Le quiz

Déroulement
Nous posons une question et vous avez une minute pour préparer une
réponse et on fait un vote.
Ensuite, vous avez deux minutes pour discuter avec vos voisins et on
fait un deuxième vote (en espérant que le résultat s’améliore).
Après, si nécessaire ou souhaité, nous faisons des commentaires.
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
30 mai 2012
1/6
Question 1
Question
Soit X l’ensemble de toutes les suites dans {0, 1} ⊆ R, muni de la
topologie dont une sous-base contient les ensembles suivants : Pour
chaque suite finie (xi )i∈{0,...,n} dans {0, 1} l’ensemble
{(yi )i∈N | yi = xi ∀i ∈ {0, . . . , n}}
de tous les suites qui commencent avec (xi )i∈{0,...,n} . Lesquelles des
assertions suivantes sont fausses ?
1 X est compact.
3 X ∼
= {0, 1}N .
2
X est connexe.
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
4
X est de Hausdorff.
30 mai 2012
2/6
Question 1
Question
Soit X l’ensemble de toutes les suites dans {0, 1} ⊆ R, muni de la
topologie dont une sous-base contient les ensembles suivants : Pour
chaque suite finie (xi )i∈{0,...,n} dans {0, 1} l’ensemble
{(yi )i∈N | yi = xi ∀i ∈ {0, . . . , n}}
de tous les suites qui commencent avec (xi )i∈{0,...,n} . Lesquelles des
assertions suivantes sont fausses ?
1 X est compact.
3 X ∼
= {0, 1}N .
2
X est connexe.
4
X est de Hausdorff.
Seulement (2) est fausse. En fait, le (3) implique (1) et (4) ainsi que la
négation de (2).
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
30 mai 2012
2/6
Question 2
Question
Laquelle de ces conditions est la condition la plus faible qui garantit que
chaque suite dans un espace X a une sous-suite convergente vers un point
unique ?
1
X est compact.
2
X est de Hausdorff.
4
(1) & (2)
X satisfait le premier axiome
de dénombrabilité.
5
(1) & (2) & (3)
3
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
30 mai 2012
3/6
Question 2
Question
Laquelle de ces conditions est la condition la plus faible qui garantit que
chaque suite dans un espace X a une sous-suite convergente vers un point
unique ?
1
X est compact.
2
X est de Hausdorff.
4
(1) & (2)
X satisfait le premier axiome
de dénombrabilité.
5
(1) & (2) & (3)
3
Le (1) garantit que chaque suite a une valeur d’adhérence, (3) garantit que
pour chaque valeur d’adhérence on trouve une sous-suite qui converge vers
ce point et (2) garantit que cette limite est unique. Alors (5) est juste (on
trouve des contre-exemples pour toutes les autres).
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
30 mai 2012
3/6
Question 3
Question
Soit S := {0, 1} l’espace de Sierpiński où les ouverts sont
∅,
{1}
et
S.
Lesquelles des assertions suivantes sont fausses ?
1
S est compact.
5
S est contractile.
2
S est connexe par arcs.
6
S est T1 .
3
Chaque suite dans S
converge vers 0.
π1 (S, 0) ∼
=0
7
On peut équipper S avec la
structure d’un groupe
topologique.
4
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
30 mai 2012
4/6
Question 3
Question
Soit S := {0, 1} l’espace de Sierpiński où les ouverts sont
∅,
{1}
et
S.
Lesquelles des assertions suivantes sont fausses ?
1
S est compact.
5
S est contractile.
2
S est connexe par arcs.
6
S est T1 .
3
Chaque suite dans S
converge vers 0.
π1 (S, 0) ∼
=0
7
On peut équipper S avec la
structure d’un groupe
topologique.
4
La (6) et la (7) sont fausses.
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
30 mai 2012
4/6
Question 4
Question
Soit A ⊂ I = [0, 1] fini. Lesquelles des assertions suivantes sont fausses en
général ?
1
I/A est compact.
2
I/A est de Hausdorff.
3
L’application
quotient q : I → I/A induit
un homéomorphisme
I \A∼
= q(I \ A).
4
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
5
(I × {0}) ∪ Cône(A) ' I/A
où on voit Cône(A) comme
un sous-ensemble de R2 .
π1 (I/A, x ) ∼
= 0 pour
tous x ∈ I/A.
30 mai 2012
5/6
Question 4
Question
Soit A ⊂ I = [0, 1] fini. Lesquelles des assertions suivantes sont fausses en
général ?
1
I/A est compact.
2
I/A est de Hausdorff.
3
L’application
quotient q : I → I/A induit
un homéomorphisme
I \A∼
= q(I \ A).
4
5
(I × {0}) ∪ Cône(A) ' I/A
où on voit Cône(A) comme
un sous-ensemble de R2 .
π1 (I/A, x ) ∼
= 0 pour
tous x ∈ I/A.
Seulement (5) est fausse.
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
30 mai 2012
5/6
Question 5
Question
Pour deux espaces X , Y les applications continues X → Y , qui sont
homotopes à une application constante, forment une classe d’homotopie.
1
Toujours juste.
2
Toujours faux.
3
Ça dépend de X .
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
4
Ça dépend de Y .
5
Ça dépend des deux.
30 mai 2012
6/6
Question 5
Question
Pour deux espaces X , Y les applications continues X → Y , qui sont
homotopes à une application constante, forment une classe d’homotopie.
1
Toujours juste.
2
Toujours faux.
3
Ça dépend de X .
4
Ça dépend de Y .
5
Ça dépend des deux.
La réponse (4) est correcte, car la proposition est juste ssi Y est connexe
par arcs.
V. Karpova & K. Werndli (EPFL)
30 mai 2012
6/6