) )ij
on a
~
H!+2 (MG)
est injective et que
=
i ,::: f + 1 , d' ou profn (MG)
f + 2 ..
H~(lvP)
=0
Les autres assertions du
lemme se montrent de fa9on analogue ..
Dans ce qui suit on suppose que A est un anneau semi-local
de radical
m
G = 2Z/:p7l ..
On suppo sera en outre que l' ideal
contenu dans
et contient le corps
et que l'amieau
m
de Krull finie;
n
= mn AG
AG
~
Q_e]nQU:?_E'..e._tion..
Supp Hj(G,M)
Pour
:Qa.£
1'1 •
j > 0
= F' n Supp(I1)
Hj(G,M) ~
G
IF = ( ( 1-a )A )A
est
est noetherien de dimension
AG-module de t:vpe fini engendre 12ar
Hj(G,M) /;. 0
§i F
£_our tout
MG ..
j .::_ 0 ..
on sai t par ( 1 .,4) que
.::;, Supp(M/mM) ..
Comme
1'1/mM /;. 0 , on a
o ~
Corollai.re 2 ..._2 .. · §.2i!.
.
p , et que
est alors un anneau semi-local de radical
M :9E.
M ~ 0 , alors
bien
d'ordre
•
Lemn:te 2 .. 2:
S:i.:_
AG
JFP
M un
es.t_ i.§._ole
~t
AG-module de type .J:!Ei engendre
profnM,.::_ 2 , .§Q.ors
profn (MG)
=
2 •
- 9 Demonstration.
de
IF
o
On dit que
F
est isole si
m
est le radical
Il suffit de montrer que les conditions du lemme (2o2)
sont remplies avec
est contenu dans
on en deduit
=0 •
f
pour
j > 0 ,.
profnHj(G,M)
=o = f
Corollaire 2o4:
F'
D'apres (1o4) le support de
Supposons que
Comme
Hj ( G,M) /= 0
Hj(G,M)
pour
j >0 ,
•
A verifie la condition
s2
de Serre alors
i)
AG
verifie la condition
ii)
si
codimF > 2
Eour
Th~or~me 2o5:
.£:!:& •
AG
s2
' · f 1e
·
.
ne ver1
pas l a cond.1 t 1on
r > 2 "
.§.£!!.
§i p EAss
A
G 1£?. g:;ouee fini, ~ M ~ AGG-module de t~
u:fl1 (G,I1)
~:t tel 9.ue profM ~dim (AG/p)
+ 2 ,
on a
D€monstration:
premier
Pour tout
AG-module N de ty_t)e fini et tout id~al
p c AG , on a
.
G
prof N :5, prof Np· + dim(A /p )
Si prof M ;::, dim (A G/p ) + 2 , on a done
o
> 2
ProfMp-
'
d'
ou
- 10 pour
i = 0,1.
est injectif ..
Soit
(Er)
Alors
E~o·
prof
Corollaire 2.6:
!1£i, engendr~
= 0
i
0, 1
==
et
E~j
d 2 : E 01 ->
=
E~ 0
= Hp0 (H1 (G,Mp )) ~ 0 , d'ou
G
= H~(MG)
, il en r~sulte que profMP
p p
= 2,
MG ,:S dim(A G/p)+ 2 •
£ill
par
G = Zl/pLZ
MG ..
Si
M
profMG .:S, dim (F'
§. pcAG
pour
On a d' autre part
El
2. 0
et done que
la suite spectrale telle que
~
soit
1'1
~
AG-module
~ ~
~ ~ Cohen-Macaulay, .2£ !!!.:
n SuppM)
+ 2 ..
est un id~al premier associ~ de
H1 (G,M)
-on a
profMG_::: dim(AG/p)+ 2 •
Dfunonstration:
Comme
dim(A G/p) _:: dim(F'
Supp H1 ( G,1'1)
n Supp M)
•
Si
= F' n. Supp M , on a
prof
r~sul tat est une cons~quence de ( 2 .. 5).
on a ~galement
prof
r1G,:::
dimMG
M ~ dim(A G/p) + 2 , ce
Si
prof M_:: dim(A G/p) + 2 ,
= dimM = prof M~ dim(A G/p) + 2
o
- 11 -
Le· cas lin~aire&
§ 3.
Nous allons ici calculer la profondeur en tout
id~al
de l I amJ.eaU deS invarifuJ.tS d 1 un grOUpe CyClique d I 0rdre
lineairement sur un anneau de polynomes sur
Soi t
l 1 espace vectorial
ment clos
Supposons que
G = ?Z/pnZl •
de l 1 espace dual
VV
G
p174'pn?l ~ est note
Les
de
~
V/('!1/pn'!iJ) •
Th~eme 3t1-:
= n- 1
i)
.2.£
Si
V = Spec(Symk(V )) •
stabilis~s
par un sous-
~
son image ensembliste dans
F!
~
croissan~de
sous-ensembles fermes
Nous allons demontrer:
leplus grand entier tel que
Soit _m.
codimv F(p~pn7li, V)
m
v
sur
V
l'algebre symetrique
C 1 est un sous-e space lineaire
F. •
ferment une suite
F!
opere lineairement sur
Symk(V )
V , et done
de
v • On designe par
de
k ..
v
opere sur
Le sous-schema des points de
groupe
Operant
Pn
de dimension finie sur le corps algebrique-
V
Alors
k •
G
maximal
m
.?:
2 • (Si
opere fidelement on sai t _9.ue
G
= n- 2 )~
x E F! - F! 1
~
~-
est un
poi~t ferm~
et si
--
i <m
on a
prof bv/(7lj/pn7li ),x = dim Fi + 2
ii)
§i. x E V/('ll/pn7li) - F~
prof (OV /(71/pn~)'
Soit
Va
le
X
7ZipnZl -module indecomposable de dimension
Corollaire 3~2: · §._UpPQ._Sons que
?#pnzz_ module,
= dim V •
ci
V
=V
$ ..... EFJ
a.1
a 1 ;: a2 _:: .... ~ a 1 • Alors:
V
al
a. .::,pn •
en tant que
- 12+a1 - 1
,~1
J
lorsque
et
=.... = a 1 ::: 1
a2
L+2
=
a 1 .::, 2
sinon
oli_ l.a profondeur est calculee en 1' ideal engendre par
Si
a une
V •
est indecomposable, le corollaire ci-dessous repond
V
question posee par Fossum et Griffith dans [2] ..
.§.2.1! V un
Corollaire 3 .. 3:
dim V > 3
§EQl?OSOnS que
Wpn7J;_ module indecomposable.
o
Alors,
rnl n?l;
prof Symk(v)urP
ou
la~rofondeur
Corol=L.aire 3 .. 4:
est calculee · en l'ideal engendre par
v
v
A
1-A
= (ffiV) $
. 1 2
J..=
=
( 83 V,1 )
A
=
sur leguel opere
G =
Lemme 3 .. 2:
r
si
® C:BV1)
i=1
ii)
Alors les
-,;- 1T
r
ou
2 •
p~3
Z+fp~
r
0
n ..
Considerons
X = Spec A de type fini sur
Nous utilisons le lemme
un groupe operant sur
l'action de
0,'1
l-.1
v7?
plus generalement u..11. schema affine
i)
o
i=1
On demontre le theoreme 3o1 par.recurrence sur
§.ill
V
Sym.k(v)Zif'I,U?l; est de Cohen-Macaulay si et seulement
si
ou
=3
suiv~Dt ..
X de fa9on g,ue
commute avec celle de
G
opere tra_p.sJ ti vement sur les -points fermes de
-
AG-modules
JLeJUonstration de 2_., 5:
il est clair que
r
Hi(G,A)
sont de CQhen-Maeaulay pour
L,action de
r
F(G,X) ..
i>O
commutant avec celle de
opere sur le schema
k ,
F' = F'(G,X)
0
G ,
= Spec(AG/IF,)
et que les
Hi(G,A)
Le morphisme
1T
sont des
IF : F
ach~ve
la
i >0 •
-> F' . etant une bijection, r opere transitive-
ment sur les points fermes de
On
(A G/IF)r-modules pour
F' •
demonstration~
l'aide du lemme ci-dessous, qui
se demontre sans peine:
Lemme 3.6:
Soit
ment clos.
Supposons qu'un groupe
Y
un schema de type fini sur un corps
sur les points fer.mes.
Alors tout
r
opere sur
~yr-module
alg~brique­
Y , transitivement
coherent est de
Cohen-Macaulay.
Scient, pour une action de
Zl/pn~
sur
X , les deux conditions
suivantes:
I • Pour t out sous-groupe
groupe
r.~
de
P i'77tpn,.,.
~
~
operant sur
?l/pn::z , il eriste un
X , tel que l'action de
r.
~
commute
avec celle de pi?l/pn~ et est transitive sur les points
F(piayp~'~ X)
fermes de
II. Pour tout point ferme
prof
pour · i ~ n - 1 •
x E X , on a:
<?Jx x ~dim F(pn- 1 ?l/pn::z,
X)+ 2.
'
Lemme 3o1.:
Supposons que 1' action de
conditions I~ II ci-dessus.
wtpn~.'
L..ur X'·-- X/(pn- 1 ~
~;
~a
74/pn::Z · ~ X
satisfait aux
Alors l'action induite de
t•~s f a~"t'ega1 emen~· I e t II •
on J!.
i)
Si
prof
x E F'(pn- 1?l/pn7.l, X)
C!:>x, x
'
est un point ferme,
= dim F(pn- 1?l/pn::Z, X) + 2
~Pn- 1 ~
De plus,
- 14-
ii)
Si
x ~ F'(pn- 1 Zf'pn7l, X) est un point ferme,
prof
Vx,
'
x
==
prof
Vx
pour toute preimage
Demonstration de 3 .. 7:
n: X-> X'
x
induit m1e bijection entre
passe au quotient
i
< n- 2 o
pn- 1 z:ypnZl)
non trivial conti ent
done verifiee..
X'
Soit
dans
X •
F(piZf'pnZl,X) et
(En effet tout groupe d'isotropie
Pour
o
l'action de
i < n -1
x EX'
i < n- 2
La condition I est
o
un point ferme et
y 6 X une preimage
Si y n'est pas un point fixe sous l'action de
pn- 1 ~pnZl,
on sait que
prof
6x,,x =
prof 6x ,y ~ dim F(pn- 1 z:ypntZ"'X) + 2
_::: dim F(pn- 2z:ypn-'1 Zl, X' ) + 2 ..
Si
pour
y
est un point fixe, on obtient
a
l'aide de la condition I
X et des lemmes (3.5) et ·(2o2):
et la condition II est verifiee pour
~o~osition 3 .. 8:
Suppoflons gue
sue les conditions I
r.l
et, vu la remarque ci-dessus, elle est tran-
F(piZl(pn- 1 Zl,X') pour
sitive sur
x ..
de
y
Remarquons d'abord que le morphisme canonique
F(piz:ypn-'1Zl ,X') pour
de
Y
'
~t
X'
Zf'pn~
o
op~re sur
II soient satisfaites.
est un point ferme, on a pour
•
l
A
......
X de fa9on
Alors,
A
n- '· ,
- 15ii)
x E X/(74/pn?Z) -F' (pn- 1 74/pnLZ,X) est un point ferme,
Si
-on a
~
X •
On raisonne par recurrence sur
n •
:129ur toute 12reimage
Demonstration:
de
y
x
la proposition decoule du lemme (3.7).
Si
les conditions
n > 1
I et II sont, en vertu du lemme (3.7), verifiees pour
Comme
et
n =1 ,
Si
X/(pn- 1 74/pn7Z1
X/(pn- 1 LWpnLZ) par
X/(i7/pn7Z) est le quotient de
Zjlpn- 1 7Z
dim F(piZ4/pn7Z,X) = dim F(piZ4/pn- 1 7Z ,X/(pn- 1 74/pn?Z)) pour
i < n- 1,
la recurrence est immediate ..
Enfin, demontrons le theoreme (3.1).
condition I pour l'action de
Z4/pn7Z sur
Verifions d'abord la
V •
Les sous-schemas
F(pi~pnLZ,V) sont des sous-espaces lineaires de
V par translation..
avec celle de
Soit
r.1.
F(pi~pnLZ,V) , operant
le groupe additif des points fermes de
sur
V •
On voit aisement que cette action commute
pi~pnLZ et qu'elle est transitive sur
Z4/pm- 1 tz sur
En raison du lemme (2 .. 2), 1' action de
satisfait aux conditions I et II..
F(pi?l/pn?Z,V)..
V/(pm- 1 ?llpnLZ)
Le theoreme se deduit alors de
la proposition (3 .. 8) ..
D'une fa<yon generale, soit
lineairement sur
·
V
o
Soit
n
v G
prof n Sy1nk(V )
G
~~
groupe fini qui opere
l'ideal irrelevant de
G
~ di~ V + 2
•
v
Symk(V ) •
- '16 -
Demonstration:
En vertu du lemme (2.,2) il suffit de montrer que
•
G
V
profn Hl ( G, Symk (V ) ) .::_ dim V
de
VG
pour
0
Pour tout
r
Le groupe additif
0
v
Symk(V ) •
opere par translation sur
compatible avec celle de G
vG
done un (Symk(V ) )r-module.
i >0
Cette operation est
Hi(G,Symk(Vv))
i
On acheve la demonstration
a
est
l'aide
du
Lemme 3 .. '10:
.§.22:! r
un groupe· operant sur un schema
fini sur un corps algeQ_riquement clos.
coh~rent..
OU r(x)
Si
desigp.e l'adherence de l'orbite de
Demonstration:
Soit pour tout entier
Z!]_ = {yEXI y ferme, prof :f < i}
y-
de
dans
Z!]_
X
Si
~
done de montrer que
z.l -< i
dim
Spec A , et meme que
d = dim A
,
alor·s
]_
=
U
j~d-i
o
=~
]_
]_
rrxJ
-c
z.
]_
'
0
l'adherence
Il suffit
Pour cela, on peut supposer que X
0
=
·z.
X
z.
et soit
est affine,. X
Soi t
bxf- module
i;:. 0 ,
on a bien
x E Z!]_
~
~
est un point ferme,
x EX
g:
Soit
X , de type
A
est
un
an..."l'leau reguli er
0
Supp ExttC~,A)
En localisant aux points generiques on voit que
dim Supp
Exti (Sf' ,A) .::, d-
~ i •
j
Nous allons maintenant donner un exemple d'un anneau integre,
factoriel A, non de Cohen-11acaulay.,avec une operation de 74fp?l telle
que
AZi.Yp?l soi t de Cohen-r1acaulay
Soi t p > 3 et
-
. par
v = v :J e v3
"7
(g ,h) ( v, w) = (gv ,:nw)
o
0
avec l' action de . G =
Soient
Wp~ X
iZ/pi.Z dOlmee
H le groupe diagonal de
G ,
- 17 et
A
= S~(Vv)H
Macaulay.
•
En effet
Parle th~oreme (3o1)
A n'est pas de Cohen-
prof~ A
n
levant de· Symk(Vv)) , et
= 4 ' ou n
dim An
=
6 •
opere de fa9on naturelle sur A , et
remarquant alors que
on trouve gr~ce
p
=2
GxG
on trouve
sur
V
= m A
Le groupe
AG/H
~galement
= v 2 EE>V2 EE>v2
que
AG/H
l
I
®
id~al
•
donnt3e par
En
Symk(V~)a'/pLZ ,
k
est de Cohen-Macaulay.
un exemple en utilisant
irre-
G/H ; a'/pLZ
= Symk(Vv)G
SYlllJr(Vv )G = Symk(V~)?l/pLZ
a (3.1),
(m
Pour
l'op~ration
(g,h)(u,v,w)
de
= (gu,gv,hw).
BIBLIOGRAPHIE
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M.-J. Bertin, Anneaux d'invariants d'anneaux de polyn.omes
en caract~ristique p. C.Ro Acad. Scient. Paris t. 264(1967),
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which are not Cohen-Macaulay in characteristic p. Ann.
Scient. Ec .. Norm .. Sup., Paris (4)8(1975), p. 189 a 200.
[3]
A. Grothendieck, Sur quelques points d'algebre homologique.
Tohoku Math. J. IX (1957) p. 119 a 221·.