Le quiz

Déroulement
Nous posons une question et vous avez une minute pour préparer une
réponse et on fait un vote.
Ensuite, vous avez deux minutes pour discuter avec vos voisins et on
fait un deuxième vote (en espérant que le résultat s’améliore).
Après, si nécessaire ou souhaité, nous faisons des commentaires.
V. Karpova & K. Werndli (EPFL) 30 mai 2012 1 / 6

Question 1
Question
Soit X l’ensemble de toutes les suites dans {0,1} ⊆ R, muni de la
topologie dont une sous-base contient les ensembles suivants : Pour
chaque suite finie (xi)i∈{0,...,n}dans {0,1}l’ensemble
{(yi)i∈N|yi=xi∀i∈ {0,...,n}}
de tous les suites qui commencent avec (xi)i∈{0,...,n}. Lesquelles des
assertions suivantes sont fausses ?
1X est compact.
2X est connexe.
3X∼
={0,1}N.
4X est de Hausdorff.
Seulement (2) est fausse. En fait, le (3) implique (1) et (4) ainsi que la
négation de (2).
V. Karpova & K. Werndli (EPFL) 30 mai 2012 2 / 6

Question 1
Question
Soit X l’ensemble de toutes les suites dans {0,1} ⊆ R, muni de la
topologie dont une sous-base contient les ensembles suivants : Pour
chaque suite finie (xi)i∈{0,...,n}dans {0,1}l’ensemble
{(yi)i∈N|yi=xi∀i∈ {0,...,n}}
de tous les suites qui commencent avec (xi)i∈{0,...,n}. Lesquelles des
assertions suivantes sont fausses ?
1X est compact.
2X est connexe.
3X∼
={0,1}N.
4X est de Hausdorff.
Seulement (2) est fausse. En fait, le (3) implique (1) et (4) ainsi que la
négation de (2).
V. Karpova & K. Werndli (EPFL) 30 mai 2012 2 / 6

Question 2
Question
Laquelle de ces conditions est la condition la plus faible qui garantit que
chaque suite dans un espace X a une sous-suite convergente vers un point
unique ?
1X est compact.
2X est de Hausdorff.
3X satisfait le premier axiome
de dénombrabilité.
4(1) & (2)
5(1) & (2) & (3)
Le (1) garantit que chaque suite a une valeur d’adhérence, (3) garantit que
pour chaque valeur d’adhérence on trouve une sous-suite qui converge vers
ce point et (2) garantit que cette limite est unique. Alors (5) est juste (on
trouve des contre-exemples pour toutes les autres).
V. Karpova & K. Werndli (EPFL) 30 mai 2012 3 / 6

Question 2
Question
Laquelle de ces conditions est la condition la plus faible qui garantit que
chaque suite dans un espace X a une sous-suite convergente vers un point
unique ?
1X est compact.
2X est de Hausdorff.
3X satisfait le premier axiome
de dénombrabilité.
4(1) & (2)
5(1) & (2) & (3)
Le (1) garantit que chaque suite a une valeur d’adhérence, (3) garantit que
pour chaque valeur d’adhérence on trouve une sous-suite qui converge vers
ce point et (2) garantit que cette limite est unique. Alors (5) est juste (on
trouve des contre-exemples pour toutes les autres).
V. Karpova & K. Werndli (EPFL) 30 mai 2012 3 / 6